Differentialrechnung
In diesem Artikel gehen wir auf alle wichtigen Begriffe zur Differentialrechnung ein. Dabei klären wir die Zusammenhänge zwischen den einzelnen Themen und verschaffen dir so einen guten Gesamtüberblick zur Differentialrechnung.
Du hättest gern alle wichtigen Themen zur Differentialrechnung kurz und kompakt zusammengefasst? Dann schau dir einfach unser Video zur Differentialrechnung an. Dort erklären wir dir anschaulich alle Zusammenhänge.
Inhaltsübersicht
Differentialrechnung einfach erklärt
Die Differentialrechnung ist ein mathematisches Themengebiet aus dem Bereich der Analysis und beschäftigt sich mit den Änderungsraten von Funktionen. Im Mittelpunkt steht dabei die Ableitung .
Die Ableitung einer Funktion an einer Stelle entspricht geometrisch gesehen der dortigen Tangentensteigung. Diese kannst du anhand des Differentialquotienten bestimmen. Bei der Tangente handelt es sich dabei um den Graph der Linearisierung an dieser Stelle.
Differenzenquotient
Bevor wir auf den Begriff des Differentialquotienten weiter eingehen, betrachten wir zunächst einmal den Differenzenquotient .
Der Differenzenquotient
beschreibt die Steigung der Sekante durch den Punkt und
Diese bestimmst du mit Hilfe des Steigungsdreiecks unterhalb der Sekante. Das heißt du rechnest die Höhe des Dreiecks geteilt durch seine Länge und erhältst so die obige Formel.
Als nächstes sehen wir uns den bereits erwähnten zentralen Begriff der Differentialrechnung, den Differentialquotienten, an.
Differentialquotient
Für den Differentialquotient betrachtest du den Grenzwert des Differenzenquotienten für
Der Differentialquotient
beschreibt die Steigung der Tangente an der Stelle
Was bei dieser Grenzwertbetrachtung passiert ist folgendes:
bewegt sich auf zu. Dadurch nähert sich auch der Funktionswert dem Wert . Insgesamt wird also der Punkt entlang dem Funktionsgraphen von in Richtung geschoben. Die Punkte und bleiben dabei die ganze Zeit über eine Gerade verbunden. Wenn schließlich der Abstand zwischen und gegen null geht, entspricht die Sekante durch und der Tangente an der Stelle und du hast somit über den Differenzenquotient ihre Steigung berechnet.
Im Folgenden betrachten wir einen Begriff, der sehr häufig in der Differentialrechnung verwendet wird.
h Methode
Eine andere Interpretation des Differentialquotienten – jedoch mit dem gleichen Ergebnis – ist die h Methode .
Die h Methode
beschreibt die Steigung der Tangente an der Stelle
Du kannst das im Abschnitt Differentialquotient beschriebene Vorgehen auch so auffassen, dass, wenn auf zu läuft, sich der Abstand zwischen und immer mehr verringert. In diesem Fall betrachtest du nicht mehr den Grenzwert für , sondern du lässt den Abstand
gegen Null laufen, also Dementsprechend ersetzt du nun in der Formel für den Differentialquotienten durch und durch . Das Ergebnis ist die h Methode.
Auch der folgende Begriff der Differentialrechnung beruht auf dem Differentialquotienten.
Ableitungsfunktion und Ableitungsregeln
Wenn eine Funktion an jeder Stelle ihres Definitionsbereichs differenzierbar ist, besitzt sie eine Ableitungsfunktion
Die Ableitungsfunktion ordnet jeder Stelle x den Wert des Differentialquotienten an dieser Stelle zu.
Allerdings wäre es sehr aufwändig, wenn du jedes mal den Differentialquotient bestimmen müsstest, wenn du die Ableitung an einer Stelle wissen möchtest.
Stattdessen gibt es in der Differentialrechnung Ableitungsregeln , die dir direkt die Ableitungsfunktion liefern. Wenn du dann die Ableitung an einer bestimmten Stelle wissen möchtest, musst du lediglich in den Funktionsterm von einsetzen.
Es gibt folgende wichtige Ableitungsregeln:
Ableitungsregel | Funktion | Ableitung |
Potenzregel | ||
Faktorregel | ||
Summenregel | ||
Differenzregel | ||
Produktregel | ||
Quotientenregel | ||
Kettenregel |
Zudem gibt es noch bestimmte Funktionen, deren Ableitungen du unbedingt kennen solltest. Wir behandeln dabei jede Funktion in einem extra Artikel und zeigen dir viele Beispiele. Schau dir dazu die folgenden Artikel und Videos an:
Höhere Ableitungen
Wenn du eine Funktion öfter als nur einmal ableitest, spricht man von einer höheren Ableitung.
Angenommen du hast eine Funktion und berechnest mit den eben erwähnten Ableitungsregeln die Ableitungsfunktion Wenn differenzierbar ist, kannst du auch nochmals ableiten. Das Ergebnis ist die zweite Ableitung . Solange die Ableitungsfunktion differenzierbar ist, kannst du sie beliebig oft ableiten. Sieh dir zum Beispiel die Funktion
an. Diese Funktion kannst du beliebig oft ableiten:
Wie du siehst, schreibt man bei höheren Ableitungen in den Exponent von die Zahl der Ableitung in eine Klammer. In diesem Beispiel erhältst du ab der vierten Ableitung immer die Nullfunktion, wenn du erneut ableitest.
Solche unendlich oft differenzierbare Funktionen werden in der Differentialrechnung glatt genannt.
Extremwertaufgaben
Vielleicht fragst du dich wozu du die Differentialrechnung, insbesondere die Ableitung und höhere Ableitungen benötigst?
Eine Antwort darauf sind Extremwertaufgaben. Das heißt Aufgaben, in denen du Hochpunkte und Tiefpunkte oder eventuell Terrassenpunkte bestimmen sollst.
Häufig führst du für Aufgaben dieser Art eine sogenannte Kurvendiskussion durch. Mit den daraus gewonnenen Informationen kannst du den Verlauf des Funktionsgraphen skizzieren und erhältst so Informationen über die gesuchten Extremwerte.
Ableitungen finden natürlich nicht nur im Rahmen von Extremwertaufgaben ihre Anwendung, sondern spielen auch in den folgenden zwei zentralen Sätzen der Differentialrechnung eine zentrale Rolle.
Mittelwertsatz der Differentialrechnung
Der Mittelwertsatz zählt zu den wichtigsten Sätzen der Differentialrechnung.
Angenommen du betrachtest eine stetige Funktion auf einem abgeschlossenen Intervall welche auf differenzierbar ist.
Dann gibt es eine Stelle die eine Ableitung
besitzt.
Das heißt es gibt eine Stelle an der die Tangente die selbe Steigung besitzt, wie die Sekante durch die Punkte und
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (HDI)
Die Differentialrechnung ist eng verwandt mit der Integralrechnung , wie auch der folgende Hauptsatz der Differentialrechnung verdeutlicht.
Angenommen du hast eine auf einem Intervall stetige Funktion und einen beliebigen Punkt gegeben.
Dann ist die Funktion
auf differenzierbar und für ihre Ableitung gilt
Man nennt in der Differentialrechnung eine Stammfunktion von
Damit ergibt sich die bekannte Formel zum Berechnen bestimmter Integrale , nämlich:
Im Folgenden werden wir uns ansehen, wie in der Differentialrechnung mit mehrdimensionalen Funktionen umgegangen wird.
Partielle Ableitungen
Bisher haben wir nur eindimensionale reellwertige Funktionen betrachtet, also solche die von einem Intervall in die reellen Zahlen abbilden. Das heißt die Funktion hing nur von einer Variable ab.
Jetzt sehen wir uns Funktionen an, die von einer Teilmenge des nach abbilden. Das heißt Funktionen, die von mehreren Variablen abhängen. Sei also
eine solche Funktion. Wie leitest du nun ab?
Du kannst die partiellen Ableitungen von bilden. In so einem Fall nimmst du eine Variable , und leitest dann deine Funktion nach dieser Variablen ab. Alle anderen n-1 Variablen behandelst du wie Konstanten.
Das Ergebnis ist die i-te partielle Ableitung von
Sie gibt dir die lokale Änderungsrate entlang der i-ten Koordinatenachse an. Für eine geometrische Anschauung sieh dir den extra Artikel zu den partiellen Ableitungen an.
Damit klarer wird, wie du diese Ableitungen bestimmst, rechnen wir ein Beispiel. Gegeben ist die Funktion
Du bestimmst nun all ihre partiellen Ableitungen
Diese berechnest du mit den üblichen Ableitungsregeln der Differentialrechnung.
Nun kannst du deine Ergebnisse noch als Spaltenvektor, den sogenannten Gradienten von f, festhalten:
Dieser Vektor zeigt in die Richtung des größten Anstiegs der Funktion an der Stelle
Die partiellen Ableitungen sind ein Spezialfall des nun folgenden Ableitungsbegriffs der Differentialrechnung.
Richtungsableitungen
Wir bleiben bei Funktionen, die von mehreren Variablen abhängen und betrachten deren Richtungsableitungen .
Also angenommen du hast erneut eine reellwertige Funktion
und dazu noch eine Richtung, nämlich den Vektor mit Länge eins, gegeben.
Dann lautet die Richtungsableitung von an der Stelle :
Diese Richtungsableitung gibt die lokale Änderungsrate bei einer Bewegung in Richtung im Punkt an.
Wählst du also als einen Einheitsvektor , dann erhältst du die lokale Änderungsrate entlang einer Koordinatenrichtung, also die partielle Ableitung.
Schließlich sehen wir uns noch einen letzten Begriff der Differentialrechnung an, nämlich die totale Differenzierbarkeit .
Totale Differenzierbarkeit
Bis hierhin haben wir nur Funktionen betrachtet, die in den eindimensionalen reellen Raum, also , abbilden. Jetzt sehen wir uns auch Funktionen an, die nicht nur von mehreren Variablen abhängen, sondern auch noch in den mehrdimensionalen reellen Raum abbilden.
Wir betrachten also eine Funktion der Form:
ist an der Stelle total differenzierbar, wenn es eine lineare Abbildung gibt, sodass
gilt.
Die lineare Abbildung kann als Matrix dargestellt werden. Die Ableitung von f wird in der Differentialrechnung Jacobi-Matrix genannt und entspricht in diesem Fall der totalen Ableitung.
Angenommen du hast eine total differenzierbare Funktion gegeben. Dann kannst du ihr sogenanntes totales Differential :
berechnen. Dieser Begriff der Differentialrechnung verrät dir, wie sich die Funktion bei kleinen Abweichungen in den Variablen verändert.