Sigma Regeln Mathe
Du fragst dich, was die Sigma-Regeln sind und wie du sie anwendest? Hier und in unserem Video erklären wir dir alles, was du dazu wissen musst!
Inhaltsübersicht
Sigma-Regeln einfach erklärt
Mit den Sigma-Regeln kannst du bei Wahrscheinlichkeits-Verteilungen die Wahrscheinlichkeit für bestimmte Intervalle angeben. Beispielsweise kannst du mit ihnen sagen, in welchem Bereich ca. 99,7% aller Werte liegen. Sie gelten immer bei normalverteilten Wahrscheinlichkeiten.
Die Sigma-Regeln lauten:
- P(μ-σ ≤ X ≤ μ+σ) ≈ 68,3%
- P(μ-2σ ≤ X ≤ μ+2σ) ≈ 95,4%
- P(μ-3σ ≤ X ≤ μ+3σ) ≈ 99,7%
Dabei ist μ der Erwartungswert und σ die Standardabweichung. Beispielsweise bedeutet die erste Regel, dass Werte mit einer Wahrscheinlichkeit von 68,3 % nicht mehr als die Standardabweichung vom Erwartungswert abweichen.
Sigma-Regeln Normalverteilung
Damit du die Sigma-Regeln wirklich verstehst, musst du dir auch ihre Anwendung anschauen. Dazu betrachten wir die Normalverteilung des Intelligenzquotienten in Deutschland.
Hier ist der Erwartungswert μ = 100 und die Standardabweichung Sigma σ = 15 gegeben.
Jetzt kannst du mit der Sigma-Regel bestimmen, in welchem Bereich die Intelligenz 99,7% der Menschen liegen werden. Dazu musst du die 3. Sigma-Regel von der 3 Sigma Umgebung betrachten, denn sie beschreibt immer genau 99,7 %:
[μ-3σ ; μ+3σ] = [100 – 3 · 15 ; 100 +3 · 15] = [55 ; 145]
➜ Aus deinem Ergebnis kannst du schließen, dass 99,7% der Deutschen einen IQ zwischen 55 und 145 haben.
Sigma-Regeln Binomialverteilung
Die Sigma-Regeln gelten grundsätzlich nur bei normalverteilten Größen. Du kannst sie aber auch auf eine Binomialverteilung anwenden, wenn die Verteilung zur Normalverteilung angenähert werden kann. Das ist nur der Fall, wenn die Laplace Bedingung stimmt:
σ =
σ > 3
Ist also die Standardabweichung einer binomialverteilten Größe größer als 3, lässt die Binomialverteilung sich auch mit einer Normalverteilung annähernd beschreiben. Dann kannst du wieder die Sigma-Regeln anwenden. Schau dir dazu wieder ein Beispiel an:
Bei einem Würfel-Glücksspiel ist die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn p = 0,2. Es wird außerdem 100-mal pro Spiel geworfen. Wie wahrscheinlich ist es nun, dass es bei einem Spiel 16 bis 24 Gewinne gibt?
Zuerst musst du überprüfen, ob man hier eine Normalverteilung annähern kann. Das machst du mit der Laplace Bedingung:
σ = 
= 
≈ 4 ✅
Jetzt kannst du auch noch den Erwartungswert μ berechnen, um das Intervall genau zu bestimmen:
μ = n · p = 0,2 · 100 = 20
Wenn du das Intervall der Gewinne [16 ; 24] genau anschaust, fällt dir auf, dass das die erste Sigma-Regel ist: P(μ-σ ≤ X ≤ μ+σ). Weil hier jeweils 1 Sigma von dem Erwartungswert abgezogen und zu ihm dazugerechnet wurde (20-4 ; 20+4).
Die ist bei normalverteilten Größen immer auf 63,3 % festgelegt. Also ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Spiel 16 bis 24 Gewinne dabei sind, 63,3%.
Übrigens: Wenn du eine Binomialverteilung zur Normalverteilung annähern kannst, können die Sigma-Regeln auch bei Hypothesentests helfen. Schau dazu in unser Video rein!
Zusammenfassung
- Die Sigma-Regeln gelten bei Normalverteilungen und sind: P(μ-σ ≤ X ≤ μ+σ) ≈ 68,3%; P(μ-2σ ≤ X ≤ μ+2σ) ≈ 95,4%; P(μ-3σ ≤ X ≤ μ+3σ) ≈ 99,7%.
- Sie werden auch als die 1 Sigma Umgebung, die 2 Sigma Umgebung und die 3 Sigma Umgebung bezeichnet.
- Du wendest sie immer bei Normalverteilungen an.
- Du kannst ebenso eine Binomialverteilung an eine Normalverteilung annähern, wenn die Laplace Bedingung (σ > 3) gilt. Dann finden die Sigma-Regeln wieder Verwendung.
Super! Du kennst jetzt die Sigma-Regeln und auch ihre Anwendung. Ein wichtiger Bestandteil von ihnen ist die Standardabweichung. Wenn du dazu noch mehr erfahren willst, schau in unser Video dazu rein!
