Deskriptive Statistik

Varianz

Die Varianz ist einer der wichtigsten Streuungsparameter in der Statistik. Erfahre hier, wie die Varianz definiert ist, welchen Wert sie beschreibt und was der Unterschied zur Standardabweichung ist.

Mit unserem Video verstehst du das Thema ohne Probleme – Lehn‘ dich zurück und lass‘ es dir erklären! Worauf wartest du noch?

Du möchtest verstehen, wie genau sich die Varianz berechnen lässt oder was die Standardabweichung ist? Dann schau dir unseren separaten Beitrag dazu an! Auch zum Thema Empirische Varianz  haben wir einen Beitrag.

Inhaltsübersicht

Varianz einfach erklärt

Die Varianz für die Verteilung einer Zufallsvariablen (Populationsvarianz) zu bestimmen ist einfacher, wenn du verstehst, was sie bedeutet. Schauen wir uns dafür zunächst an, wie sie definiert ist.

Definition

Die Varianz ist die durchschnittliche Abweichung aller Werte eines Zufallsexperiments von ihrem Erwartungswert ins Quadrat. Die Formel für die Varianz lautet:

{{\sigma}}^2=\sum_{i=1}^{n}{(x_i-\mu)}^2\cdot p_i

  • {{\sigma}}^2 ist das Zeichen für die Varianz (bei Zufallsexperimenten)
  • \mu ist der Erwartungswert
  • x_i ist das Ergebnis des Zufallsexperiments
  • p_i beschreibt, die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis x_i eintritt. Es ist also ein Gewichtungsfaktor.
  • \sum_{i=1}^{n} ist das Summenzeichen und sagt aus, dass wir den gewichteten quadrierten Abstand vom Mittelwert für jedes Ereignis x_i ausrechen.

Du schätzt praktisch ab, wie weit die einzelnen Werte des Zufallsexperiments vom Erwartungswert entfernt liegen. Dann nimmst du die Abweichung ins Quadrat. Das Ganze lässt sich grafisch am besten verdeutlichen.%Grafik plotten<img class="alignnone size-medium wp-image-49563" src="https://blog.studyflix.de/wp-content/uploads/2020/04/grafik-varianz-292x300.png" alt="" width="292" height="300" />, so ähnlich wie Mathebibel In diesem Zusammenhang ist ebenfalls die Standardabweichung wichtig. Sie ist die Wurzel der Varianz. Eine wichtige Unterscheidung ist außerdem, ob es sich um die Varianz einer Zufallsvariablen handelt (also die entsprechenden Wahrscheinlichkeitsverteilung bekannt ist) oder ob es sich um eine Stichprobe (die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist unbekannt) handelt. Bei letzterem Fall musst du dann die Stichprobenvarianz berechnen.

Varianz Beispiel

Das ist dir zu abstrakt? Dann stell dir folgendes Beispiel vor:
Du hast zwei verschiedene Glücksspiele: Beim Ersten kannst du mit gleicher Wahrscheinlichkeit entweder 100€ gewinnen oder 100€ verlieren, beim Zweiten genau einen Euro gewinnen, beziehungsweise einen Euro verlieren. Obwohl beide Glücksspiele genau den gleichen Erwartungswert, nämlich 0, haben, ist ihre Varianz ganz unterschiedlich. Das liegt daran, dass die möglichen Ergebnisse unterschiedlich weit vom Erwartungswert weg liegen.

Varianz
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Beispiel Varianz

Varianz berechnen

Um die Varianz zu berechnen gibt es ein einfaches Vorgehen: Zuerst musst du den Erwartungswert ermitteln, dann die einzelnen Werte in die Formel einsetzen und anschließend die Varianz berechnen. In unserem Artikel Varianz berechnen gehen wir nochmal genauer auf das Vorgehen und die Formel der Varianz ein.

In diesem Beispiel können wir die Varianz ganz einfach bestimmen: Zuerst benötigen wir den Erwartungswert. Der ist in beiden Fällen 0. Diesen berechnest du in dem du die einzelnen Werte mal deren Eintrittswahrscheinlichkeit rechnest und zusammenaddierst. Falls du dir unsicher bist wie du darauf kommst, schau dir unser Video zum Erwartungswert an.  Anschließend können wir die Werte in die Formel zur Varianz einsetzen und erhalten zwei unterschiedliche Werte der Varianz für unser Glücksspiel:

Geldschein: {{\sigma}}^2={(+100-0)}^2 \cdot 0,5 + {(-100-0)}^2\cdot 0,5 = 10.000

Münze: {{\sigma}}^2={(+1-0)}^2 \cdot 0,5+ {(-1-0)}^2\cdot 0,5 = 1

Du siehst also: Obwohl der Erwartungswert der Selbe ist, kann die Varianz stark unterschiedlich ausgeprägt sein. Dies liegt daran, dass die möglichen Ereignisse, im Falle des Geldscheins, weiter vom Erwartungswert entfernt liegen als bei der Münze.

Varianz in der Statistik

Die Varianz ist ein Maß der Statistik und der Stochastik, welches die Streuung der Daten um den Mittelwert angibt. Da sich in der Formel  eine Differenz befindet, ist ihre Berechnung nur für kardinalskalierte Daten möglich. Außerdem kannst du an der Formel erkennen, dass es sich um quadrierte Werte handelt, was die Interpretation erschwert. Daher wird normalerweise die Standardabweichung verwendet, um die Streuung der Daten zu interpretieren. Falls du die Eintrittswahrscheinlichkeiten für die Ereignisse nicht kennst wir die Stichprobenvarianz verwendet. Diese gewichtet die einzelnen Werte gleich stark und bildet einen verzerrten bzw. unverzerrten Schätzer der Varianz. Falls du mehr darüber lernen möchtest, schau dir unseren Artikel zu Stichprobenvarianz an!

Unterschied Varianz Standardabweichung

Wenn wir die Streuung um den Mittelwert interpretieren wollen, ist das mit der Varianz also nicht so einfach. Stattdessen können wir auch die Standardabweichung verwenden. Doch was ist der Unterschied zwischen diesen beiden Werten?

Die Standardabweichung ist die Wurzel der Varianz

Varianz Standardabweichung
Symbol: {{\sigma}}^2 Symbol: \sigma
Formel: \sum_{i=1}^{n}{(x_i-\mu)}^2\cdot p_i Formel: \sigma=\sqrt{{\sigma}}^2} bzw \sigma=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}{(x_i-\mu)}^2\cdot p_i

Du siehst anhand der Formel: Die Standardabweichung ist nicht anderes als die Wurzel der Varianz. Bezogen auf unser Beispiel bekommen wir eine Standardabweichung von 100€ und 1€ – So weit liegen die Werte auch durchschnittlich vom Mittelwert entfernt.

Um einzelne Zufallsexperimente miteinander vergleichen zu können und die Werte besser interpretieren zu können, ist es deswegen oftmals hilfreich die Standardabweichung zu berechnen.

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