Deskriptive Statistik

Standardabweichung

 In diesem Artikel erfährst du wie du die Standardabweichung berechnen kannst und bekommst die Formel einfach erklärt. Am Ende gehen wir auf die Interpretation der Standardabweichung genauer ein.

Als Grundlage solltest du wissen, was die Varianz  ist und wie du die Varianz berechnen kannst. Schau dir am besten unsere Artikel dazu an. Richtig anschaulich bekommst du die Standardabweichung in unserem Video erklärt! Lehn dich zurück und schau es dir an.

Inhaltsübersicht

Standardabweichung berechnen

Die Standardabweichung ist eines der wichtigsten Streuungsmaße der Statistik und beschreibt die durchschnittliche Abweichung vom Mittelwert. Für die Berechnung der Standardabweichung musst du die Wurzel aus der Varianz ziehen.  Da du aber nicht immer die Varianz gegeben hast, gehen wir auf die Berechnung Schritt für Schritt ein. Wenn du nur Werte zur Stichprobe vorliegen hast, gibt es ein einfaches Vorgehen in 4 Schritten.

Vorgehen
  1. Den Mittelwert (Durchschnitt) ausrechnen.
  2. In die Formel der Standardabweichung die Werte des Zufallsexperiments einsetzen.
  3. Die Varianz berechnen (als Zwischenschritt).
  4. Die Wurzel aus der Varianz ziehen.

Falls du dir nicht mehr sicher bist, wie du das arithmetische Mittel ausrechnest und was der Unterschied zum Erwartungswert ist, schau dir unsere Videos dazu an!

Varianz und Varianz berechnen

Um die Standardabweichung berechnen zu können, solltest du bereits wissen, was die Varianz ist. Sie beschreibt die gewichtete quadratische Abweichung vom Mittelwert und muss als Zwischenschritt für die Standardabweichung berechnet werden. Für die Berechnung der Varianz benutzt du die Formel \text{VAR} = \sum_{i=1}^{n}{(x_i-\mu)}^2\cdot p_i}. Für eine genauere Erklärung schau dir dazu auch unseren Artikel Varianz berechnen an.

Ok!  Bevor wir uns gleich ein Beispiel dazu anschauen, wie die Standardabweichung berechnet wird, werfen wir noch einen Blick auf die Formel zur Standardabweichung.

Standardabweichung Formel

Für die Berechnung der Standardabweichung brauchst du also noch die Formel der Standardabweichung. Die Formel schaut so aus:

Formel der Standardabweichung

{\sigma}=\sqrt{\text{VAR}}= \sqrt{\sum_{i=1}^{n}{(x_i-\mu)}^2\cdot p_i }=

=  \sqrt{{(x_1-\mu)}^2\cdot p_1 + {(x_2-\mu)}^2\cdot p_2 +...+ {(x_n-\mu)}^2\cdot p_n}}

  • \sigma ist das Abkürzung für die Standardabweichung (der Grundgesamtheit)
  • \mu ist der Mittelwert, bzw. Erwartungswert
  • x_i ist das einzelne Ergebnis des Zufallsexperiments
  • {x_i - \mu}^2 ist die quadratische Abweichung
  • \sum_{i=1}^{n} beschreibt, dass eine Summe der quadrierten Abweichungen vom Mittelwert berechnet wird.
  • p_i ist der Gewichtungsfaktor

Du kannst dir also merken, dass die Standardabweichung die Wurzel der Varianz ist. Du berechnest die Standardabweichung, indem du die Summe der quadrierten Abweichungen aller Messwerte vom Mittelwerte mit der relativen Häufigkeit der Messwerte gewichtest und vom Ergebnis die Wurzel ziehst.

Die Standardabweichung einer Stichprobe, also die empirische Standardabweichung ist die Wurzel der empirischen Varianz und lautet:

{\sigma}= \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}{(x_i-\mu)}^2 }

Für den genauen Unterschied schau dir den Artikel zur empirischen bzw. Stichprobenvarianz  an.

Beispiel Standardabweichung berechnen

Stell dir vor du schreibst eine Klausur und der Lehrer erklärt dir es gibt folgende Notenverteilung:

Note 1 2 3 4 5 6
Häufigkeit 4 6 7 4 2 2

Was ist die Standardabweichung der Prüfung? Die Standardabweichung berechnen wir nach unserem Vorgehen von oben.

1. Mittelwert berechnen

Dazu rechnest du die Note mal die Häufigkeit und teilst diese durch die Summe der Häufigkeiten.

\mu = \frac{(1\cdot4)+(2\cdot6)(3\cdot7)(4\cdot4)(5\cdot2)(6\cdot2)}{25}= \frac{75}{25} = 3

Der Notendurchschnitt ist also die Note drei.

2. Werte in die Formel einsetzen

Als nächstes setzen wir die Werte in die Formel ein.

{\sigma}=\sqrt{\text{VAR}}=\sqrt{\frac{{(1 - 3)}^2\cdot 4 + {(2 - 3)}^2\cdot6 + {(3 -3)}^2\cdot7 + {(4 - 3)}^2 \cdot4+ {(5-3)}^2\cdot2 + {(6 - 3)}^2\cdot2} {25}}

Wir setzen also in die Formel unsere einzelnen Noten ein (x_i = Note) und ziehen davon den Mittelwert \mu = 3 ab und quadrieren sie, um keine negativen Werte zu erhalten. Anschließend gewichten wir die einzelnen Ergebnisse mit ihren Häufigkeiten. Abschließend teilen wir die Summe durch die Anzahl an Schülern.

3. Varianz berechnen (Zwischenschritt)

Im dritten Schritten rechnen wir die Formel aus. Der Einfachheit halber rechnen wir als Zwischenschritt erst die Varianz aus, also alles innerhalb der Wurzel. Um es besser nachvollziehen zu können sind hier nochmal die Rechenschritte aufgelistet:

{\text{VAR}=\frac{{(-2)}^2\cdot 4 + {(-1)}^2\cdot6 + {(0)}^2\cdot7 + {(1)}^2 \cdot4+ {(2)}^2\cdot 2 + {(3)}^2\cdot2} {25}

{\text{VAR}=\frac{4\cdot 4 + 1\cdot6 + 0\cdot7 +1 \cdot4+ 4\cdot2 + 9\cdot2}{25}

{\text{VAR}=\frac{16+6+0+4+8+18}{25} = \frac{52}{25}= 2,08 {\text{ Note}}^2

4. Standardabweichung berechnen

Um die Standardabweichung zu berechnen muss du jetzt noch die Wurzel aus der Varianz ziehen.

{\sigma}=\sqrt{\text{VAR}}=\sqrt{2,08}\approx 1,44

Ok klasse – jetzt haben wir eine Zahl für die konkrete Standardabweichung ermittelt. Doch was sagt das jetzt aus? Schauen wir uns noch an wie du die Standardabweichung interpretieren kannst.

Interpretation der Standardabweichung

Um die Interpretation der Standardabweichung besser nachvollziehen zu können schauen rufen wir uns nochmal die Definition ins Gedächtnis.

Definition

Die Standardabweichung beschreibt die durchschnittliche Abweichung aller gemessenen Werte vom Mittelwert. Per Definition beschreibt sie ein Intervall um den Mittelwert und gibt die Streubreite an. 

Übertragen auf unser Beispiel beschreibt die Standardabweichung also wie weit die Noten von der Durchschnittsnote entfernt liegen, also die Durchschnittsnote plus oder minus 1,44.

%Grafisch schaut dass dann so aus: <img class="" src="https://encrypted-tbn0.gstatic.com/images?q=tbn%3AANd9GcQ8G8lDt1kk87JivEdOh3fg7urkPXakPewqiywRyAUZaWupZBz7&usqp=CAU" alt="Standardabweichung Interpretation | NOVUSTAT" width="346" height="277" /> Bitte ein Verteilungsdiagramm plotten mit x - Achse die einzelnen Noten und y -Achse die Werte aus der Tabelle oben.  Überschrift "Notenverteilung - Histogramm" ; Außerdem den Mittelwert (3) grafisch hervorheben und die Standardabweichung mit geschweiften Klammer einzeichnen.  also [Mittelwert - Standardabweichung, Mittelwert + Standardabweichung]Bei einem zweiten Beispiel wird es noch klarer:  Stell dir vor die Noten sind extremer verteilt.

Note 1 2 3 4 5 6
Häufigkeit 10 4 0 1 7 3

Dann wäre der Mittelwert wieder bei 3. Jedoch wäre die Standardabweichung deutlich extremer.

{\sigma}= \sqrt{\frac{{(-2)}^2\cdot 10 + {(-1)}^2\cdot4 + {(0)}^2\cdot0 + {(1)}^2 \cdot1+ {(2)}^2\cdot7 + {(3)}^2\cdot3} {25}}=\sqrt{\frac{100}{25}} = 2

Grafisch wird die extremere Verteilung sehr deutlich: %Grafisch schaut dass dann so aus: <img class="" src="https://encrypted-tbn0.gstatic.com/images?q=tbn%3AANd9GcQ8G8lDt1kk87JivEdOh3fg7urkPXakPewqiywRyAUZaWupZBz7&usqp=CAU" alt="Standardabweichung Interpretation | NOVUSTAT" width="346" height="277" /> Bitte ein Verteilungsdiagramm plotten mit x - Achse die einzelnen Noten und y -Achse die Werte aus der Tabelle oben.  Überschrift "Notenverteilung - Histogramm" ; Außerdem den Mittelwert (3) grafisch hervorheben und die Standardabweichung mit geschweiften Klammer einzeichnen.  also [Mittelwert - Standardabweichung, Mittelwert + Standardabweichung]

So, du weisst jetzt, was die Standardabweichung ist, wie man sie interpretiert. Die Standardabweichung ist in Statistik ein wichtiges Streuungsmaß, da sie sehr aussagekräftig ist.


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