Zufallsgröße
Der Begriff Zufallsgröße ist ein wichtiger Bestandteil der Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie. Was eine Zufallsgröße ist und welche Arten es gibt, erfährst du hier im Beitrag und im Video !
Inhaltsübersicht
Zufallsgröße Definition
Eine Zufallsgröße, oder auch Zufallsvariable, ist eine Funktion X. Sie ordnet jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments eine reelle Zahl zu:
X: Ω → 
Zum Beispiel kann ein Würfelwurf die Ergebnisse 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 haben. Die Zufallsvariable X ordnet dann jedem Wurf die gewürfelte Augenzahl zu.
Gut zu wissen: Da Zufallsgrößen reelle Zahlen sind, kannst du für sie Kennzahlen wie den Erwartungswert , die Standardabweichung und die Varianz berechnen.
Alle möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments werden im Ergebnisraum Ω zusammengefasst. Die Zufallsgröße kennzeichnest du mit Großbuchstaben (X). Die einzelnen Werte der Zufallsgröße gibst du hingegen mit Kleinbuchstaben (k) an.
Du unterscheidest zwischen zwei Arten von Zufallsgrößen: diskrete und stetige Zufallsgrößen.
Diskrete Zufallsgrößen
Eine diskrete Zufallsgröße kann nur endlich (zählbar) viele Werte annehmen. Beispiele für Experimente mit diskreten Zufallsgrößen sind: Die Augenzahl bei einem Würfelwurf oder die Anzahl der Besucher im Fitnessstudio an einem Tag.
Jeder Wert k, den die Zufallsgröße X annehmen kann, tritt dabei mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit p auf.
Die Wahrscheinlichkeit, mit der ein einzelner Wert eintritt, gibst du so an:
P (X = k) = p
Beispiel doppelter Münzwurf
Wirfst du zum Beispiel eine Münze zweimal, hast du vier verschiedene Möglichkeiten an Kopf-Zahl-Kombinationen:
Ω = {(K; Z), (Z; K), (K; K), (Z; Z)}
Die Zufallsgröße X soll angeben, wie oft du bei einem doppelten Münzwurf Kopf erhältst. Sie ordnet also jedem möglichen Ergebnis die Anzahl der Kopf-Würfe zu:
- Bei den Ergebnissen (K; Z) und (Z; K) kommt „Kopf“ ein Mal vor. Das heißt, X ordnet diesen Ergebnissen den Wert „1“ zu: X = 1.
- Bei dem Ergebnis (K; K) kommt „Kopf“ zweimal vor, sodass diesem Ergebnis der Wert „2“ zugeordnet wird: X = 2.
- Da beim letzten möglichen Ergebnis (Z; Z) kein „Kopf“ vorkommt, erhält dieses den Wert „0“: X = 0.
Die Wahrscheinlichkeiten für jeden Wert gibst du so an:
P (X = 1) = ½
P (X = 2) = ¼
P (X = 0) = ¼
Tipp: Die Werte, die eine Zufallsgröße annehmen kann, bezeichnest du auch als Ausprägungen.
Stetige Zufallsgrößen
Eine stetige Zufallsgröße kann beliebig viele Werte innerhalb eines Intervalls annehmen. Das heißt, sie hat keine Lücken. Dazu zählen Zufallsexperimente zu dem Gewicht von Personen oder der Verspätung der Bahn.
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße einen bestimmten von unendlich vielen Werten annimmt, schrumpft daher auf null.
Deshalb sind hier nur Aussagen darüber möglich, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine Zufallsgröße X größer bzw. kleiner als ein Wert ist oder zwischen zwei Werten liegt.
Die Wahrscheinlichkeit p für die verschiedenen Möglichkeiten schreibst du so:
- X größer gleich k: P (X ≥ k) = p
- X kleiner gleich k: P (X ≤ k) = p
- X zwischen zwei Werten k1 und k2: P (k1 ≤ X ≤ k2) = p
Beispiel Körpergewicht
Du befragst zehn Leute auf der Straße nach ihrem Körpergewicht. Die Zufallsgröße X, die das Körpergewicht angibt, kann dabei jeden beliebigen Wert zwischen 0 und ∞ annehmen:
Ω = [0; ∞)
Mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 % liegen die genannten Werte zwischen 70 kg und 100 kg:
P (70 ≤ X ≤ 100) = 0,9
Gibst du für jeden Wert xi einer diskreten oder stetigen Zufallsgröße X, die Wahrscheinlichkeit P(X = xi) an, entsteht eine Wahrscheinlichkeitsverteilung. Auch hier unterscheidest du zwischen diskreten und stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen.
Ein Beispiel für eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die Binomialverteilung . Eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung ist z. B. die Normalverteilung .
Stetige Zufallsgrößen in diskrete Zufallsgrößen umwandeln
Du kannst stetige Zufallsgrößen, aber auch in diskrete Zufallsgrößen umwandeln. Dafür bildest du Intervalle und weist jedem Intervall eine Zahl zu.
Auch für die Temperatur hast du eine stetige Zufallsgröße. Deshalb kann die Zufallsvariable X wieder jeden Wert zwischen 0 und ∞ annehmen. Um die diskrete Zufallsgröße jetzt in eine stetige umzuwandeln, bildest du Intervalle für die Temperatur:
![\[ X(x)=\left\{\begin{array}{11} 1, & 0 \le x < 10 \\ 2, & 10 \le x < 20 \\ 3, & 20 \le x < 30 \\ 4, & 30 \le x < 40 \\ 5, & x \ge 40\end{array}\right\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8eee5d92c67debee2f3b2844ba1cfd10_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Zufallsgrößen — häufigste Fragen
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Was ist eine Zufallsgröße Beispiel?
Eine Zufallsgröße, ist eine Funktion X, die jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments eine reelle Zahl zuordnet. Ein Beispiel dafür ist die Augensumme bei zwei geworfenen Würfeln.
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Welche Zufallsgrößen gibt es?
Du unterscheidest zwischen diskreten und stetigen Zufallsgrößen. Diskrete Zufallsgrößen sind dadurch gekennzeichnet, dass sie nur endlich (zählbar) viele Werte annehmen können. Eine stetige Zufallsgröße hingegen kann unendlich viele Werte annehmen
Stochastik
Super! Jetzt weißt du, welche Arten von Zufallsgrößen es gibt und wie du sie unterscheidest. Der Begriff Zufallsgröße stammt aus der Stochastik. Was noch alles zur Stochastik gehört, erfährst du in unserem Video !
