Einheitsvektor
Einheitsvektoren sind wichtige Spezialfälle von Vektoren. In diesem Artikel erklären wir dir alles was du zu diesem Thema wissen musst.
Du möchtest die Einheitsvektoren lieber visuell erklärt bekommen? Dann schau dir unser Video dazu an.
Einheitsvektor einfach erklärt
Die Vektoren, die eine Länge von 1 haben, heißen Einheitsvektoren. Dabei wird der Einheitsvektor zu einem Vektor mit
bezeichnet. Du kannst von jedem Vektor
seinen Betrag
berechnen, was die Länge des Vektors darstellt. Um von einem Vektor
den dazugehörigen Einheitsvektor
zu berechnen, teilst du den Vektor einfach durch seine Länge
.
Den Einheitsvektor berechnest du mit folgender Formel
.
Hinweis: Zum Nullvektor kannst du natürlich keinen Einheitsvektor berechnen.
Einheitsvektor berechnen
In diesem Abschnitt erklären wir dir, wie du aus einem Vektor einen Einheitsvektor bestimmst.
Da die Länge eines Einheitsvektors immer 1 ist, normierst du einen Vektor , indem du ihn durch seine Länge
teilst
Du berechnest den Einheitsvektor, indem du den Vektor durch seine Länge
teilst.
Beispiel im
Betrachte als Beispiel den Vektor . Um diesen Vektor zu normieren, brauchst du zuerst den Betrag des Vektors.
Nun kannst du den Einheitsvektor berechnen, indem du den Vektor durch die Länge teilst. Du rechnest also
Beispiel im
Um den Einheitsvektor zum Vektor zu bestimmen, berechnest du erst den Betrag von
.
Erst dann kannst du den Einheitsvektor bestimmen.
Länge eines Einheitsvektors
Das Besondere am Einheitsvektor ist, dass die Länge des Vektors immer 1 beträgt.
Willst du also überprüfen, ob du den Einheitsvektor richtig berechnet hast, so musst du lediglich den Betrag des Vektors bestimmen.
Für einen Einheitsvektor gilt immer:
.
Beispiel
Um zu überprüfen, ob zum Beispiel der Vektor normiert ist, also die Länge 1 hat, bestimmst du den Betrag von
.
Da die Länge ungleich 1 ist, ist nicht normiert. Um den Einheitsvektor zu berechnen, teilst du einfach den Vektor durch seine Länge und erhältst
Nun kannst du noch prüfen, ob die Länge 1 hat.
Da du als Ergebnis 1 erhältst, handelt es sich um einen Einheitsvektor.
Anwendung
Wenn du von einem bestimmten Punkt aus eine Strecke in vorgegebener Richtung entlanglaufen willst, so verwendest du dafür den Einheitsvektor.
Betrachte zum Beispiel den Punkt . Angenommen du möchtest nun von A aus 9 Einheiten in Richtung
gehen.
Um dein Zielpunkt P zu berechnen, musst du erst einmal normieren. Dafür berechnest du den Betrag des Vektors
und teilst dann durch seine Länge
Nun kannst du den Punkt P berechnen, indem du beim Punkt A startest und 9 mal in Richtung gehst.
Somit erhältst du den Punkt als Ergebnis.
Weitere Themen der Vektorrechnung
Neben dem Einheitsvektor gibt es noch weitere Themen, die sich mit Vektoren beschäftigen. Schau dir unbedingt auch unsere Videos zu den folgenden Themen an:
-
Vektor
- Betrag eines Vektors
- Linearkombination
- Winkel zwischen zwei Vektoren
- Skalarprodukt
- Spatprodukt
- Kreuzprodukt/Vektorprodukt
Einheitsvektor Aufgaben
Im Folgenden geben wir dir zwei Aufgaben, womit du die Berechnung der Einheitsvektoren üben kannst.
Aufgabe 1: Einheitsvektoren überprüfen
Überprüfe, ob es sich bei den folgenden Vektoren um Einheitsvektoren handelt.
a)
b)
Lösung Aufgabe 1
a) Um zu überprüfen, ob normiert ist, berechnest du seinen Betrag.
Da seine Länge 1 beträgt, handelt es sich um einen Einheitsvektor.
b) Berechne zuerst den Betrag des Vektors.
Da der Betrag von ungleich 1 ist, ist der Vektor also nicht normiert und somit kein Einheitsvektor.
Aufgabe 2: Einheitsvektoren berechnen
Bestimme von den folgenden Vektoren die Einheitsvektoren und überprüfe das Ergebnis auf Richtigkeit.
a)
b)
Lösung Aufgabe 2
a) Zuerst berechnest du den Betrag vom
und teilst dann den Vektor durch seine Länge
Damit erhältst du den Einheitsvektor
Zum Schluss kannst du noch den Betrag von überprüfen
Damit ist der Vektor normiert.
b) Auch hier berechnest du zuerst die Länge vom Vektor . Du rechnest also
.
Nun teilst du durch seine Länge
und erhältst somit den Einheitsvektor
Wenn du mit dem Ergebnis unsicher bist, kannst du noch seinen Betrag bestimmen und überprüfen, ob herauskommt.