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Stammfunktion Wurzel x

Wichtige Inhalte in diesem Video

Stammfunktion Wurzel x einfach erklärt

Stammfunktion Wurzel x aufstellen

Weitere Beispiele

Du willst wissen, wie du die Stammfunktion Wurzel x berechnest? In diesem Beitrag und in unserem Video erklären wir dir alles, was du dazu wissen musst!

Inhaltsübersicht

Stammfunktion Wurzel x einfach erklärt

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Eine Stammfunktion der Wurzel x ist:

F(x) = $\frac{2}{3}\cdot\displaystyle x^{\frac{3}{2}}$

Um allgemein Stammfunktionen von Wurzel x und anderen Wurzelfunktionen zu bestimmen, musst du die Wurzel in eine Potenz umzuwandeln. Das funktioniert so:

f(x) = $\displaystyle \sqrt[\scriptstyle \color {blue}n]{x^{\color {red}m}}$ = $x^{\frac {\color {red}m}{\color {blue}n}}$

Die Werte m und n setzt du dann in die folgende Gleichung der Stammfunktion ein:

F(x) = $\dfrac{1}{\frac{\color {red}m}{\color {blue}n} + 1} \cdot \displaystyle x^{\frac{\color {red}m}{\color {blue}n} + 1}$ + C

Merke: Vergiss nicht die Konstante C bei der Stammfunktion!

Stammfunktion Wurzel x aufstellen

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Damit du die Formel besser verstehst, probiere gleich mal ein Beispiel. Stelle die Stammfunktion der folgenden Wurzelfunktion auf:

f(x) = $\displaystyle \sqrt[\scriptstyle \color {blue}3]{x^{\color {red}2}}$

Schritt 1: Wurzel in Potenzform umformen

Zu Beginn der Rechnung musst du die Wurzel in eine Potenzfunktion umwandeln.

f(x) = $\displaystyle \sqrt[\scriptstyle \color {blue}n]{x^{\color {red}m}}$ = $x^{\frac {\color {red}m}{\color {blue}n}}$

f(x) = $\displaystyle \sqrt[\scriptstyle \color {blue}3]{x^{\color {red}2}}$ = $x^{\frac {\color {red}2}{\color {blue}3}}$

Schritt 2: Stammfunktion aufstellen

Nun musst du den Exponenten, den Bruch $\dfrac{\color {red}2}{\color {blue}3}$ , in die allgemeine Stammfunktion einsetzen. Im Exponenten und Nenner musst du die Werte addieren.

F(x) = $\dfrac{1}{\frac{\color {red}m}{\color {blue}n} + 1}\cdot\displaystyle x^{\frac{\color {red}m}{\color {blue}n} + 1}$ + C

F(x) = $\dfrac{1}{\frac{\color {red}2}{\color {blue}3} + 1}\cdot\displaystyle x^{\frac{\color {red}2}{\color {blue}3} + 1}$ = $\dfrac{1}{\frac{5}{3}}\cdot\displaystyle x^{\frac{5}{3}}$ + C

F(x) = $\frac{3}{5}\cdot\displaystyle x^{\frac{5}{3}}$ + C

Merke: Aus dem Bruch $\dfrac{1}{\frac{5}{3}}$ ergibt sich $\dfrac{3}{5}$ . Denn Brüche dividierst du, indem du mit dem Kehrwert multiplizierst.

Schritt 3: Wurzelfunktion zusammenfassen

Um die Aufgabe abzuschließen, musst du die Gleichung jetzt wieder in eine Wurzelfunktion umformen. Nutze dafür: $x^{\frac {\color {red}m}{\color {blue}n}}$ = $\displaystyle \sqrt[\scriptstyle \color {blue}n]{x^{\color {red}m}}$

F(x) = $\frac{3}{5}\cdot\displaystyle x^{\frac{\color {red}5}{\color {blue}3}}$ + C

F(x) = $\frac{3}{5}\cdot\displaystyle \sqrt[\scriptstyle \color {blue}3]{x^{\color {red}5}}$ + C

Und das ist dein Ergebnis! Du weißt jetzt, wie du die Stammfunktion der Wurzel x berechnest. Dieses Verfahren kannst du jetzt auf sämtliche Wurzelfunktionen übertragen.

Weitere Beispiele

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Beispiel 2: Fehlender Exponent

f(x) = $\displaystyle \sqrt[\scriptstyle \color {blue}4]{x^{}}$ = $\displaystyle x^{\frac{\color {red}1}{\color {blue}4}}$

F(x) = $\dfrac{1}{\frac{\color {red}1}{\color {blue}4} + 1}\cdot\displaystyle x^{\frac{\color {red}1}{\color {blue}4} + 1}$ = $\frac{4}{5}\cdot\displaystyle x^{\frac{5}{4}}$ + C

F(x) = $\frac{4}{5}\cdot\displaystyle \sqrt[\scriptstyle 4]{x^{5}}$ + C

Merke: Ist in der Wurzel kein Exponent, musst du dafür 1 einsetzen.

Expertenbeispiel: Bruch als Exponent

f(x) = $\displaystyle \sqrt[\scriptstyle 5]{x^{\frac{1}{2}}}$ = $\displaystyle x^{\frac{\frac {1}{2}}{5}}$ = $\displaystyle x^{\frac{\color {red}1}{\color {blue}10}}$

F(x) = $\dfrac{1}{\frac{\color {red}1}{\color {blue}10} + 1}\cdot\displaystyle x^{\frac{\color {red}1}{\color {blue}10} + 1}$ = $\frac{10}{11}\cdot\displaystyle x^{\frac{11}{10}}$ + C

F(x) = $\frac{10}{11}\cdot\displaystyle \sqrt[\scriptstyle 10]{x^{11}}$ + C

Übrigens: Ist der Exponent ein Bruch, kann dieser während der Umformung gelöst werden. So wird aus $\displaystyle \frac{\frac {1}{2}}{5}$ = $\displaystyle \frac{1}{10}$ .

Stammfunktion Wurzel x — häufigste Fragen

Was ist die Stammfunktion von Wurzel x?
Die Stammfunktion der Wurzel x ist F(x) = $\frac{2}{3}\cdot\displaystyle x^{\frac{3}{2}}$ .

Wie leitet man Wurzel x auf?
Musst du die Wurzel x aufleiten, wird die Wurzel erst in eine Potenz umgewandelt. Anschließend wird der Exponent mit 1 addiert. Aus diesem Exponenten bildet sich ein Kehrwert, welcher vor die Potenz geschrieben werden muss.

Was ist die Konstante C?
Die Konstante C ist eine Integrationskonstante, welche bei unbestimmten Integralen auftritt. Diese muss der Stammfunktion angehangen werden, damit bei der Ableitung jeder Wert einberechnet werden kann. Bei bestimmten Integralen fällt sie weg, da die Grenzen feststehen.

Stammfunktion bilden

Super gemacht! So schnell kannst du die Bildung von Stammfunktion der Wurzel x lernen. Falls du noch mehr über Stammfunktionen und ihre Anwendungsbeispiele wissen willst, schau dir gern dieses Video an.

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