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Standardabweichung

Wichtige Inhalte in diesem Video

Standardabweichung — einfach erklärt

Standardabweichung berechnen

Ergebnis der Standardabweichung

Du möchtest verstehen, was die Standardabweichung ist und wie du sie berechnest? Hier im Beitrag und im Video erklären wir dir alles Wichtige dazu!

Inhaltsübersicht

Standardabweichung — einfach erklärt

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Die Standardabweichung ist ein Maß dafür, wie sehr Werte von ihrem eigenen Durchschnittswert abweichen. Den Durchschnittswert nennst du auch Mittelwert.

Beispiel:

Sechs Schüler haben die Noten aus einer Mathe-Klausur bekommen. Die Verteilung der Noten sieht so aus:

Note x_i	1	2	3	4	5
Anzahl	1	2	2	1	0

Um die Standardabweichung zu berechnen, brauchst du zuerst den Mittelwert $\textcolor{red}{\mu}$ aller Noten:

$\textcolor{red}{\mu}= {\frac{(\textcolor{olive}{1} \cdot \textcolor{blue}{1}) + (\textcolor{olive}{2} \cdot \textcolor{blue}{2}) + (\textcolor{olive}{3} \cdot \textcolor{blue}{2}) + (\textcolor{olive}{4} \cdot \textcolor{blue}{1}) + (\textcolor{olive}{5} \cdot \textcolor{blue}{0})}{6}} = \frac{1+4 + 6 + 4}{6} = \frac{15}{6} = \textcolor{red}{2,5}$

Als Nächstes musst du die Häufigkeit p_i von jeder Note berechnen:

$p_1=\frac{\textcolor{blue}{1}}{6}\quad\quad p_2=\frac{\textcolor{blue}{2}}{6}\quad\quad p_3=\frac{\textcolor{blue}{2}}{6}\quad\quad p_4=\frac{\textcolor{blue}{1}}{6}\quad\quad p_5=\frac{\textcolor{blue}{0}}{6}$

Nun kannst du die Standardabweichung $\sigma$ mit der Formel berechnen:

$\begin{align*} \sigma &=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}{(\textcolor{olive}{x_i}-\textcolor{red}{\mu})}^2\cdot p_i} \\ &\\ &=\sqrt{(\textcolor{olive}{1} - \textcolor{red}{2,5})^2 \cdot \frac {\textcolor{blue}{1}}{6} + (\textcolor{olive}{2} - \textcolor{red}{2,5})^2 \cdot \frac {\textcolor{blue}{2}}{6} +(\textcolor{olive}{3} - \textcolor{red}{2,5})^2 \cdot \frac {\textcolor{blue}{2}}{6} +(\textcolor{olive}{4} - \textcolor{red}{2,5})^2 \cdot \frac {\textcolor{blue}{1}}{6} + (\textcolor{olive}{5} - \textcolor{red}{2,5})^2 \cdot \frac {\textcolor{blue}{0}}{6}} \\ &\\ &= \sqrt{0,9166}\\ &\\ &\approx 0,96 \end{align*}$

Eine Standardabweichung von etwa 0,96 bedeutet in diesem Fall, dass die Noten der Schüler relativ nah am Mittelwert liegen.

Standardabweichung Formel

Für die Berechnung brauchst du die Formel der Standardabweichung. Die Formel sieht so aus:

Formel der Standardabweichung — Grundgesamtheit

${\sigma}=\sqrt{\text{VAR}}= \sqrt{\sum_{i=1}^{n}{(x_i-\mu)}^2\cdot p_i }=$

$= \sqrt{{(x_1-\mu)}^2\cdot p_1 + {(x_2-\mu)}^2\cdot p_2 +...+ {(x_n-\mu)}^2\cdot p_n}}$

$\sigma$ ist das Abkürzung für die Standardabweichung (der Grundgesamtheit)
$\mu$ ist der Mittelwert, bzw. Erwartungswert
ist das einzelne Ergebnis des Zufallsexperiments
${(x_i - \mu)}^2$ ist die quadratische Abweichung
$\sum_{i=1}^{n}$ beschreibt, dass eine Summe der quadrierten Abweichungen vom Mittelwert berechnet wird
ist der Gewichtungsfaktor

Die Standardabweichung ist also die Wurzel der Varianz.

Standardabweichung berechnen

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Die Standard abweichung kannst du mit der Formel in vier Schritten berechnen:

Den Mittelwert berechnen
Die Wahrscheinlichkeiten berechnen
Die Werte in die Formel einsetzen
Die Formel ausrechnen

Das gehen wir jetzt Schritt für Schritt durch.

Schritt 1: Den Mittelwert berechnen

Um den Mittelwert $\mu$ zu berechnen, addierst du zuerst alle deine Werte. Dann teilst du die Summe durch die Anzahl der Werte.

Für das Beispiel der fünf Schüler brauchst du den Mittelwert aller Noten.

Note	1	2	3	4	5
Anzahl	0	2	2	1	0

Es gibt zweimal die Note 2, zweimal die 3 und einmal die 4. Insgesamt gibt es fünf Noten. Also berechnest du den Mittelwert so:

$\textcolor{red}{\mu} = {\frac{(\textcolor{olive}{1} \cdot \textcolor{blue}{0}) + (\textcolor{olive}{2} \cdot \textcolor{blue}{2}) + (\textcolor{olive}{3} \cdot \textcolor{blue}{2}) + (\textcolor{olive}{4} \cdot \textcolor{blue}{1}) + (\textcolor{olive}{5} \cdot \textcolor{blue}{0})}{5}} = \frac{4 + 6 + 4}{5} = \frac{14}{5} = \textcolor{red}{2,8}$

Schritt 2: Die Wahrscheinlichkeiten berechnen

Der nächste Schritt ist die Berechnung der relativen Häufigkeit p_i für jede Note. Das zeigt dir, wie jeder Wert im Vergleich zur Gesamtanzahl der Werte gewichtet wird.

Im Beispiel sieht das so aus:

Für Note 1: $p_1 = \frac{\textcolor{blue}0}{5}$
Für Note 2: $p_2 = \frac{\textcolor{blue}2}{5}$
Für Note 3: $p_3 = \frac{\textcolor{blue}2}{5}$
Für Note 4: $p_4 = \frac{\textcolor{blue}1}{5}$
Für Note 5: $p_5 = \frac{\textcolor{blue}0}{5}$

Expertenwissen

Wenn alle Ereignisse gleich wahrscheinlich sind, kannst du statt mit p_izu multiplizieren auch durch die Gesammtzahl n teilen.

$\frac{(x_i - \mu)^2}{n}$

Schritt 3: Setze alle Werte in die Formel ein

Nun setzt du alle Werte in die Formel für die Standardabweichung ein.

$\begin{align*} \sigma &=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}{(\textcolor{olive}{x_i}-\textcolor{red}{\mu})}^2\cdot p_i} \\ &\\ &=\sqrt{(\textcolor{olive}{1} - \textcolor{red}{2,8})^2 \cdot \frac {\textcolor{blue}{0}}{5} + (\textcolor{olive}{2} - \textcolor{red}{2,8})^2 \cdot \frac {\textcolor{blue}{2}}{5} +(\textcolor{olive}{3} - \textcolor{red}{2,8})^2 \cdot \frac {\textcolor{blue}{2}}{5} +(\textcolor{olive}{4} - \textcolor{red}{2,8})^2 \cdot \frac {\textcolor{blue}{1}}{5} + (\textcolor{olive}{5} - \textcolor{red}{2,8})^2 \cdot \frac {\textcolor{blue}{0}}{5}} \end{align*}$

Wichtig: Die Formel der Standardabweichung kannst du auf zwei Weisen aufschreiben: Eine Möglichkeit ist es, wie wir es machen: Du multiplizierst die quadrierten Differenzen mit ihrem jeweiligen Gewichtungsfaktor p_i, wie $\frac{2}{5}$ oder $\frac{1}{5}$ .

Die zweite Variante ist es, die quadrierten Differenzen zuerst mit der Anzahl der Noten zu multiplizieren. Anschließend teilst du durch die Gesamtzahl aller Noten.

Schritt 4: Die Formel ausrechnen

Als Letztes musst du die Formel ausrechnen. Dazu berechnest du als Erstes die Differenzen und quadrierst sie.

$\begin{align*} \sigma&=\sqrt{(\textcolor{olive}{1} - \textcolor{red}{2,8})^2 \cdot \frac {\textcolor{blue}{0}}{5} + (\textcolor{olive}{2} - \textcolor{red}{2,8})^2 \cdot \frac {\textcolor{blue}{2}}{5} +(\textcolor{olive}{3} - \textcolor{red}{2,8})^2 \cdot \frac {\textcolor{blue}{2}}{5} +(\textcolor{olive}{4} - \textcolor{red}{2,8})^2 \cdot \frac {\textcolor{blue}{1}}{5} + (\textcolor{olive}{5} - \textcolor{red}{2,8})^2 \cdot \frac {\textcolor{blue}{0}}{5}}\\ &=\sqrt{(-1,8)^2 \cdot \frac {\textcolor{blue}{0}}{5} + (-0,8)^2 \cdot \frac {\textcolor{blue}{2}}{5} +(0,2)^2 \cdot \frac {\textcolor{blue}{2}}{5} +(1,2)^2 \cdot \frac {\textcolor{blue}{1}}{5} + (2,2)^2 \cdot \frac {\textcolor{blue}{0}}{5}}\\ &=\sqrt{3,24 \cdot \frac {\textcolor{blue}{0}}{5} + 0,64 \cdot \frac {\textcolor{blue}{2}}{5} +0,04 \cdot \frac {\textcolor{blue}{2}}{5} +1,44 \cdot \frac {\textcolor{blue}{1}}{5} +4,84 \cdot \frac {\textcolor{blue}{0}}{5}}\\ \end{align*}$

Dann multiplizierst du jeweils die relativen Häufigkeiten.

$\begin{align*} \sigma&=\sqrt{0+ 0,256 +0,016 + 0,288 +0}\\ \end{align*}$

Zum Schluss addierst du alles und ziehst die Wurzel.

$\begin{align*} \sigma&=\sqrt{0,56}\approx 0,75 \end{align*}$

Ergebnis der Standardabweichung

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Doch was sagt das Ergebnis jetzt aus? Hier sind einige Schlüsselpunkte zur Interpretation:

Niedrige Standardabweichung: Wenn die Standardabweichung klein ist, bedeutet das, dass die meisten Datenpunkte nah am Mittelwert liegen. Bei unserem Noten-Beispiel: Je kleiner die Standardabweichung, desto ähnlicher sind die Noten.
Hohe Standardabweichung: Eine hohe Standardabweichung zeigt an, dass die Daten weit um den Mittelwert verstreut sind. Das bedeutet, es gibt eine große Variabilität und die Werte können sehr unterschiedlich sein. Es gibt zum Beispiel viele Einser und viele Fünfer.
Null: Wenn die Standardabweichung null ist, haben alle Datenpunkte den gleichen Wert — sie sind also identisch. Zum Beispiel haben alle Schüler die Note 3.

Formel der Standardabweichung — Stichprobe

Für die Berechnung einer Stichprobe lautet die Formel der Standardabweichung:

$s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2}$

ist das Kürzel für die Standardabweichung der Stichprobe
ist die Anzahl der Beobachtungen in der Stichprobe
steht für die Anpassung der Freiheitsgrade in der Formel, um eine genauere Schätzung der Populationsstreuung zu gewährleisten, indem es eine Überbewertung der Stichprobenvarianz verhindert

Standardabweichung — häufigste Fragen

Was genau ist die Standardabweichung?
Die Standardabweichung ist ein statistisches Maß, das angibt, wie weit Werte in einem Datensatz im Durchschnitt vom Mittelwert (dem Durchschnittswert) entfernt liegen. Sie zeigt die Streuung oder Variabilität der Werte um diesen Mittelwert herum an.
Wie rechnet man die Standardabweichung aus?
Du berechnest die Standardabweichung, indem du die Summe der quadrierten Abweichungen aller Messwerte vom Mittelwert mit der relativen Häufigkeit der Messwerte gewichtest und vom Ergebnis die Wurzel ziehst.
Was ist das Symbol der Standardabweichung?
Das Symbol für die Standardabweichung ist der griechische Buchstabe Sigma (σ). Für die Standardabweichung einer Stichprobe ist es s.

Standardabweichung Excel

Jetzt weißt du, was die Standardabweichung ist und wie du sie berechnest. Möchtest du auch lernen, wie du die Standardabweichung ganz einfach mit Excel berechnen kannst? Hier zeigen wir dir Schritt für Schritt zeigt, wie das geht.

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