Analysis
Extremstellen
 – Video

Extremwerte berechnen ist ein wichtiger Teil in der Untersuchung von Funktionen. Aber wie geht das? Und wo liegt der Unterschied zwischen Extremstellen, Extremwerten und Extrempunkten? Hier bist du richtig, um das herauszufinden!

Extremwerte berechnen — einfach erklärt

Eine Funktion sieht oft ein bisschen aus wie ein Gebirge. Da gibt es Gipfel — sogenannte Hochpunkte (HP) — und Täler. Das sind die Tiefpunkte (TP). 

Extrempunkte berechnen, Extremstelle berechnen, Extremwerte, Tiefpunkt berechnen, Extremwert, Maximum berechnen, Funktion mit Extrempunkten
direkt ins Video springen
Funktion mit Extrempunkten

Wenn du solche Funktionen untersuchen sollst (Kurvendiskussion ), begegnen dir oft die drei Begriffe Extrempunkt, Extremstelle und Extremwert. Sie haben etwas unterschiedliche Bedeutungen: 

  • Extrempunkte sind die Hochpunkte (HP) und Tiefpunkte (TP) einer Funktion. Sie bestehen jeweils aus einer x-Koordinate und einer y-KoordinateTP(xT|yT),  HP(xH|yH)
  • Die x-Koordinaten xT, xH der Extrempunkte nennst du Extremstellen.
  • Die y-Koordinaten yT, yH bezeichnest du als Extremwerte.

Aber wie kannst du nun solche Extremstellen und die zugehörigen Extremwerte berechnen? Schau dafür gleich mal in unser Video rein! Dort bekommst du das Vorgehen Schritt für Schritt erklärt!

Extremstellen und Extremwerte berechnen — Vorgehen

Willst von einer Funktion f die Extremstellen und die Extremwerte berechnen, kannst du dich an folgenden Schritten orientieren: 

  1. f zweimal ableiten : f‘, f“
  2. Nullstellen der 1. Ableitung berechnen:  f'(x) = 0
    Die x-Werte, die du herausbekommst, sind dann mögliche Kandidaten für Extremstellen xE
  3. Nullstellen aus Schritt 2 in die 2. Ableitung f“ einsetzen.
    Dabei gilt:
    • f“(xE) < 0 Hochpunkt
    • f“(xE) > 0 Tiefpunkt
    • f“(xE) = 0 möglicherweise Sattelpunkt
  4. Extremwerte yE berechnen. Setze dafür die Extremstellen xE aus Schritt 3 in die Funktion f ein:  yE = f(xE
  5. Extrempunkte (EP) angeben : EP(xE|yE)

Schau dir das gleich mal an einem Beispiel an!

Du bist gerade auf der Suche nach einem dualen Studium oder Ausbildungsplatz? Wir von Studyflix helfen dir weiter. Im Studyflix Ausbildungsportal warten über 20.000 freie Plätze auf dich. Schau doch mal vorbei.

Du willst wissen, wofür du das Thema Extremwerte berechnen lernst? Über das Studyflix Jobportal kannst du dich auf die Suche nach Praxiserfahrung begeben. Hier warten über 20.000 Praktika, Werkstudentenstellen, Einstiegsjobs und auch Abschlussarbeiten auf dich. Schau doch mal vorbei.

Extremwerte berechnen — Beispiel

Deine Aufgabe ist es, die Extremwerte der Funktion f(x) = -x3 + 3x2 + 3 zu berechnen. Halte dich dabei einfach an die Schritt-für-Schritt-Anleitung: 

  1. f zweimal ableiten
    • f'(x) = -3x2 + 6x
    • f“(x) = -6x + 6

  2. Nullstellen der 1. Ableitung berechnen: -3x2 + 6x = 0 
    Um diese quadratische Gleichung zu lösen , kannst du zum Beispiel die Mitternachtsformel verwenden.

        \begin{align*} x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \notag = \frac{-6 \pm \sqrt{(-6)^2-4 \cdot (-3) \cdot 0}}{2 \cdot (-3)}\nonumber\\ x_1 =\frac{-6 + \sqrt{36}}{-6} = 0\nonumber\\ x_2 =\frac{-6 - \sqrt{36}}{-6} = 2 \nonumber \end{align*}


    Die Kandidaten für unsere Extremstellen sind also x1 = 0 und x2 = 2. Die überprüfst du nun mit der 2. Ableitung.

  3. Nullstellen x1 = 0 und x2 = 2 aus Schritt 2 in die 2. Ableitung f“(x) = -6x + 6 einsetzen
    • f“(0)= -6 · 0 + 6 = 6 > 0 → Tiefpunkt
    • f“(2) = -6 · 2 + 6 = -6 < 0 → Hochpunkt

  4. Extremwerte berechnen: Extremstellen x1 = 0 und x2 = 2 in f(x) = -x3 + 3x2 + 3  einsetzen:
    • yT = f(0) = 03 + 3 · 02 + 3 = 3
    • yH = f(2) = 23 + 3 · 22 + 3 = 7

  5. Extrempunkte angeben: 
    • TP(0|3)
    • HP(2|7)
Extrempunkte berechnen, Extremstelle berechnen, Extremwerte, Tiefpunkt berechnen, Extremwert, Maximum berechnen, Funktion mit Extrempunkten
direkt ins Video springen
Beispiel: Extremwerte berechnen

Tipp: Um die Nullstellen in Schritt 2 zu berechnen, gibt es neben der Mitternachtsformel noch weitere Möglichkeiten, wie die pq-Formel , den Satz von Vieta oder den Satz vom Nullprodukt . In manchen Fällen bist du damit sogar schneller als mit der Mitternachtsformel. Im Beispiel wäre etwa der Satz vom Nullprodukt eine geschickte Abkürzung:
-3x2 + 6x = 0 ⇔ x · (-3x + 6) = 0 ⇔ x= 0 oder (-3x + 6) = 0 also: x1 = 0 und x2 = 2.

Extremwerte berechnen — Die wichtigsten Fragen

  • Was ist ein Extremwert?
    Ein Extremwert ist die y-Koordinate eines Hochpunkts (Maximum) oder Tiefpunkts (Minimum) einer Funktion. Er ist zu unterscheiden von der Extremstelle (x-Koordinate) und dem Extrempunkt (x- und y-Koordinate zusammen).

  • Wie berechnet man Extremwerte?
    Die Extremwerte einer Funktion f berechnest du in folgenden fünf Schritten:
    1. Leite die Funktion einmal ab.
    2. Setze die Ableitung gleich 0 und löse nach x auf.
    3. Berechne die zweite Ableitung.
    4. Setze die x-Werte in die zweite Ableitung ein, um Hochpunkte, Tiefpunkte und Sattelpunkte zu unterscheiden.
    5. Du kannst nun die Extremwerte berechnen, indem du die x-Werte in die Funktion f einsetzt.

  • Was brauchst du, um Extremwerte zu berechnen?
    Um Extremwerte zu berechnen, brauchst du die erste und zweite Ableitung der Funktion. Beim Ableiten helfen dir die Ableitungsregeln. Auch deine Fähigkeiten im Gleichungen lösen sind hier gefragt, um die x-Werte herauszubekommen, die du dann in die Funktion f einsetzen kannst. 

Ableitungsregeln

Spitze! Jetzt weißt du, wie du vorgehst, um Extremwerte zu berechnen. Aber wie ging das nochmal mit dem Ableiten? Wenn du einen Überblick über die wichtigsten Ableitungsregeln bekommen willst, ist dieses Video genau das Richtige für dich!

Zum Video: Ableitungsregeln
Zum Video: Ableitungsregeln

Hallo, leider nutzt du einen AdBlocker.

Auf Studyflix bieten wir dir kostenlos hochwertige Bildung an. Dies können wir nur durch die Unterstützung unserer Werbepartner tun.

Schalte bitte deinen Adblocker für Studyflix aus oder füge uns zu deinen Ausnahmen hinzu. Das tut dir nicht weh und hilft uns weiter.

Danke!
Dein Studyflix-Team

Wenn du nicht weißt, wie du deinen Adblocker deaktivierst oder Studyflix zu den Ausnahmen hinzufügst, findest du hier eine kurze Anleitung. Bitte lade anschließend die Seite neu.