Induktive Statistik

Hypothesentest

Hier lernst du nicht nur die Grundlagen des Hypothesentest kennen, sondern auch was es in diesem Zusammenhang mit dem Annahme- und Ablehnungsbereich sowie der Entscheidungsregel auf sich hat. Außerdem widmet sich der Beitrag den vielfältigen Ausprägungen von Hypothesentests: linksseitiger, rechtsseitiger und beidseitiger Hypothesentest.

Unser Lernvideo zum Thema bringt dir das Ganze auch visuell näher!

Inhaltsübersicht

Hypothesentest einfach erklärt

Bei einem Hypothesentest handelt es sich in erster Linie um ein statistisches Testverfahren, das Behauptungen überprüft. Dieser Prozess der Überprüfung findet immer an einem Hypothesenpaar statt, woraus sich eben der Name dieses Testverfahrens ergibt. Besonders wichtig zu verstehen ist auch, dass ein Hypothesentest keine vollkommene Validierung einer Behauptung vornehmen kann. Er kann Behauptungen lediglich am Signifikanzniveau und damit einer gewissen Fehler-/Irrtumswahrscheinlichkeit testen. Beim Hypothesentest fällt also immer eine Entscheidung zugunsten derjenigen Hypothese des Hypothesenpaars, die auf Grundlage erhobener Daten einer Stichprobe wahrscheinlicher scheint.

Die Art und Weise der Durchführung eines Hypothesentest ist davon abhängig, auf welcher Verteilung die zugrunde liegenden Zufallsvariablen basieren. In diesem Beitrag wirst du im Zuge eines Beispiels vorrangig den auf der Binomialverteilung basierten Hypothesentest kennenlernen. Den t-Test und den Chi-Quadrat-Test , die beide auf anderen Verteilungen basieren, erklären wir dir in den jeweiligen Videos einzeln genauer.

Zur erfolgreichen Durchführung eines Hypothesentest müssen grundlegend drei wesentliche Dinge geschehen: das Aufstellen eines Hypothesenpaares bestehend aus Nullhypothese und Alternativhypothese, die Bestimmung der zugrunde liegenden Verteilung sowie die Auswahl einer Entscheidungsregel, um Annahme- und Ablehnungsbereich festzulegen.

Hypothesentest, Hypothesentest einfach erklärt
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Allgemeine Vorgehensweise beim Hypothesentest

Auf dieser Grundlage kann der Prozess der Stichprobenerhebung, Berechnung der Teststatistik sowie der Testentscheidung effektiv gestartet werden. Um dem Prinzip der statistischen Signifikanz nachzukommen ist zusätzlich auch das Signifikanzniveau von Bedeutung für die erfolgreiche Durchführung eines Hypothesentest.

Hypothesentest Beispiel 

Um diese Vorgehensweise nachvollziehen zu können, werden wir an einem einfachen Beispiel zuerst einmal die wesentlichen Schritte des Hypothesentest kennen lernen. Dafür stellen wir uns folgende Ausgangssituation vor:

Die Partei Schmetterling hat sich für die kommende Kanzlerwahl auf einen Kandidaten festgelegt, den sie offiziell aufstellen will. Dieser sollte jedoch mindestens eine Zustimmungsquote von 30% auch unter Nichtmitgliedern aufweisen können. Die Partei hat die Zustimmung unter Nichtmitgliedern bereits 6 Monate zuvor weitreichend getestet und einen Zuspruch von über 30% festgestellt, sie will aber trotzdem statistisch nachprüfen, dass der Wert in diesem Zeitraum nicht signifikant gesunken ist. Daher befragt die Partei kurzfristig noch 100 potenzielle Wähler in einer Zufallsstichprobe. Es sprechen sich im Zuge der Stichprobe 28 Befragte für den Kandidaten aus, was erstmal gegen den Kandidaten spricht und nach einem Rückgang der Zustimmung aussieht. Aber ist dieser Rückgang genug, um das alte Ergebnis zurückzuweisen und nun von einer Zustimmung von unter 30% auszugehen? Das soll anhand des Hypothesentests geprüft werden.

Hypothesentest, Hypothesentest Beispiel
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Ausgangssituation des Beispiels

Zuerst stellst du nun also eine Alternativhypothese auf, die die zu testende Annahme wiederspiegelt, die Zustimmung für den Kandidaten sei gesunken. Die Nullhypothese stellt dagegen die Ausgangssituation dar, die der Test widerlegen könnte: eine anhaltende Zustimmung für den Kandidaten von mindestens 30%.

H_1: Die Zustimmung für den Kandidaten liegt bei unter 30%.                                 H_1: p < 0,3

H_0: Die Zustimmung für den Kandidaten liegt bei mindestens 30%.                     H_0: p \geq 0,3

Wie bereits oben thematisiert, ist für die Aussagekraft deiner Untersuchung außerdem die Festsetzung des Signifikanzniveaus von Bedeutung. Der alleinige Blick auf die Daten der Stichprobe lässt zuerst einmal vermuten, dass wir die Nullhypothese ablehnen werden und tatsächlich ein Rückgang der Zustimmung vorliegt. Allerdings entspricht die Abildung in einer Stichprobe nicht gleich den tatsächlichen Begebenheiten in der Grundgesamtheit. Deshalb testet der Hypothesentest die Ergebnisse der Stichprobe am Signifikanzniveau und sorgt so für Übertragbarkeit.

Hypothesentest Fehler 1. Art

Bei aller Übertragbarkeit muss bei jeder Art des Hypothesentest jedoch immer bedacht werden, dass bei der Entscheidung für eine der beiden zur Verfügung stehenden Hypothesen Fehler auftreten können. Dabei kann einerseits der Fehler 1. Art (auch Alphafehler) und andererseits der Fehler 2. Art (auch Betafehler) auftreten.

Ein Fehler 1. Art liegt dann vor, wenn die Nullhypothese fälschlicherweise verworfen wird, obwohl sie wahr ist. Umgekehrt liegt ein Fehler 2. Art dann vor, wenn die Nullhypothese beibehalten wird, aber eigentlich falsch ist. In unserem Fall würde das folgendes bedeuten:

Fehler 1. Art: Wir kommen zu dem Schluss, dass der Kandidat an Zustimmung verloren hat (somit Ablehnung der H_0), obwohl seine Zustimmung immer noch bei mindestens 30% liegt

Fehler 2. Art: Wir kommen zu dem Schluss, dass der Kandidat immer noch eine Zustimmung von mindestens 30% aufweist (somit Beibehaltung der H_0), obwohl die Zustimmung für ihn gesunken ist.

Welche Art von Fehler bei einer spezifischen Entscheidung gemacht werden kann, hängt auch von den sogenannten Annahme- und Ablehnungsbereichen für Hypothesen ab. Der Grenzwert zwischen beiden Bereichen, der sogenannte kritische Wert, bestimmt die jeweilige Größe und Lage der Bereiche. Meist wird es als wichtiger angesehen, den Fehler 1. Art zu kontrollieren, was eben über das fünfprozentige Signifikanzniveau geschieht. Wenn also ein Hypothesentest durchgeführt wird, muss dies mit dem Wissen geschehen, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von annähernd 5% die Nullhypothese fälschlicherweise abgelehnt und somit ein Fehler 1. Art begangen wird.

  Die Nullhypothese ist wahr Die Nullhypothese ist falsch
Ergebnis der Stichprobe liegt im Annahmebereich der Nullhypothese Die getroffene Entscheidung ist richtig. (Annahme und die Nullhypothese ist wahr) Die getroffene Entscheidung ist falsch. (Annahme, aber die Nullhypothese ist falsch)

Fehler 2. Art
Ergebnis der Stichprobe liegt im Ablehnungsbereich der Nullhypothese Die getroffene Entscheidung ist falsch. (Ablehnung, aber die Nullhypothese ist wahr)

Fehler 1. Art
Die getroffene Entscheidung ist richtig. (Ablehnung und die Nullhypothese ist falsch)

Hypothesentest Binomialverteilung 

Kommen wir konkret zurück zu unserem Beispiel des Kanzlerkandidaten der Partei Schmetterling. Du kannst nun auf Grundlage der allgemeinen Regeln für den Hypothesentest weitere Schritte in Angriff nehmen, um deinen Test korrekt durchzuführen. Wir haben bereits ein konkretes Hypothesenpaar sowie das Signifikanzniveau festgelegt. Um den Annahme- und Ablehnungsbereich auf dieser Grundlage jetzt genau definieren zu können, müssen wir weitergehend die Verteilung bestimmen, um einen konkreten Test durchführen und den kritischen Wert ermitteln zu können.

Unser Beispiel stützt sich auf Wahrscheinlichkeitsangaben, woraus wir schließen können, dass unsere Zufallsvariablen binomialverteilt sind. Bei der Durchführung eines auf der Binomialverteilung aufbauenden Hypothesentest bieten sich zwei Möglichkeiten. Einerseits das Testen mit der normalen Binomialverteilungstabelle oder andererseits mit der kumulierten Binomialverteilungstabelle. Wir müssen also spezifizieren, was für ein Fall genau vorliegt, was wir aber mit einem Blick auf die Formulierung des Hypothesenpaars erreichen. Die normale Binomialverteilungstabelle würde bei einem Fall zum Einsatz kommen, der von „genau“ 30% ausgeht. Unsere Nullhypothese spricht von mindestens 30% anstatt genau 30% Zustimmung für den Kandidaten. Solche Formulierungen wie „mindestens“ und höchstens“ signalisieren, dass du zum Nachschlagen die Tabelle für die kumulierte Binomialverteilung heranziehen sollst.

Hypothesentest Beispiel, Hypothesentest Binomialverteilung
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Hypothesentest: Verteilung bestimmen

Hypothesentest Entscheidungsregel 

Zur Festlegung der Entscheidungsregel, die sich aus dem Grenzwert für Annahme- und Ablehnungsbereich voneinander ableitet, müssen wir jetzt also im Zuge des Testverfahrens in der kumulierten Binomialverteilungstabelle nachschlagen. Zur Erinnerung tragen wir nochmals die wesentlichen Informationen zusammen:

  1. Die Wahrscheinlichkeit p liegt bei 30% bzw. 0,3, was wir dem Hypothesenpaar entnehmen können.
  2. Die Größe unserer Stichprobe entspricht n = 100.
  3. Das Signifikanzniveau haben wir extern auf 5%, also \alpha = 0,05, festgelegt.
  4. Die beobachtete Prüfgröße X der Stichprobe, also die Anzahl der Befragten, die dem Kandidaten ihre Zustimmung aussprechen, liegt bei einem Wert von 28.

Anhand der Werte p = 0,3 und n = 100 lesen wir jetzt in der Verteilungstabelle denjenigen Wert ab, der als letzter einen zugehörigen Alpha-Wert besitzt, der unter unserem Signifikanzniveau von \alpha = 0,05 liegt. Zur Einordnung: die Tabelle zeigt ausschließlich Nachkommastellen.

n = 100 0,1 1/6 0,2 0,25 0,3 1/3 0,4
19
9980 7803 4602 0995 0089 0011
20 9992 8481 5595 1488 0165 0024
21 9997 8998 6540 2114 0288 0048
22 9999 9369 7389 2864 0479 0091 0001
23 9621 8109 3711 0755 0164 0003
24 9783 8686 4617 1136 0281 0006
25 9881 9125 5535 1631 0458 0012

Anhand der Informationen aus der Stichprobe und den Hypothesen können wir also problemlos den kritischen Wert aus der Verteilungstabelle ablesen. Er liegt bei k = 22.

Hypothesentest Binomialverteilung, Hypothesentest Entscheidungsregel
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Ablesen des kritischen Wertes aus der Verteilungstabelle

Daraus können wir jetzt abschließend den Annahme- und Ablehnungsbereich festlegen sowie eine allgemeine Entscheidungsregel aufstellen. Diese wird uns dabei helfen, eine endgültige Entscheidung für unsere Beispielaufgabe zu treffen.

Annahmebereich A=\left\{23,24,25,...,100\right\}

Ablehnungsbereich \bar{A} =\left\{0,1,2,...,22\right\}

Hypothesentest Beispiel, Hypothesentest Entscheidungsregel
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Hypothesentest: Annahme- und Ablehnungsbereich

Entscheidungsregel: 

Auf Grundlage eines 5-prozentigen Signifikanzniveaus verwerfen wir bei einer Stichprobe mit 100 Probanden die Nullhypothese, sollte die Prüfgröße X kleiner bzw. gleich dem kritischen Wert k = 22 sein.

Für unser Fallbeispiel hatten aber immer noch 28 Befragte dem Kandidaten ihre Zustimmung ausgesprochen. Der Wert liegt somit nicht im Ablehnungsbereich der Nullhypothese und ist daher nicht niedrig genug, um diese zu verwerfen. Im Kern bedeutet das: die Partei Schmetterling wird an ihrem Kandidaten festhalten. Sie geht weiterhin davon aus, dass er mindestens 30% Zustimmung auch unter Nichtmitgliedern genießt.

Hypothesentest Aufgaben 

Würdest du unser vorliegendes Beispiel graphisch darstellen, wäre gut zu erkennen, dass der Ablehnungsbereich der Nullhypothese links an der Verteilung zu finden wäre. Daraus ist abzuleiten, dass wir auf Grundlage der Fragestellung und der Hypothesen einen linksseitigen Hypothesentest durchgeführt haben. Der Hypothesentest kann jedoch auch rechtsseitig oder beidseitig durchgeführt werden und  dir daher in Form von unterschiedlichen Aufgabentypen begegnen. Der hauptsächliche Indikator für die Art des Hypothesentest ist dabei oftmals die Richtung bzw. Formulierung der Alternativhypothese H_1.

Einseitiger Hypothesentest

Beim einseitigen Hypothesentest liegt für die Verteilung von Annahme- und Ablehnungsbereich folgende Situation vor: der Annahmebereich ergibt sich als ein zusammenhängender Bereich, während sich der Ablehnungsbereich entweder am linken oder am rechten Ende der Verteilungskurve befindet. In diese Kategorie fallen also der linksseitige sowie der rechtsseitige Hypothesentest.

Linksseitiger Hypothesentest

Unser Rechenbeispiel verlangte nach einem linksseitigen Hypothesentest. Die Ausgangssituation war folgendermaßen: Wir wollten testen, ob die Zustimmung für unseren Kandidaten geringer ist als wir ursprünglich in der Nullhypothesen angenommen hatten. Zur Erinnerung: Die Formulierung der Hypothesen sah dabei so aus.

H_1: Die Zustimmung für den Kandidaten liegt bei unter 30%.                                 H_1: p < 0,3

H_0: Die Zustimmung für den Kandidaten liegt bei mindestens 30%.                     H_0: p \geq 0,3

Als Indikator für einen linksseitigen Test kannst du also Formulierungen wie „unter/weniger als/kleiner als“ in der H_1 betrachten.

Rechtsseitiger Hypothesentest

Wäre die Ausgangssituation jedoch genau umgekehrt, nämlich dass die Partei in einer großen Umfrage vor 6 Monaten eine Zustimmung von weniger als 30% festgestellt hat und wir nun testen wollen, ob sich das zum Positiven verändert hat, dann müssten wir das Hypothesenpaar umformulieren und in der Konsequenz einen rechtsseitigen Test durchführen. An der Formulierung „größer/mehr als“ in Alternativhypothesen kannst du meist identifizieren, ob ein rechtsseitiger Hypothesentest gefragt ist. Aussehen könnten die Hypothesen dann so:

H_1: Die Zustimmung für den Kandidaten liegt bei über 30%.                                 H_1: p > 0,3

H_0: Die Zustimmung für den Kandidaten liegt bei höchstens 30%.                     H_0: p \le 0,3

Hypothesentest Variationen, rechtsseitig, linksseitig, beidseitig
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Rechtsseitiger, linksseitiger und beidseitiger Hypothesentest

Zweiseitiger Hypothesentest

Als dritte Alternative gibt es noch den zweiseitigen Hypothesentest, der oft auch eher unter der Bezeichnung beidseitiger Hypothesentest bekannt ist. Dieser Fall unterscheidet sich insofern vom einseitigen Test, als dass der Ablehnungsbereich in zwei Bereiche unterteilt ist und sich jeweils an beiden Enden des Annahmebereichs befindet. Der beidseitige Hypothesentest erweist sich als besonders sinnvoll, wenn man sich zwar sicher ist, dass die in der Nullhypothese H_0 getätigte Aussage unwahr ist, aber noch unklar ist, ob man eine Abweichung nach oben oder nach unten vermutet. Dass ein beidseitiger Test durchzuführen ist,lässt sich an Formulierungen wie „ungleich“ in der Alternativhypothese H_1 erkennen.

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