Totales Differential
In diesem Artikel erklären wir dir kurz, was ein totales Differential einer Funktion in mehreren Variablen ist. Nach der Definition findest du ein einfaches Beispiel und die Bedeutung des totalen Differentials.
Du möchtest sehen, wie du Schritt für Schritt ein totales Differential berechnest? Dann kannst du dir auch direkt unser Video anschauen.
Inhaltsübersicht
Totales Differential – Definition
Sei eine total differenzierbare , reellwertige Funktion in mehreren Variablen, d.h. . Dann kannst du ein totales Differential direkt über die partiellen Ableitungen berechnen:
Achtung: Für das totale Differential verwenden wir immer das „normale“ , während die partiellen Ableitungen bezeichnet!
Totales Differential einfach erklärt
Ein totales Differential verrät dir, wie sich eine Funktion bei kleinen Abweichungen in den einzelnen Variablen verändert. Du kannst es verwenden, wenn du beispielsweise eine Funktion in zwei Variablen und gegeben hast und wissen willst, wie sie sich in der Umgebung eines konkreten Punktes verhält. Ein totales Differential verrät dir, was passiert, wenn du das „festhältst“ und nur am Wert ein bisschen wackelst.
Um ein totales Differential zu bestimmen, betrachten wir immer eine Funktion in mehreren Variablen, d.h. . Diese Funktion muss dabei total differenzierbar sein, die bloße Existenz der partiellen Ableitungen reicht noch nicht aus.
Übrigens: Wenn dein Dozent in diesem Kapitel von Differentialformen 1. Ordnung oder Pfaff’schen Formen spricht, dann meint er damit ein totales Differential. Diese Theorie kann auf Mannigfaltigkeiten übertragen und verallgemeinert werden.
Totales Differential berechnen – Beispiel
Für die Berechnung des totalen Differentials musst du nur die partiellen Ableitungen von bestimmen. Wir wollen es an einem kurzen Beispiel veranschaulichen. Sei , wobei
.
- Schritt 1: Berechne zuerst alle partiellen Ableitungen:
- Schritt 2: Nun multiplizierst du die partiellen Ableitungen mit den jeweiligen Differentialen und erhältst das totale Differential als Summe davon:
Bedeutung des totalen Differentials
Nun kannst du das totale Differential zwar berechnen, aber was bedeutet es eigentlich genau? Und worin besteht der Unterschied zum Gradienten , Richtungsableitungen oder zur Jacobi-Matrix? Wichtig ist, dass du die Zusammenhänge zu den anderen Begriffen der Differenzierbarkeit verstehst! Deswegen haben wir es dir hier noch einmal zusammengefasst.
Ein totales Differential sagt dir, wie stark sich eine Funktion verändert, wenn du den Punkt nur ein bisschen in eine Richtung verschiebst. Das ist sehr nützlich und wird in der Physik (z.B. in der Strömungsmechanik ) regelmäßig gebraucht. Dann ist es meistens noch etwas komplizierter, weil die Funktion zusätzlich von der Zeit abhängig ist. Unten findest du diesen Fall ausführlich erklärt.
Totales Differential und Richtungsableitungen
Du kannst das totale Differential von im Punkt als lineare Abbildung auffassen, die jedem Vektor die Richtungsableitung von am Punkt in Richtung zuordnet. Das wird meistens als totale Ableitung bezeichnet
Der Unterschied zur Definition am Anfang besteht darin, dass wir vorhin nur die partiellen Ableitungen angeschaut haben. Diese entsprechen gerade den Richtungsableitungen in Richtung der Koordinatenachsen. Jetzt kannst du ein totales Differential entlang einer beliebigen Richtung betrachten.
Zusammenhang zum Gradienten
Der Gradient unserer obigen Funktion am Punkt , ist definiert als (stehender) Vektor
bezeichnet hier den i-ten Einheitsvektor der Standardbasis des . Im sind das die Vektoren
Der Gradient gibt dir also gerade die Diagonal-Elemente der Jakobi-Matrix . Damit kannst du das totale Differential auch als Skalarprodukt des Gradienten mit dem Richtungsvektor auffassen
Physikalische Anwendungsbereiche und Kettenregel
Ein totales Differential ist in verschiedenen Bereichen der Physik äußerst wichtig, nämlich immer dann, wenn du dich für die Änderung von Zustandsgrößen interessierst. Ein Beispiel hierfür ist der thermische Ausdehnungskoeffizient.
Ein anderer Anwendungsbereich ist die Mechanik (insbesondere die Strömungsmechanik). Hier wird beispielsweise die Bahn eines Punktes in der Ebene beschrieben. Oft sind die Ortskoordinaten und von dann zusätzlich von der Zeit abhängig. Willst du dafür ein totales Differential berechnen, brauchst du zusätzlich die (mehrdimensionale) Kettenregel .
Gegeben sind hier wieder und , wobei wir sie dieses mal als zwei Funktionen und interpretieren. Ihre Ableitungen lassen sich mittels Kettenregel bestimmen als und . Dann erhalten wir für unser totales Differential