Totale Differenzierbarkeit
Im Fall der totalen Differenzierbarkeit werden Abbildungen einer offenen Teilmenge des in den betrachtet. Wie man die totale Differenzierbarkeit besser aufzeigen kann, erklären wir dir am Ende mit zwei Beispielen.
Totale Differenzierbarkeit – total schwierig? Überhaupt nicht! in unserem Video verstehst du das Thema in unter 4 Minuten!
Inhaltsübersicht
Motivation und Vorüberlegungen zur totalen Differenzierbarkeit
Eine reellwertige Funktion einer Variablen ist an der Stelle bekanntlich genau dann differenzierbar, falls der Grenzwert
existiert. Der Grenzwert wird als Differentialquotient bzw. Ableitung von an der Stelle bezeichnet. Dieser Differenzierbarkeitsbegriff lässt sich allerdings nicht gut auf mehrdimensionale Funktionen übertragen. Daher wird hierfür eine andere mögliche Definition der Differenzierbarkeit für reellwertige Funktionen einer Variablen betrachtet.
Die affin lineare Näherungsfunktion g beschreibt dabei die Tangente an den Funktionsgraphen von an der Stelle . Diese Tangente besitzt bekanntlich gerade die Steigung . Die Näherungsfunktion g lauter demnach:
Für die Restfunktion , welche die Differenz zwischen und beschreibt, gilt dann:
Die Idee der linearen Approximierbarkeit differenzierbarer Funktionen wird nun auf mehrdimensionale Funktionen übertragen.
Totale Ableitung
Die lineare Abbildung kann durch eine – Matrix beschrieben werden, welche als totale Ableitung, totales Differential, Funktionalmatrix oder Jacobi-Matrix bezeichnet wird:
Wird durch ersetzt, so wird der Grenzübergang zu und eine äquivalente Formulierung der beiden obigen Bedingungen lautet:
Eine Funktion ist im Allgemeinen also dann in total differenzierbar, wenn sie sich gut durch eine affin lineare Funktion approximieren lässt.
- Konstante („Ableitung“)
- Lineare Abbildung
- Lineare Approximation
- Restfunktion ist differenzierbar in , wenn gilt:
- -Matrix (Totale Ableitung)
- Lineare Abbildung
- Lineare Approximation
- Restfunktion ist total differenzierbar in , wenn gilt:
Jacobi-Matrix berechnen
Sei die Funktion in total differenzierbar und es gelte mit der Matrix und dem Vektor , dann sind alle Komponenten (mit ) der Funktion in partiell differenzierbar und es gilt:
.
Um dies zu zeigen, wird zunächst die -te Komponente von betrachtet:
Damit gilt mit dem -ten Einheitsvektor und der -ten Komponente des Vektors :
Und es gilt:
Die Einträge der Jacobi-Matrix sind also die partiellen Ableitungen der einzelnen Komponenten von .
Totale Differenzierbarkeit reellwertiger Funktionen
Für reellwertige Funktionen lässt sich außerdemn folgendes zeigen: Sei auf der offenen Menge partiell differenzierbar und alle partiellen Ableitungen seien stetig. Dann ist in total differenzierbar.
Schaubild der Implikationen
Zusammenfassend gelten die folgenden Implikationen:
Stetig partiell differenzierbar (für reellwertige Funktionen)
Total differenzierbar stetig
Partiell differenzierbar
Die Umkehrungen dieser Aussagen gelten im Allgemeinen allerdings nicht.
Totale Differenzierbarkeit zeigen Beispiele
Um die totale Differenzierbarkeit einer Funktion an der Stelle zu zeigen, ist folgendes Vorgehen ratsam. Zunächst einmal sind die Stetigkeit und die partielle Differenzierbarkeit der Funktion in zu überprüfen. Denn wie gezeigt, sind diese notwendige Voraussetzungen für die totale Differenzierbarkeit. Anschließend kann mithilfe der partiellen Ableitungen die Funktionalmatrix bestimmt werden und mit ihrer Hilfe überprüft werden, ob folgende Bedingung gilt:
Eine alternative Formulierung dieser Bedingung lautet:
Ist diese Bedingung erfüllt, so ist an der Stelle tatsächlich total differenzierbar.
Beispiel 1: Totale Differenzierbarkeit zeigen
Wie die totale Differenzierbarkeit gezeigt werden kann, soll für folgende Funktion illustriert werden:
Da es sich um eine reellwertige Funktion handelt, kann überprüft werden, ob die partiellen Ableitungen alle stetig sind. Diese lauten:
Da beide Funktionen für alle stetig sind, ist die Funktion überall total differenzierbar. Dies lässt sich auch mithilfe der Bedingung
zeigen, wobei gilt.
Beispiel 2: Totale Differenzierbarkeit zeigen
Im folgenden Beispiel soll die totale Differenzierbarkeit im Nullpunkt betrachtet werden:
Es gilt:
Das bedeutet, dass die Funktion im Nullpunkt partiell differenzierbar ist. Weiterhin gilt:
Somit ist die Funktion im Nullpunkt total differenzierbar.