Lineare Algebra

Winkel zwischen zwei Vektoren

Du hast zwei Vektoren gegeben und sollst jetzt den dazwischen liegenden Winkel berechnen? Dann bist du hier genau richtig. Schau unser Video dazu an, dort erklären wir es dir anschaulich!

Inhaltsübersicht

Winkel zwischen Vektoren einfach erklärt

Wenn du zwei Vektoren im Koordinatensystem betrachtest, so findest du zwischen den beiden Vektoren einen Winkel, den du ausrechnen kannst. Für die Berechnung benötigst du folgende Formel

Winkel zwischen zwei Vektoren

Sind \vec{a} und \vec{b} zwei Vektoren, so gilt für den Winkel \theta

\cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |}

Wobei im Zähler das Skalarprodukt der beiden Vektoren steht und im Nenner das Produkt der beiden Längen der Vektoren.

Bei der Betrachtung zweier Vektoren, findest du immer zwei Winkel, einen inneren \theta und einen äußeren \theta^{\prime}. Da die inverse Cosinusfunktion \cos^{-1} den Wertebereich [0, \pi] hat, tauchen nur Winkel zwischen 0° und 180° auf. Daher berechnest du immer automatisch den kleineren Winkel \theta.

Winkel zwischen zwei Vektoren, Winkel zwischen Vektoren
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Der Winkel zwischen zwei Vektoren

 

Winkel zwischen zwei Vektoren berechnen

Im Folgenden zeigen wir dir, wie du den Winkel zwischen den Vektoren \vec{a} = \left(\begin{array}{c} a_1 \\ \vdots \\ a_n \end{array}\right) und \vec{b} = \left(\begin{array}{c} b_1 \\ \vdots \\ b_n \end{array}\right) berechnen kannst. 

Schritt 1:  Berechne das Skalarprodukt  \vec{a} \cdot \vec{b}.

Erinnerung: Skalarprodukt zweier Vektoren

Das Skalarprodukt von zwei Vektoren ist wie folgt definiert:

\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 \cdot b_1 + \dots + a_n \cdot b_n.

Schritt 2: Berechne die Längen | \vec{a} | und | \vec{b} |.

Erinnerung: Länge eines Vektors

Die Länge eines Vektors lässt sich wie folgt berechnen:

| \vec{a} | = \sqrt{a_1^2 + \dots + a_n^2}.

Schritt 3: Setze die Werte in die Formel \cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |} ein.

Schritt 4: Forme die Formel nach \theta um

\theta = \cos^{-1}\left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |}\right).

Beispiel im \mathbb{R}^2

Wir zeigen dir jetzt an einem konkreten Beispiel, wie du den Winkel zwischen zwei Vektoren mit der oberen Schritt für Schritt Anleitung berechnest. Betrachte dafür die zwei Vektoren \vec{a} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array}\right) und \vec{b} = \left(\begin{array}{c} -5 \\ -1 \end{array}\right)

Schritt 1: Zuerst berechnest du das Skalarprodukt

\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot (-5) +  2 \cdot (-1) = -7.

Schritt 2: Nun brauchst du die Längen der beiden Vektoren. Du rechnest also

| \vec{a} | = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}

| \vec{b} | = \sqrt{(-5)^2 + (-1)^2} = \sqrt{26}.

Schritt 3: Somit kannst du jetzt die in Schritt 2 und 3 berechneten Werte in die Formel einsetzen

\cos(\theta) = \frac{-7}{ \sqrt{5} \cdot \sqrt{26}} = -0,61.

Schritt 4: Zum Schluss formst du die Gleichung nun nach \theta um und erhältst mit

\theta = \cos^{-1}(-0,61) = 127,59^{\circ},

den Winkel zwischen den beiden Vektoren.

Winkel zwischen zwei Vektoren
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Winkel zwischen den Vektoren a und b

Beispiel im \mathbb{R}^3

Nun folgt ein weiteres Beispiel mit Vektoren aus dem \mathbb{R}^3. Betrachte dafür die Vektoren \vec{a} = \left(\begin{array}{c} -5 \\ 1 \\ -2 \end{array}\right) und \vec{b} = \left(\begin{array}{c} 5 \\ 3 \\ -5 \end{array}\right)

Schritt 1: Zuerst benötigst du das Skalarprodukt. Du rechnest also

\vec{a} \cdot \vec{b} = (-5) \cdot 5 +  1 \cdot 3 + (-2) \cdot (-5) = -12.

Schritt 2: Nun berechnest du die Längen der beiden Vektoren

| \vec{a} | = \sqrt{(-5)^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{30}

| \vec{b} | = \sqrt{5^2 + 3^2 + (-5)^2} = \sqrt{59}.

Schritt 3: Somit kannst du jetzt die in Schritt 2 und 3 berechneten Werte in die Formel einsetzen

\cos(\theta) = \frac{-12}{ \sqrt{30} \cdot \sqrt{59}} = -0,29.

Schritt 4: Zum Schluss formst du die Gleichung nun nach \theta um und erhältst mit

\theta = \cos^{-1}(-0,29) = 106,86^{\circ},

den Winkel zwischen den zwei Vektoren.

Weitere Themen der Vektorrechnung

Neben dem Winkel zwischen zwei Vektoren gibt es noch weitere Themen, die sich mit Vektoren beschäftigen. Schau dir unbedingt auch unsere Videos zu den folgenden Themen an:

Winkel zwischen zwei Vektoren Aufgaben

In diesem Abschnitt geben wir dir zwei Aufgaben mit Lösungen, in welchen du den Winkel zwischen Vektoren berechnen sollst.

Aufgabe 1: Vektoren mit 2 Komponenten

Berechne den Winkel zwischen den Vektoren \vec{a} = \left(\begin{array}{c} 4 \\ 0,5 \end{array}\right) und \vec{b} = \left(\begin{array}{c} -2 \\ -1,5 \end{array}\right).

Lösung Aufgabe 1

Zuerst bestimmst du das Skalarprodukt der Vektoren \vec{a} und \vec{b}

\vec{a} \cdot \vec{b} = 4 \cdot (-2) +  0,5 \cdot (-1,5) = -8,75.

Dann berechnest du die Längen der beiden Vektoren

| \vec{a} | = \sqrt{4^2 + 0,5^2} = \sqrt{16,25}

| \vec{b} | = \sqrt{(-2)^2 + (-1,5)^2} = 2,5.

Nun kannst du die errechneten Werte in die Formel einsetzen und erhältst damit

\cos(\theta) = \frac{-8,75}{ \sqrt{16,25} \cdot 2,5} = -0,87,

wobei du jetzt noch nach \theta umformen musst, um so den Winkel

\theta = \cos^{-1}(-0,87) = 150,46^{\circ}

zwischen den beiden Vektoren zu berechnen.

Aufgabe 2: Vektoren mit 3 Komponenten

Wie groß ist der Winkel, den die beiden Vektoren \vec{a} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ 6 \end{array}\right) und \vec{b} = \left(\begin{array}{c} -1 \\ 3 \\ -2 \end{array}\right) einspannen?

Lösung Aufgabe 2

Zuallererst berechnest du das Skalarprodukt der beiden Vektoren. Damit erhältst du 

\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot (-1) +  4 \cdot 3 + 6 \cdot (-2) = -1.

Anschließend brauchst du noch die Längen der zwei Vektoren

| \vec{a} | = \sqrt{1^2 + 4^2 + 6^2} = \sqrt{53}

| \vec{b} | = \sqrt{(-1)^2 + 3^2 + (-2)^2} = \sqrt{14}.

Nun hast du alles was du benötigst. Eingesetzt in die Formel erhältst du

\cos(\theta) = \frac{-1}{ \sqrt{53} \cdot \sqrt{14}} = -0,04.

Zum Schluss formst du noch nach \theta um, das heißt du wendest auf beide Seiten \cos^{-1} an und bekommst somit den Winkel

\theta = \cos^{-1}(-0,04) = 92,29^{\circ}.

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