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Proportionalitätsfaktor

Wichtige Inhalte in diesem Video

Proportionalitätsfaktor einfach erklärt

Proportionalität nachweisen

Aussagen überprüfen

Neue Werte berechnen

Das Wort Proportionalitätsfaktor hast du schon öfter gehört? Was das ist und wie du ihn berechnest, erfährst du hier und im Video .

Inhaltsübersicht

Proportionalitätsfaktor einfach erklärt

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Den Proportionalitätsfaktor berechnest du, indem du die zugeordnete Größe durch die Ausgangsgröße teilst.

Schau dir das gleich an einem Beispiel an:

Ausgangsgröße	Wasserflaschen	1	2	3	4
zugeordnete Größe	Gesamtpreis	2 €	4 €	6 €	8 €
Proportionalitätsfaktor	k = Preis/Flasche	$\frac{\textcolor{blue}{2}}{\textcolor{red}{1}}$ = 2	$\frac{\textcolor{blue}{4}}{\textcolor{red}{2}}$ = 2	$\frac{\textcolor{blue}{6}}{\textcolor{red}{3}}$ = 2	$\frac{\textcolor{blue}{8}}{\textcolor{red}{4}}$ = 2

In der Tabelle siehst du verschiedene Mengen an Wasserflaschen und ihren jeweiligen Gesamtpreis.

Um den Proportionalitätsfaktor zu berechnen, teilst du den Gesamtpreis der Wasserflaschen durch die Anzahl. Der Proportionalitätsfaktor bleibt dabei immer gleich. Das ist eine wichtige Eigenschaft von proportionalen Zuordnungen.

$k = \frac{\textcolor{blue}{2}}{\textcolor{red}{1}} = \frac{\textcolor{blue}{4}}{\textcolor{red}{2}} = \frac{\textcolor{blue}{6}}{\textcolor{red}{3}} = ... = \colorbox{yellow}{2}$

Übrigens: Da die berechneten Quotienten bei einer proportionalen Zuordnung immer gleich sind, kannst du auch von Quotientengleichheit sprechen.

Proportionalitätsfaktor berechnen

Die Eigenschaften des Proportionalitätsfaktors kannst du zum Lösen verschiedener Probleme nutzen. Schau dir in den folgenden Absätzen drei verschiedene Möglichkeiten an:

Proportionalität nachweisen
Aussagen überprüfen
Neue Werte berechnen

Proportionalität nachweisen

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Über den Tag verteilt wurden verschiedene Mengen Wassermelonen an Kunden verkauft. Die Tabelle zeigt dir eine Übersicht über die Menge und Preise der einzelnen Bestellungen:

	Bestellung	1	2	3	4
Ausgangsgröße	Anzahl der Wassermelonen	1	3	5	8
zugeordnete Größe	Gesamtpreis	5 €	15 €	25 €	40 €

Nun fragst du dich, ob Gesamtpreis und Anzahl der Wassermelonen proportional sind?

Um den proportionalen Zusammenhang zu überprüfen, berechnest du den Proportionalitätsfaktor für jede der Bestellungen.

$\textcolor{red}{k_1} = \frac{\text{zugeordnete Größe}}{\text{Ausgangsgröße}} = \frac{5}{1} = \colorbox{yellow}{5}$

$\textcolor{blue}{k_2} = \frac{15}{3} = \colorbox{yellow}{5}$

$\textcolor{olive}{k_3} = \frac{25}{5} = \colorbox{yellow}{5}$

$\textcolor{magenta}{k_4} = \frac{40}{8} = \colorbox{yellow}{5}$

Bei allen Bestellungen ist der Proportionalitätsfaktor k = 5. Das bedeutet, dass es sich um eine proportionale Zuordnung handelt.

Aussagen überprüfen

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Du bist gerade auf einem Bücherflohmarkt, bei dem jedes Buch gleich viel kostet. Am Eingang hängt eine Preisübersicht, damit du nicht selber rechnen musst:

Ausgangsgröße	Anzahl der Bücher	1	2	3	4
zugeordnete Größe	Gesamtpreis	2,50 €	5 €	7,50 €	11 €

Jedes Buch kostet 2,50 Euro. Das bedeutet, dass die Anzahl der Bücher und der Gesamtpreis direkt proportional zueinander sind. Der Proportionalitätsfaktor müsste also in jeder Spalte gleich sein. Um also zu überprüfen, ob auf die Preise stimmen, berechnest du ihn also für alle vier Möglichkeiten auf dem Preisschild:

$\textcolor{red}{k_1} = \frac{\text{zugeordnete Größe}}{\text{Ausgangsgröße}} = \frac{2,5}{1} = \colorbox{yellow}{2,5}$

$\textcolor{blue}{k_2} = \frac{5}{2} = \colorbox{yellow}{2,5}$

$\textcolor{olive}{k_3} = \frac{7,50}{3} = \colorbox{yellow}{2,5}$

$\textcolor{magenta}{k_4} = \frac{11}{4} = \colorbox{orange}{2,75}$

Der Proportionalitätsfaktor bei 4 Büchern ist ein anderer als bei den restlichen Kaufmöglichkeiten. Du würdest also laut Preisliste bei 4 Bücher nicht 2,50 Euro pro Buch zahlen, sondern 2,75 Euro. Hier hat sich also ein Fehler eingeschlichen. Wenn die Anzahl der Bücher direkt proportional zum Gesamtpreis ist, würden 4 Bücher 10 Euro kosten und nicht 11 Euro.

$\textcolor{magenta}{4} \cdot \colorbox{yellow}{2,5} = 10\:$ €

Die Aussage, dass 4 Bücher 11 Euro kosten, ist also falsch.

Neue Werte berechnen

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Die folgende Tabelle zeigt dir den direkt proportionalen Zusammenhang von der Buchseitenzahl und der Lesedauer. Es fehlt aber ein Wert. Du kannst ihn mithilfe des Proportionalitätsfaktors berechnen.

Ausgangsgröße	Anzahl der Buchseiten	5	A	25	58
zugeordnete Größe	Lesedauer	10 min	28 min	50 min	116 min

Weil die Anzahl der Buchseiten und die Lesedauer direkt proportional zueinander sind, ist der Proportionalitätsfaktor in allen Spalten gleich. Deshalb kannst du den ihn nutzen, um den fehlenden Wert A zu berechnen. Gehe dabei nach folgender Anleitung vor:

1. Beliebigen Proportionalitätsfaktor berechnen:

$\textcolor{magenta}{k} = \frac{10}{5} = \textcolor{magenta}{2}$

2. Formel für Proportionalitätsfaktor bei 28 min aufstellen:

$\textcolor{magenta}{k} = \frac{28}{\textcolor{red}{A}}$

3. $\textcolor{magenta}{k} = \textcolor{magenta}{2}$ in die Formel einsetzen und nach A auflösen:

$\textcolor{magenta}{2} = \frac{28}{\textcolor{red}{A}}$ | • A

$\textcolor{magenta}{2} \cdot \textcolor{red}{A} = 28$ | : 2

$\textcolor{red}{A} = \frac{28}{\textcolor{magenta}{2}} = 14$

Du schaffst in 28 Minuten also ganze 14 Buchseiten.

Indirekter Proportionalitätsfaktor

Den Proportionalitätsfaktor kannst du nicht nur für direkte Proportionalität, sondern auch bei indirekt proportionalen Zusammenhängen berechnen.

Von indirekter Proportionalität spricht du, wenn einer der beiden Faktoren vergrößert und der andere im selben Verhältnis verkleinert wird. Den indirekten Proportionalitätsfaktor berechnest du, indem du die beiden Zahlen multiplizierst.

Schau dir das Ganze gleich an folgendem Beispiel an:

Ein Postbote liefert aktuell 40 Pakete pro Tag aus. Wenn es nun zwei Postboten wären, würde sich die Anzahl der Pakete pro Zusteller halbieren. Einer müsste also nur noch 20 Pakete ausliefern. Insgesamt sind es aber immer noch 40 Pakete, die ausgeliefert werden.

Postboten	x	1	2	4
Pakete	y	40	20	10
Indirekter Proportionalitätsfaktor	k = x • y	1 • 40 = 40	2 • 20 = 40	4 • 10 = 40

Genauso wie beim direkten Proportionalitätsfaktor auch, bleibt der indirekte Proportionalitätsfaktor bei allen Wertepaaren konstant.

Proportionalitätsfaktor — häufigste Fragen

Was ist der Proportionalitätsfaktor?
Der Proportionalitätsfaktor k ist der Quotient aus der zugeordneten Größe und der Ausgangsgröße. Bei einer proportionalen Zuordnung ist der Proportionalitätsfaktor aller Wertepaare gleich groß. Eine proportionale Zuordnung liegt vor, wenn sich beide Größen im selben Verhältnis verändern.
Welche Proportionalitätsfaktoren gibt es?
Es gibt zwei Arten von Proportionalität. Genauso gibt es auch zwei Proportionalitätsfaktoren: Den direkten und den indirekten Proportionalitätsfaktor. Den direkten Proportionalitätsfaktor berechnest du als Quotient von zugeordneter Größe und Ausgangsgröße. Für den indirekten Proportionalitätsfaktor multiplizierst du beide Größen miteinander.

Proportionalität

Klasse! Jetzt weißt du, was ein Proportionalitätsfaktor ist. Willst du dich weiter mit dem Thema Proportionalität beschäftigen? Dann schau doch direkt in unserem Beitrag dazu vorbei!

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