Wie entscheide ich schnell, ob ich die Hilfsebene oder den laufenden Punkt nehmen sollte?

Nimm meist den laufenden Punkt, wenn die Gerade in Parameterform vorliegt und du sicher im Skalarprodukt bist. Die Hilfsebene ist oft schneller, wenn du gerne Schnittpunkte berechnest oder eine Ebenengleichung schnell aufstellen kannst. Beide Wege liefern denselben Lotfußpunkt und Abstand.

Wie kann ich prüfen, ob mein berechneter Lotfußpunkt wirklich auf der Geraden liegt?

Du prüfst es, indem du kontrollierst, ob der Lotfußpunkt die Geradengleichung erfüllt. Setze die Koordinaten in ein und schau, ob es ein passendes gibt. Zusätzlich gilt als Check: .

Welche Rechenfehler passieren beim Skalarprodukt am häufigsten?

Am häufigsten werden Vorzeichen falsch übernommen oder Klammern beim Ausmultiplizieren vergessen. Auch typisch ist, dass nur zwei statt drei Komponenten multipliziert werden oder der Richtungsvektor falsch abgeschrieben wird. Achte darauf, wirklich komponentenweise zu rechnen: .

Wie gehe ich vor, wenn die Gerade nicht in Parameterform gegeben ist?

Du bringst die Gerade zuerst in Parameterform, indem du einen Punkt auf der Geraden und einen Richtungsvektor bestimmst. Bei zwei Punkten ist . Bei zwei Ebenen (Schnittgerade) bekommst du über das Kreuzprodukt der Normalenvektoren: .

Wie mache ich das Lotfußpunktverfahren für den Abstand Punkt Ebene mit dem laufenden Punkt?

Du nimmst einen laufenden Punkt in der Ebene und nutzt den Normalenvektor der Ebene als Orthogonalitätsrichtung. Stelle auf und fordere , also , zusammen mit „ liegt in der Ebene“. Dann ist .

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Lotfußpunktverfahren

In diesem Beitrag erklären wir dir, wie du mit den Lotfußpunktverfahren den Abstand eines Punktes von einer Geraden oder einer Ebene bestimmen kannst und rechnen gemeinsam ausführliche Beispiele durch.

In unserem Erklärvideo findest du eine unkomplizierte und anschauliche Erläuterung der Lotfußpunktverfahren .

Inhaltsübersicht

Lotfußpunktverfahren einfach erklärt

Lotfußpunktverfahren sind ein beliebtes Mittel, um den Abstand zwischen Punkten, Geraden und Ebenen zu berechnen. Der große Vorteil dieser Verfahren ist, dass sie neben dem Abstand auch noch die Koordinaten der Endpunkte (Lotfußpunkte) der Abstandsstrecke liefern. Der Abstand zwischen zwei geometrischen Formen ist dabei:

Abstand Punkt Gerade : Der Verbindungsvektor steht senkrecht auf der Geraden und verläuft durch den Punkt.
Abstand Gerade Gerade : Der Verbindungsvektor steht senkrecht auf beiden Geraden.
Abstand Punkt Ebene : Der Verbindungsvektor steht senkrecht auf der Ebene.

Lotfußpunktverfahren gibt es in zwei Varianten: Entweder verwendet man eine Hilfsebene oder einen allgemeinen, oder „laufenden“, Punkt.

Abstandsrechnung mit dem Lotfußpunktverfahren

Für die Berechnung des Abstandes eines Punktes von einer Geraden stellen wir dir sowohl die Variante mit der Hilfsebene als auch die mit dem laufenden Punkt vor. Außerdem rechnen wir ein Beispiel für beide Varianten ausführlich durch.

Wenn du die Koordinaten des Lotfußpunktes nicht benötigst, erhältst du den Abstand auch schneller durch eine einfache Lösungsformel. In unserem Beitrag Abstand Punkt Gerade erklären wir dir genau, wie du dabei vorgehen musst.

Wenn du dich stattdessen für die Abstandsberechnung anderer geometrischer Formen und Lagen mit dem Lotfußpunktverfahren interessierst, dann schau dir unsere genau passenden Beiträge an:

Was ist das Lotfußpunktverfahren?

Mit dem Lotfußpunktverfahren berechnest du den Abstand zwischen einem Punkt und einer Gerade über ein Lot (= eine Gerade, die senkrecht auf der Abstandsgeraden steht). Für die Berechnung verwendest du den Lotvektor.

Studyflix vernetzt: Hier ein Video aus einem anderen Bereich

Lotfußpunktverfahren mit einer Hilfsebene

Um mittels des Lotfußpunktverfahrens mit einer Hilfsebene den Abstand zu berechnen, stellst du zunächst die Gleichung einer Hilfsebene auf. Diese Ebene soll senkrecht auf der Geraden stehen und durch den außerhalb liegenden Punkt verlaufen. Anschließend bestimmst du den Durchstoßpunkt der Geraden durch die Hilfsebene. Der Durchstoßpunkt ist dabei derselbe Punkt, der sich beim Fällen des Lotes ergibt.

Lösungsweg mit einer Hilfesebene

Stelle die Hilfsebene auf, die den Punkt enthält und senkrecht auf der Geraden steht
Bestimme den Schnittpunkt der Geraden und der Ebene
Berechne den Abstand des Punktes zur Geraden: $d = \vert \vec{PS} \vert$

Abstand Punkt Gerade, Hilfsebene, Lotfußpunktverfahren — Abstand Punkt Gerade mit Hilfsebene

Lotfußpunktverfahren mit laufendem Punkt

Beim Lotfußpunktverfahren mit einem laufenden Punkt nutzt du die Tatsache, dass der Weg von der Geraden zum außerhalb liegenden Punkt dann am kürzesten ist, wenn der Verbindungsvektor senkrecht auf der Geraden steht. Der Vektor $\vec{PA}$ muss daher orthogonal auf dem Richtungsvektor $\vec{u}$ der Geraden stehen. Ein wichtiger Punkt dabei ist, dass orthogonal zueinander stehende Vektoren immer ein Skalarprodukt von Null haben. Über diese Bedingung kann der Lotfußpunkt auf der Geraden berechnet werden.

Lösungsweg mit laufendem Punkt

Stelle den allgemeinen Verbindungsvektor $\vec{PS}$ zwischen dem „laufenden“ Punkt auf der Geraden und dem Punkt auf
Bestimme den Lotfußpunkt aus der Bedingung $\vec{PS} \cdot \vec{u} = 0$
Berechne den Abstand des Punktes zur Geraden: $d = \vert \vec{PS} \vert$

Abstand Punkt Gerade, laufender Punkt, Lotfußpunktverfahren, Lotverfahren — Abstand Punkt Gerade mit laufendem Punkt

Lotfußpunktverfahren Beispiele

Gegeben ist die Gerade in Parameterform und der Punkt $P = (1 \vert 3 \vert 3)$ .

$g: \vec{x} = \left( \begin{array}{c} 3 \\\ -2 \\\ -2 \\\ \end{array}\right) + \lambda \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\\ 1 \\\ 3 \\\ \end{array}\right)$

Wir suchen den minimalen Abstand zwischen Punkt und Gerade .

Lösungsweg 1: Lotfußpunktverfahren mit Hilfsebene

Schritt 1: Hilfsebene aufstellen

Die Koordinaten des Richtungsvektors der Geraden geben die Koeffizienten der Ebenengleichung vor, da die Hilfsebene senkrecht auf stehen soll.

H: -2x + y + 3z = r

Da die Hilfsebene zusätzlich den Punkt enthalten soll, muss die Gleichung erfüllen. Wir setzen also die Koordinaten in die Ebenengleichung ein und können dadurch die rechte Seite festlegen:

$-2 \cdot 1 + 3 + 3 \cdot 3 = 10$

Die Hilfsebene ist damit folgendermaßen definiert:

H = -2x + y + 3z = 10

Schritt 2: Schnittpunkt aus Hilfsebene und Gerade berechnen

In diesem Schritt setzt man die Koordinaten von in ein.

$-2 \cdot (3 - 2\lambda) -2 + \lambda + 3 \cdot (-2 + 3\lambda) = 10$
$-6 + 4\lambda -2 + \lambda -6 + 9\lambda = 10$
$14 \lambda = 24$
$\lambda = \frac{12}{7}$

Setzt man dieses $\lambda$ jetzt in g ein, folgt daraus der Schnittpunkt .

$\lambda$ in : $\vec{x} = \left( \begin{array}{c} 3 \\\ -2 \\\ -2 \\\ \end{array}\right) + \frac{12}{7} \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\\ 1 \\\ 3 \\\ \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} -\frac{3}{7} \\\ -\frac{2}{7} \\\ \frac{22}{7} \\\ \end{array}\right)$

Der Durchstoßpunkt liegt somit bei ( $-\frac{3}{7} \vert -\frac{2}{7} \vert \frac{22}{7}$ ).

Schritt 3: Verbindungsvektor $\vec{SP}$ bestimmen und Länge berechnen

Um die Länge der Strecke von ( $-\frac{3}{7} \vert -\frac{2}{7} \vert \frac{22}{7}$ ) nach $P (1\vert 3 \vert 3)$ zu bestimmen, müssen wir zunächst den Verbindungsvektor $\vec{SP}$ des Durchstoßpunktes und des Punktes berechnen.

$\vec{SP} = \vec{p} - \vec{s} = \left( \begin{array}{c} -\frac{3}{7} \\\ -\frac{2}{7} \\\ \frac{22}{7} \\\ \end{array}\right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\\ 3 \\\ 3 \\\ \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} -\frac{10}{7} \\\ -\frac{23}{7} \\\ \frac{1}{7} \\\ \end{array}\right)$

Jetzt können wir über den Betrag des Verbindungsvektors den Abstand von Punkt und Gerade ausrechnen.

$d = \vert \vec{SP} \vert = \sqrt{(-\frac{10}{7})^2 + (-\frac{23}{7})^2 + (\frac{1}{7})^2} = \frac{3\sqrt{70}}{7} \approx 3,59$

Lösungsweg 2: Lotpunktverfahren mit laufendem Punkt

Schritt 1: Laufenden Punkt und Verbindungsvektor $\vec{PS}$ bestimmen

Den laufenden Punkt entnehmen wir der Geradengleichung. Die Zeilen der Gleichung enstprechen dabei den Koordinaten.

$S = (3 - 2\lambda \ \vert -2 + \lambda \ \vert -2 + 3 \lambda)$

Der allgemeine Verbindungsvektor ergibt sich, indem wir die Punktvektoren $\vec{p}$ und $\vec{s}$ voneinander abziehen.

$\vec{PS} = \vec{s} - \vec{p} = \left( \begin{array}{c} 3 - 2\lambda \\\ -2 + \lambda \\\ -2 + 3 \lambda \\\ \end{array}\right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\\ 3 \\\ 3 \\\ \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} 2 - 2\lambda \\\ -5 + \lambda \\\ -5 + 3\lambda \\\ \end{array}\right)$

Schritt 2: $\lambda$ und damit den Lotfußpunkt aus der Orthogonalitätsbeziehung ( $\vec{PS} \cdot \vec{u} = 0$ ) des Verbindungsvektors und des Richtungsvektors ableiten

$\left( \begin{array}{c} 2 - 2\lambda \\\ -5 + \lambda \\\ -5 + 3\lambda \\\ \end{array}\right) \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\\ 1 \\\ 3 \\\ \end{array}\right) = 0$

$(2 - 2\lambda) \cdot (-2) + (-5 + \lambda) \cdot 1 + (-5 + 3\lambda) \cdot 3 = 0$
$-4 +4 \lambda - 5 + \lambda - 15 + 9\lambda = 0$
$14\lambda = 24$
$\lambda = \frac{12}{7}$

Setzten wir $\lambda = \frac{12}{7}$ in den laufenden Punkt , so ergibt sich der Lotfußpunkt $S =(-\frac{3}{7} \vert -\frac{2}{7} \vert \frac{22}{7}$ ).

Schritt 3: Verbindungsvektor $\vec{SP}$ bestimmen und Länge berechnen

Durch Abziehen ihrer Vektoren erhalten wir den Verbindungsvektor zwischen dem Lotfußpunkt auf der Geraden und dem Punkt .

$\vec{SP}=\vec{p}-\vec{s}=\left(\begin{array}{c}1\\3\\3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}-\frac{3}{7}\\-\frac{2}{7}\\\frac{22}{7}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{10}{7}\\\frac{23}{7}\\-\frac{1}{7}\end{array}\right)$

Der Abstand ist hier wiederum gleich dem Betrag des Verbindungsvektors $\vec{SP}$ .

$d = \vert \vec{SP} \vert = \sqrt{(\frac{10}{7})^2 + (\frac{23}{7})^2 + (-\frac{1}{7})^2} = \frac{3\sqrt{70}}{7} \approx 3,59$

Lotfußpunktverfahren — häufigste Fragen

(ausklappen)

Wie entscheide ich schnell, ob ich die Hilfsebene oder den laufenden Punkt nehmen sollte?

Nimm meist den laufenden Punkt, wenn die Gerade in Parameterform vorliegt und du sicher im Skalarprodukt bist. Die Hilfsebene ist oft schneller, wenn du gerne Schnittpunkte berechnest oder eine Ebenengleichung schnell aufstellen kannst. Beide Wege liefern denselben Lotfußpunkt und Abstand.
Wie kann ich prüfen, ob mein berechneter Lotfußpunkt wirklich auf der Geraden liegt?

Du prüfst es, indem du kontrollierst, ob der Lotfußpunkt die Geradengleichung erfüllt. Setze die Koordinaten in $g:\ \vec{x}=\vec{a}+\lambda\vec{u}$ ein und schau, ob es ein passendes $\lambda$ gibt. Zusätzlich gilt als Check: $(\vec{P}-\vec{S})\cdot\vec{u}=0$ .
Welche Rechenfehler passieren beim Skalarprodukt am häufigsten?

Am häufigsten werden Vorzeichen falsch übernommen oder Klammern beim Ausmultiplizieren vergessen. Auch typisch ist, dass nur zwei statt drei Komponenten multipliziert werden oder der Richtungsvektor falsch abgeschrieben wird. Achte darauf, wirklich komponentenweise zu rechnen: $(a,b,c)\cdot(d,e,f)=ad+be+cf$ .
Wie gehe ich vor, wenn die Gerade nicht in Parameterform gegeben ist?

Du bringst die Gerade zuerst in Parameterform, indem du einen Punkt auf der Geraden und einen Richtungsvektor bestimmst. Bei zwei Punkten ist $\vec{u}=\overrightarrow{AB}=\vec{b}-\vec{a}$ . Bei zwei Ebenen (Schnittgerade) bekommst du $\vec{u}$ über das Kreuzprodukt der Normalenvektoren: $\vec{u}=\vec{n}_1\times\vec{n}_2$ .
Wie mache ich das Lotfußpunktverfahren für den Abstand Punkt Ebene mit dem laufenden Punkt?

Du nimmst einen laufenden Punkt in der Ebene und nutzt den Normalenvektor $\vec{n}$ der Ebene als Orthogonalitätsrichtung. Stelle $\vec{PS}=\vec{s}-\vec{p}$ auf und fordere $\vec{PS}\parallel\vec{n}$ , also $\vec{PS}=t\vec{n}$ , zusammen mit „ liegt in der Ebene“. Dann ist $d=|\vec{PS}|$ .

Abstandsrechnungen in der Geometrie

Abstände kannst du in der Geometrie zwischen verschiedenen Objekten bestimmen. Zum Glück haben wir zu all diesen Themen eigene Beiträge für dich:

Abstand zwischen zwei Punkten (Abstand zweier Punkte )
Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden (Abstand Punkt Gerade )
Abstand zwischen zwei Geraden (Abstand Gerade Gerade )
- wenn die Geraden parallel verlaufen (Abstand Gerade Gerade )
- wenn die Geraden windschief zueinander stehen (Abstand windschiefer Geraden )
Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene (Abstand Punkt Ebene )