Lineare Algebra

Einheitsvektor

Einheitsvektoren sind wichtige Spezialfälle von Vektoren. In diesem Artikel erklären wir dir alles was du zu diesem Thema wissen musst.

Du möchtest die Einheitsvektoren lieber visuell erklärt bekommen? Dann schau dir unser Video dazu an.

Inhaltsübersicht

Einheitsvektor einfach erklärt

Die Vektoren, die eine Länge von 1 haben, heißen Einheitsvektoren. Dabei wird der Einheitsvektor zu einem Vektor \vec{v} mit \vec{e}_v bezeichnet. Du kannst von jedem Vektor%verlinken seinen Betrag%verlinken berechnen, was die Länge des Vektors darstellt. Um von einem Vektor \vec{v} den dazugehörigen Einheitsvektor \vec{e}_v zu berechnen, teilst du den Vektor einfach durch seine Länge |\vec{v}|. Dabei verwendest du folgende Formel

\vec{e}_v = \frac{1}{|\vec{v}|} \cdot \vec{v}.

Einheitsvektor, Vektor, normierter Vektor, Vektor normieren
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Der Einheitsvektor zu einem Vektor v

Hinweis: Zum Nullvektor kannst du natürlich keinen Einheitsvektor berechnen.

Einheitsvektor berechnen

In diesem Abschnitt erklären wir dir, wie du aus einem Vektor einen Einheitsvektor bestimmst.

Da die Länge eines Einheitsvektors immer 1 ist, normierst du einen Vektor \vec{v}, indem du ihn durch seine Länge | \vec{v} | teilst

\vec{e}_v = \frac{1}{|\vec{v}|} \cdot \vec{v}.

Merke

Du berechnest den Einheitsvektor, indem du den Vektor \vec{v} durch seine Länge |\vec{v}| teilst.

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Beispiel im \mathbb{R}^2

Betrachte als Beispiel den Vektor \vec{v} = \left(\begin{array}{c} -1 \\ -2 \end{array}\right). Um diesen Vektor zu normieren, brauchst du zuerst den Betrag des Vektors

|\vec{v}| = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{5}.

Nun kannst du den Einheitsvektor berechnen, indem du den Vektor durch die Länge teilst. Du rechnest also

\vec{e}_v = \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ -2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -\frac{1}{\sqrt{5}} \\ -\frac{2}{\sqrt{5}} \end{array}\right).

Beispiel im \mathbb{R}^3

Um den Einheitsvektor zum Vektor \vec{v} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 6 \\ 3  \end{array}\right) zu bestimmen, berechnest du erst den Betrag von \vec{v}

|\vec{v}| = \sqrt{2^2 + 6^2 + 3^2} = 7.

Erst dann kannst du den Einheitsvektor bestimmen

\vec{e}_v = \frac{1}{7} \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 6 \\ 3 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} \frac{2}{7} \\ \frac{6}{7} \\ \frac{3}{7} \end{array}\right).

Länge eines Einheitsvektors

Das Besondere am Einheitsvektor ist, dass die Länge des Vektors immer 1 beträgt.

Willst du also überprüfen, ob du den Einheitsvektor richtig berechnet hast, so musst du lediglich den Betrag des Vektors bestimmen.

Merke

Für einen Einheitsvektor \vec{e}_v gilt immer: |\vec{e}_v| = 1.

Beispiel

Um zu überprüfen, ob zum Beispiel der Vektor \vec{v} = \left(\begin{array}{c} -4 \\ 3 \end{array}\right) normiert ist, also die Länge 1 hat, bestimmst du den Betrag von \vec{v}

|\vec{v}| = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = 5.

Da die Länge ungleich 1 ist, ist \vec{v} nicht normiert. Um den Einheitsvektors zu berechnen, teilst du einfach den Vektor durch seine Länge und erhältst

\vec{e}_v = \frac{1}{5} \cdot \left(\begin{array}{c} -4 \\ 3 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -\frac{4}{5} \\ \frac{3}{5} \end{array}\right).

Nun kannst du noch prüfen, ob \vec{e}_v die Länge 1 hat

|\vec{e}_v| = \sqrt{(-\frac{4}{5})^2 + (\frac{3}{5})^2} = 1.

Da du als Ergebnis 1 erhältst, handelt es sich um einen Einheitsvektor.

Anwendung

Wenn du von einem bestimmten Punkt aus eine Strecke in vorgegebener Richtung entlanglaufen willst, so verwendest du dafür den Einheitsvektor.

Betrachte zum Beispiel den Punkt A(3 \vert 1 \vert 4). Angenommen du möchtest nun von A aus 9 Einheiten in Richtung \vec{v}= \left(\begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ -4 \end{array}\right) gehen.

Um dein Zielpunkt P zu berechnen, musst du erst einmal \vec{v} normieren. Dafür berechnest du den Betrag des Vektors

| \vec{v} | = \sqrt{4^2 + 2^2 + (-4)^2} = 6

und teilst \vec{v} dann durch seine Länge

\vec{e}_v = \frac{1}{6} \cdot  \left(\begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ -4 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} \frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} \\ -\frac{2}{3} \end{array}\right).

Nun kannst du den Punkt P berechnen, indem du beim Punkt A startest und 9 mal in Richtung \vec{e}_v gehst

\vec{P} = \left(\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 4 \end{array}\right) + 9 \cdot \left(\begin{array}{c} \frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} \\ -\frac{2}{3} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 9 \\ 4 \\ -2 \end{array}\right).

Somit erhältst du den Punkt P(9 \vert 4 \vert -2) als Ergebnis.

Einheitsvektor Aufgaben

Im Folgenden geben wir dir zwei Aufgaben, womit du die Berechnung der Einheitsvektoren üben kannst.

Aufgabe 1: Einheitsvektoren überprüfen

Überprüfe, ob es sich bei den folgenden Vektoren um Einheitsvektoren handelt.

a) \vec{a} = \left(\begin{array}{c} 0,8 \\ -0,6 \end{array}\right)

b) \vec{b} = \left(\begin{array}{c} -5 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)

Lösung Aufgabe 1

a) Um zu überprüfen, ob \vec{a} normiert ist, berechnest du seinen Betrag

| \vec{a} | = \sqrt{0,8^2 + (-0,6)^2} = 1

Da seine Länge 1 beträgt, handelt es sich um einen Einheitsvektor

b) Berechne zuerst den Betrag des Vektors

| \vec{b} | = \sqrt{(-5)^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{26} \neq 1

Da der Betrag von \vec{b} ungleich 1 ist, ist der Vektor also nicht normiert und somit kein Einheitsvektor.

Aufgabe 2: Einheitsvektoren berechnen

Bestimme von den folgenden Vektoren die Einheitsvektoren und überprüfe das Ergebnis auf Richtigkeit.

a) \vec{a} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array}\right)

b) \vec{b} = \left(\begin{array}{c} -1 \\ -5 \\ 2 \end{array}\right)

Lösung Aufgabe 2

a) Zuerst berechnest du den Betrag vom \vec{a}

| \vec{a} | = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{13}

und teilst dann den Vektor durch seine Länge

\vec{e}_a = \frac{1}{\sqrt{13}} \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array}\right).

Damit erhältst du den Einheitsvektor

\vec{e}_a = \left(\begin{array}{c} \frac{2}{\sqrt{13}} \\ -\frac{3}{\sqrt{13}} \end{array}\right).

Zum Schluss kannst du noch den Betrag von \vec{e}_a überprüfen

| \vec{e}_a | = \sqrt{(\frac{2}{\sqrt{13}})^2 + (-\frac{3}{\sqrt{13}})^2} = 1.

Damit ist der Vektor normiert.

b) Auch hier berechnest du zuerst die Länge vom Vektor \vec{b}. Du rechnest also

| \vec{b} | = \sqrt{(-1)^2 + (-5)^2 + 2^2} = \sqrt{30}

Nun teilst du \vec{b} durch seine Länge

\vec{e}_b = \frac{1}{\sqrt{30}} \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ -5 \\ 2 \end{array}\right)

und erhältst somit den Einheitsvektor 

\vec{e}_b = \left(\begin{array}{c} -\frac{1}{\sqrt{30}} \\ -\frac{5}{\sqrt{30}} \\ \frac{2}{\sqrt{30}} \end{array}\right).

Wenn du mit dem Ergebnis unsicher bist, kannst du noch seinen Betrag bestimmen und überprüfen, ob | \vec{e}_b | = 1 herauskommt

| \vec{e}_b | = \sqrt{(-\frac{1}{\sqrt{30}})^2 + (-\frac{5}{\sqrt{30}})^2 + (\frac{4}{\sqrt{30}})^2} = 1.

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