Wendetangente berechnen
Du möchtest wissen, was eine Wendetangente ist und wie du sie berechnest? Dann bist du hier genau richtig. Wir erklären es dir Schritt für Schritt. Am Ende findest du auch Aufgaben mit Lösungen zum Üben.
Möchtest du eine visuelle Anleitung dazu sehen? Dann schau dir unser Video an!
Inhaltsübersicht
Wendetangente einfach erklärt
Betrachtest du eine Funktion f mit einem Maximum, dann hat dort eine Tangente die Steigung 0. Ab dann fängt die Steigung der Funktion an zu sinken. Erst wenn die Wendestelle erreicht ist, fängt die Steigung wieder an zu wachsen. Das heißt, am Wendepunkt zwischen einem Hoch- und Tiefpunkt ist der Punkt mit der geringsten Steigung. Dementsprechend ist eine Wendetangente zwischen einem Tief- und Hochpunkt die Tangente mit der größten Steigung.
Die Wendetangente ist die Tangente an einen Wendepunkt.
Was ist eine Wendetangente?
Im Allgemeinen ist eine Tangente eine lineare Funktion , die die Funktion f an einem Punkt berührt. Das Besondere an der Wendetangente ist allerdings, dass der Berührpunkt nicht irgendwo ist, sondern am Wendepunkt.
Dadurch, dass die Tangente die Funktion f nicht schneidet, sondern nur berührt, heißt das, dass die Wendetangente und der Funktionsgraph von f an der Wendestelle die gleiche Steigung haben. Deshalb musst du für die Ermittlung der Steigung der Tangente die Wendestelle in die erste Ableitung einsetzen.
Zur Bestimmung der Tangentengleichung verwendest du die Punktsteigungsform der Geradengleichung:
Die Gleichung der Wendetangente hat die allgemeine Form
wobei ein Wendepunkt der Funktion f ist.
Wendetangente berechnen: Schritt-für-Schritt Anleitung
Nun geben wir dir eine Schritt-für-Schritt Anleitung, wie du eine Wendetangente berechnen kannst.
Schritt 1: Als erstes berechnest du die Wendepunkte
Erinnerung: Wendepunkt berechnen
- Berechne die ersten drei Ableitungen der Funktion f.
- Ermittle für welche x-Werte die zweite Ableitung gleich 0 ist.
- Ist die dritte Ableitung an den gefundenen x-Werten ungleich 0, so handelt es sich um Wendepunkte.
- Für die genauen Koordinaten setzt du die x-Werte in die Funktion f ein.
Schritt 2: Du setzt deine Wendestelle in die erste Ableitung ein, um so die Steigung zu erhalten.
Schritt 3: Jetzt setzt du die Koordinaten des Wendepunktes und die Steigung in die Punktsteigungsform ein und erhältst so die gesuchte Tangente.
Beispiel
Betrachten wir ein konkretes Beispiel. Angenommen wir haben folgende Funktion gegeben
Schritt 1: Zuallererst benötigen wir die Wendepunkte der Funktion. Dazu brauchen wir die Ableitungen
Nach Nullsetzen der zweiten Ableitung erhalten wir für x = 1 einen möglichen Kandidaten, welcher sich auch als Wendestelle herausstellt, da ist.
Da , haben wir bei einen Wendepunkt.
Schritt 2: Als nächstes benötigen wir die Steigung der Wendetangente. Dafür setzen wir die Wendestelle in die erste Ableitung ein und erhalten
Schritt 3: Nun hast du alle Bausteine der Tangente zusammen. Das heißt, du kannst nun alle Ergebnisse in die Punktsteigungsform einsetzen
Damit erhältst du die Gleichung für die Wendetangente
Wendenormale
Im Folgenden erklären wir dir kurz, was die Wendenormale ist.
Die Wendenormale ist eine Lineare Funktion, die am Wendepunkt senkrecht zur Wendetangente steht. Da sie eine um 90° gedrehte Wendetangente ist, entspricht die Steigung der Wendenormale
Damit lautet die Geradengleichung für die Wendenormale
Beispiel
Betrachte hierfür das obere Beispiel mit und der Steigung . Setzt du die Werte nun in die Geradengleichung der Wendenormale ein, erhältst du
Wichtige Begriffe der Kurvendiskussion
Bevor wir uns weitere Beispiele ansehen, geben wir dir an dieser Stelle eine kleine Übersicht wichtiger Begriffe, die du im Zusammenhang mit der Kurvendiskussion beherrschen solltest:
- Kurvendiskussion
- Kurvendiskussion Aufgaben
- Ableitung
- Ableitungsregeln
- Extrempunkte berechnen
- Hoch- und Tiefpunkte
- Monotonie
- Wendepunkt berechnen
- Sattelpunkt berechnen
- y Achsenabschnitt berechnen
- Symmetrie
- Punktsymmetrie
- Achsensymmetrie
Wendetangente berechnen Aufgaben
Im Folgenden zeigen wir dir zwei verschiedene Aufgaben mit Lösungen zum Thema Wendetangente berechnen.
Aufgabe 1: Wendetangente berechnen e Funktion
Betrachte die Funktion
Berechne die Wendetangente!
Lösung: Aufgabe 1
Zunächst brauchst du die Wendestellen der Funktion f und damit die ersten drei Ableitungen.
Setze die zweite Ableitung gleich 0. Damit bekommst du eine Nullstelle bei . Da
ist, handelt es sich dabei um eine Wendestelle. Es ist . Damit haben wir bei einen Wendepunkt.
Bevor wir die dazugehörige Tangente berechnen können, fehlt uns noch die Steigung, die wir bekommen, wenn wir den x-Wert des Wendepunktes in einsetzen. Wir erhalten somit
Damit können wir die Funktion der Wendetangente berechnen, indem wir und in die Gleichung einsetzen:
Aufgabe 2: Wendetangente einer gebrochenrationalen Funktion
Sei folgende gebrochenrationale Funktion gegeben
Wie lautet die Wendetangente?
Lösung: Aufgabe 2
Mit Hilfe der Quotientenregel und Kettenregel erhalten wir die Ableitungen
Setzen wir nun die zweite Ableitung , so bekommen wir die Nullstelle x = 0. Da
ist und , haben wir einen Wendepunkt bei .
Um die Geradengleichung der Wendetangente berechnen zu können, benötigen wir die Steigung . Dazu setzen wir den Wert in die erste Ableitung ein und erhalten
Nun können wir den Punkt W und die Steigung in die Punktsteigungsform einsetzen und erhalten somit
Extrempunkte berechnen
Gut gemacht! Du weißt jetzt, wie du die Tangente an einem Wendepunkt berechnen kannst. Damit hast du schon einen wichtigen Teil der Kurvendiskussion geschafft. Damit du alle Aufgaben dazu problemlos lösen kannst, musst du aber unbedingt auch noch wissen, wie Hoch- und Tiefpunkte (Extrempunkte) berechnet werden. Wie das geht, erklären wir dir in unserem Video zum Extrempunkte berechnen. Schau es dir gleich an!