Statistik Mathe

Was ist Statistik? — einfach erklärt

Die Statistik ist ein Teilgebiet der Mathematik. Sie beschäftigt sich mit der Sammlung, grafischen Darstellung, Analyse und Interpretation von Daten. Mithilfe von statistischen Methoden kannst du herausfinden, wie Dinge zusammenhängen, Trends erkennen und bessere Entscheidungen treffen.

Stell dir vor, du möchtest herausfinden, wie viele Schüler in deiner Klasse ihre Hausaufgaben regelmäßig machen. In der Statistik würdest du so vorgehen:

1. Sammlung von Daten: Du fragst alle in deiner Klasse, ob sie ihre Hausaufgaben jeden Tag, manchmal oder nie machen. Die Antworten sammelst du in einer Liste. 
2. Grafische Darstellung: Um die Unterschiede in den Daten auf einen Blick zu sehen, erstellst du ein Balkendiagramm.
3. Analyse der Daten: Nun stellst du fest, dass 10 Schüler ihre Hausaufgaben jeden Tag machen, 15 manchmal und 5 nie.
4. Interpretation: Das könnte bedeuten, dass viele Schüler Schwierigkeiten haben, sich jeden Tag zum Lernen zu motivieren.

Statistik — Grundlagen

In der Statistik gibt es ein paar grundlegende Begriffe, die dir bei deinen statistischen Analysen helfen. Dazu gehören:

• Grundgesamtheit: Die Grundgesamtheit ist die gesamte Gruppe, über die du etwas herausfinden möchtest.
  Beispiel: Alle Schüler deiner Schule sind die Grundgesamtheit. Das sind zum Beispiel 600 Schüler.
   
• Merkmalsträger: Merkmalsträger sind die einzelnen Objekte oder Personen, die bestimmte Eigenschaften besitzen, die für deine Untersuchung relevant sind. 
  Beispiel: Jeder einzelne Schüler in der Grundgesamtheit ist ein Merkmalsträger. Denn sie alle bekommen Hausaufgaben — das ist die Eigenschaft, die dich interessiert. 
    
• Stichprobe: Eine Stichprobe ist eine Auswahl von Daten aus der Grundgesamtheit. Denn meistens ist es nicht möglich, alle Objekte oder Personen der Grundgesamtheit zu untersuchen.
  Beispiel: Du fragst 100 Schüler deiner Schule, ob sie ihre Hausaufgaben machen. Diese 100 Schüler sind deine Stichprobe.
   
• Variable/Merkmale: Variablen oder Merkmale sind Eigenschaften, die du an den Merkmalsträgern untersuchst.
  Beispiel: Wie oft ein Schüler seine Hausaufgaben macht, ist eine Variable.
   
• Merkmalsausprägung: Die Merkmalsausprägungen sind die verschiedenen Werte, die eine Variable annehmen kann.
  Beispiel: Die Merkmalsausprägungen für die Variable „Hausaufgaben“ könnten „immer“, „manchmal“ oder „nie“ sein.
  

Statistik — Mathematik

In der Statistik unterscheidest du zwei Hauptbereiche:

• die deskriptive Statistik
• die induktive Statistik

Beide Bereiche hängen eng miteinander zusammen. Denn bei der Analyse von Daten gibt es kein „Entweder — oder“. Oft kombinierst du Methoden aus beiden Bereichen, um ein vollständigeres Bild zu deinen Daten zu erhalten.

Deskriptive Statistik

Die deskriptive Statistik (beschreibende Statistik) befasst sich damit, Daten zu beschreiben und darzustellen. Sie hilft dir, große Mengen von Daten übersichtlich zu präsentieren. So kannst du besser erkennen, was die Daten aussagen.

Auch hier gibt es ein paar wichtige Begriffe und Methoden. Schauen wir uns dazu ein Beispiel an:

Du hast die Noten deiner Mitschüler in einem Mathetest gesammelt: 2, 3, 1, 4, 3, 2, 5, 2, 4, 1. Diese Noten sind deine Daten, die du nun deskriptiv analysieren möchtest. Dazu bestimmst du folgende Kennzahlen:

Häufigkeiten

Häufigkeiten zeigen, wie oft bestimmte Werte in deinen Daten vorkommen. Dabei unterscheidest du zwischen:

• Absolute Häufigkeit: Das ist die Anzahl, wie oft ein bestimmter Wert vorkommt. Zum Beispiel kommt die Note 2 dreimal vor.
• Relative Häufigkeit: Das ist der Anteil der absoluten Häufigkeit an der Gesamtzahl der Daten. Zum Beispiel: Die Note 2 kommt in 3 von 10 Fällen vor. Also ist die relative Häufigkeit 3/10 = 0,3 oder 30 %. Das heißt, dass fast ein Drittel der Klasse die Note 2 erreicht hat.

Tipp: Bei den absoluten Häufigkeiten erkennst du, welcher Wert am häufigsten vorkommt. Diesen Wert bezeichnest du auch als Modalwert.

Mittelwert

Der Mittelwert ist der Durchschnitt aller Daten. Du berechnest ihn, indem du zum Beispiel alle Noten addierst und durch die Anzahl der Noten teilst. Für unser Beispiel rechnest du also: (2 + 3 + 1 + 4 + 3 + 2 + 5 + 2 + 4 + 1) / 10 = 27 / 10 = 2,7. Der Mittelwert ist 2,7. Das bedeutet, dass die Leistung der Klasse insgesamt zwischen 2 und 3 liegt.

Median

Der Median ist der Wert, der in der Mitte liegt. Dafür müssen alle Daten der Größe nach sortiert sein. Wenn es eine ungerade Anzahl von Daten gibt, ist der Median der mittlere Wert. Bei einer geraden Anzahl — wie in unserem Beispiel — ist es der Durchschnitt der beiden mittleren Werte.

Dafür sortierst du zuerst die Noten: 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5. Der Median liegt dann zwischen den beiden mittleren Werten (2 und 3), also ist der Median (2 + 3) / 2 = 2,5. Der Median von 2,5 zeigt, dass die Hälfte der Noten unter 2,5 und die andere Hälfte darüber liegt. Das ist ein guter Indikator für die mittlere Leistung der Klasse.

Minimum und Maximum

Das Minimum ist der kleinste Wert in deinen Daten, und das Maximum ist der größte Wert. In den Noten 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5 ist das Minimum 1 und das Maximum 5. 

Mithilfe von Minimum und Maximum kannst du auch gleich die Spannweite berechnen. Das ist der Unterschied zwischen dem Maximum und dem Minimum. Sie zeigt, wie weit die gesammelten Werte auseinanderliegen. Zum Beispiel ist die Spannweite bei den Mathenoten: Maximum – Minimum = 5 – 1 = 4. Eine Spannweite von 4 zeigt, dass es große Unterschiede in den Noten gibt, was auf unterschiedliche Leistungsniveaus hinweist.

Klasseneinteilung 

Wenn du viele Daten hast, kannst du sie in Klassen einteilen, um sie übersichtlicher zu machen. Zum Beispiel könntest du die Noten in Klassen wie „1-2“, „3-4“ und „5-6“ einteilen und dann zählen, wie viele Noten in jede Klasse fallen. 

• Klasse 1-2: 5 Noten (1, 1, 2, 2, 2)
• Klasse 3-4: 4 Noten (3, 3, 4, 4)
• Klasse 5-6: 1 Note (5)

Grafische Darstellung

Zur deskriptiven Statistik gehört auch die grafische Darstellung. Dafür hast du verschiedene Möglichkeiten, wie ein Balkendiagramm, ein Kreisdiagramm oder ein Histogramm.

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Sie helfen dir und anderen, auf einen Blick zu erkennen, wie oft die einzelnen Merkmalsausprägungen in deinen Daten vorkommen.

Mathematische Statistik

Die mathematische Statistik (induktive Statistik) beschäftigt sich damit, Rückschlüsse von einer Stichprobe auf die Grundgesamtheit zu ziehen. Das bedeutet, du untersuchst nur eine kleine Teilmenge der Grundgesamtheit — nämlich die Stichprobe. Von den Erkenntnissen aus der Stichprobe versuchst du, etwas über die größere Gruppe zu lernen.

Damit diese Rückschlüsse gültig sind, muss die Stichprobe repräsentativ sein. Das heißt, die Stichprobe sollte die Grundgesamtheit gut widerspiegeln.

Um die Mathenoten zu untersuchen, fragst du zufällig 50 Schüler aus verschiedenen Klassenstufen. Diese Stichprobe ist repräsentativ, weil sie die Vielfalt aller Matheschüler abbildet. Fragst du hingegen nur die Schüler in deiner Mathe-AG, ist die Stichprobe nicht repräsentativ. Denn sie enthält nur eine bestimmte Gruppe von Schülern, die wahrscheinlich besser in Mathe sind als der Durchschnitt.

Hypothesentests

Eine Methode der mathematischen Statistik sind Hypothesentests. Dabei stellst du eine Vermutung auf und prüfst, ob diese Vermutung richtig ist. Diese Vermutungen bezeichnest du auch als Nullhypothese und Alternativhypothese:

• Nullhypothese (H₀): Das ist die Annahme, dass es keinen Effekt oder Unterschied gibt. Zum Beispiel: „Die neue Lernmethode ist nicht besser als die alte.“
• Alternativhypothese (H₁): Das ist die Annahme, die du eigentlich vertrittst. Zum Beispiel: „Die neue Lernmethode ist besser als die alte.“

Für die Durchführung von Hypothesentests gibt es eine Reihe von verschiedenen Testverfahren, wie zum Beispiel den t-Test, die ANOVA oder die lineare Regression. Sie sagen dir dann, ob du die Nullhypothese verwerfen oder annehmen kannst.

Fehler 1. und 2. Art

Beim Verwerfen der Nullhypothese können zwei Arten von Fehlern auftreten:

• Fehler 1. Art (Alpha-Fehler): Du lehnst die Nullhypothese ab, obwohl sie eigentlich richtig ist. Das bedeutet, du denkst, dass die neue Lernmethode besser ist, obwohl das nicht stimmt.
   
  Beispiel: Du testest, ob Schüler, die eine bestimmte Lernmethode verwenden, bessere Noten haben. Deine Daten zeigen, dass sie besser abschneiden, aber in Wirklichkeit ist das nur Zufall.
   
• Fehler 2. Art (Beta-Fehler): Du akzeptierst die Nullhypothese, obwohl die Alternativhypothese richtig ist. Der Hypothesentest zeigt also, dass die neue Lernmethode nicht besser ist, obwohl sie es tatsächlich ist. Beispiel: Deine Daten zeigen keinen Unterschied zwischen den Noten der Schüler, die die neue Lernmethode verwenden, und denen, die sie nicht verwenden. In Wirklichkeit ist die neue Methode aber besser, der Test hat es nur nicht erkannt.

Statistik Mathe — häufigste Fragen

• Was ist Statistik in Mathematik?
  Statistik ist ein Bereich der Mathematik, der sich mit der Sammlung, Analyse, Interpretation und Darstellung von Daten beschäftigt. Sie hilft uns, Muster zu erkennen und fundierte Entscheidungen zu treffen.
   
• Was lernt man in Statistik?
  In Statistik lernst du, wie du Daten sammelst, analysierst und interpretierst. Du erfährst, wie du Mittelwerte, Mediane und Moden berechnest und wie du Daten grafisch darstellst, zum Beispiel durch Diagramme.
   
• Wie berechnet man die Statistik?
  Um eine Statistik zu berechnen, sammelst du Daten, ordnest sie und berechnest Kennzahlen wie den Mittelwert. Du kannst Streuungsmaße wie die Standardabweichung ermitteln und Diagramme zur grafischen Darstellung erstellen.

Boxplot

Eine weitere Möglichkeit, um Daten grafisch darzustellen, ist der Boxplot. Darin kannst du nämlich verschiedene Kennzahlen wie den Median oder die Spannweite ablesen. Wie du einen Boxplot erstellst und interpretierst, zeigen wir dir in unserem Video !