Analysis

Kugelkoordinaten

In diesem Artikel betrachten wir die Kugelkoordinaten und deren Transformation mit kartesischen Koordinaten genauer. Dazu zählen auch die Transformationen der Differentiale, des Flächen-, Volumen– und Linienelements sowie die Transformation der Basisvektoren, des Nabla– und des Laplaceoperators.

Das Wichtigste zum Thema Kugelkoordinaten haben wir außerdem in einem kurzen Video  für dich aufbereitet. Das fördert die Vorstellung und kann dir das Thema einfacher näher bringen.

Inhaltsübersicht

Kugelkoordinaten Definition

Merke
In Kugelkoordinaten wird ein Punkt im Raum durch seinen Abstand vom Koordinatenursprung, und zwei Winkel angegeben. Diese beiden Winkel werden je nach Konvention unterschiedlich definiert.

Wird der Abstand vom Ursprung konstant gehalten, so spricht man von sphärischen Koordinaten. Die betrachteten Punkte liegen dann auf einer Kugeloberfläche.

Kugelkoordinatensystem

Um einen Punkt im Raum beschreiben zu können, ist ein Koordinatensystem von Nöten. In Kugelkoordinaten ist das Koordinatensystem durch folgende Punkte festgelegt:

  • das Zentrum O bzw. der Ursprung des Koordinatensystems.
  • eine gerichtete Gerade durch den Ursprung. Diese nennt man Polachse und ihre Richtung wird als Polrichtung bezeichnet. Die Polachse gibt zudem die sogenannte Äquatorebene vor. Diese Ebene liegt orthogonal zur Polrichtung und verläuft durch den Ursprung.
  • eine Bezugsrichtung, d.h. eine Halbgerade in der Äquatorebene.

Um Umrechnungen mit den kartesischen Koordinaten zu vereinfachen, lassen sich die genannten Punkte so festlegen, dass der Ursprung des Kugelkoordinatensystems dem des kartesischen Systems entspricht. Des weiteren kann die z-Achse als Polachse verwendet werden, sodass die xy-Ebene der Äquatorebene entspricht. Die positive x-Achse kann zudem als Bezugsrichtung gewählt werden.

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Kugelkoordinatensystem

Kugelkoordinatendarstellung 

Wie bereits erwähnt, wird ein Punkt in Kugelkoordinaten unter anderem durch zwei Winkel angegeben. Wie diese gewählt werden unterscheidet sich allerdings je nach Konvention. Im Folgenden soll derjenigen Konvention gefolgt werden, welche in der Mathematik und der Physik üblich ist. Ein Punkt P im Raum ist dann durch folgende drei Koordinaten gegeben:

  • den Abstand r des Punktes P vom gewählten Koordinatenursprung O. Dieser wird auch als Radius bezeichnet und definiert eine Kugeloberfläche, auf der sich der Punkt befindet. Er entspricht der Länge der Strecke OP.
  • den Winkel \theta zwischen der Strecke OP und der oberen Halbgerade der Polachse. Der Winkel wird nur von 0 bis \pi (0^{\circ} bis 180^{\circ}) gezählt und er legt eine Kreislinie auf der Kugeloberfläche fest, auf der sich der Punkt P befindet. Man nennt ihn Polarwinkel oder Poldistanzwinkel.
  • den Winkel \phi zwischen der Bezugsrichtung und der Projektion der Strecke OP auf die Äquatorebene. Man misst den Winkel gegen den Uhrzeigersinn zwischen 0 und 2\pi (0^{\circ} und 360^{\circ}) oder -\pi und \pi (-180^{\circ} und 180^{\circ}) und nennt ihn auch Azimutwinkel. Er definiert nun den Ort des Punktes P auf der Kreislinie.

Ein Punkt im Raum wird also durch die Angabe dieser drei Koordinaten (r,\theta,\phi) in Kugelkoordinaten beschrieben.

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Kugelkoordinatendarstellung

Kugelkoordinaten umrechnen

Zur Vereinfachung von Rechnungen sind häufig Umrechnungen zwischen dem kartesischen und dem Kugelkoordinatensystem erforderlich. Diese sollen im Folgenden in beide Richtungen aufgezeigt werden.

Kugelkoordinaten in kartesische Koordinaten umrechnen 

Will man die Kugelkoordinaten (r,\theta,\phi) in kartesische Koordinaten (x,y,z) umrechnen, so gelangt man durch geometrische Überlegungen zu folgenden Formeln:

x=r\cdot\sin{\theta}\cdot\cos{\phi}

y=r\cdot\sin{\theta}\cdot\sin{\phi}

z=r\cdot\cos{\theta}

Kartesische Koordinaten in Kugelkoordinaten umrechnen

Wird der Azimutwinkel \phi zwischen 0 und 2\pi (0^{\circ} und 360^{\circ}) angegeben, so können die Kugelkoordinaten wie folgt berechnet werden:

r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}

\theta=\arccos{\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}}=\arccos{\frac{z}{r}}

\phi=\begin{cases} \arctan{\frac{y}{x}}&\text{,wenn}\, x>0,y\geq 0,\\ \arctan{\frac{y}{x}}+2\pi&\text{,wenn}\, x>0,y<0,\\ \arctan{\frac{y}{x}}+\pi&\text{,wenn}\, x<0,\\ \end{cases}

Andere Konventionen

In der beschriebenen Konvention entspricht der Polarwinkel \theta nicht der geographischen Breite, welche nämlich den Winkel zwischen dem Ortsvektor und der Äquatorebene beschreibt. Sie nimmt also im Gegensatz zum Polarwinkel nach obiger Konvention Werte zwischen -\pi /2 und \pi /2 an. Man kann allerdings mit \Theta=\pi /2-\theta auch die folgende Darstellung der Kugelkoordinaten verwenden:

x=r\cdot\cos{\Theta}\cdot\cos{\phi}

y=r\cdot\cos{\Theta}\cdot\sin{\phi}

z=r\cdot\sin{\Theta}

Dann entspricht der Winkel \theta der geographischen Breite. In beiden Konventionen kann der Winkel \phi als geographische Länge identifiziert werden.

Transformation von Differentialen 

Im Folgenden sollen die wichtigsten Differentiale mithilfe der Jacobi-Matrix  und der Funktionaldeterminante transformiert werden.

Jacobi-Matrix und Funktionaldeterminante

Die Jacobi-Matrix der Transformation von Kugelkoordinaten in kartesische Koordinaten lautet folgendermaßen:

J=\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta, \phi)}=\left( \begin{array}{ccc} \sin{\theta}\cdot\cos{\phi}&r\cdot\cos{\theta}\cdot\cos{\phi}&-r\cdot\sin{\theta}\cdot\sin{\phi}\\ \sin{\theta}\cdot\sin{\phi}&r\cdot\cos{\theta}\cdot\sin{\phi}&r\cdot\sin{\theta}\cdot\cos{\phi}\\ \cos{\theta}&-r\cdot\sin{\theta}&0\\ \end{array} \right)

Dementsprechend lautet die Funktionaldeterminante folgendermaßen:

detJ=r^2\cdot \sin{\theta}

Differentiale (Volumenelement, Flächenelement, Linienelement)

Mithilfe der Jacobi-Matrix lassen sich die Differentiale durch folgende Lineare Abbildung bestimmten:

 \left( \begin{array}{ccc} \mathrm{d} x\\ \mathrm{d} y\\\mathrm{d} z\\ \end{array} \right)=J\cdot\left( \begin{array}{ccc} \mathrm{d} r\\\mathrm{d}\theta \\\mathrm{d}\phi \\ \end{array} \right)

So können nun auch das Volumen-, Flächen– und Linienelement bestimmt werden.

Diese lassen sich auch auf anderem Wege ermitteln. Das Volumenelement \mathrm{d}V kann nämlich ganz einfach mithilfe der Funktionaldeterminante bestimmt werden:

\mathrm{d}V=\mathrm{det}J\cdot\mathrm{d}\phi \mathrm{d}\theta \mathrm{d}r=r^2\cdot \sin{\theta}\cdot\mathrm{d}\phi \mathrm{d}\theta \mathrm{d}r

Das Flächenelement \mathrm{d}A ergibt sich dann durch Differentiation:

\mathrm{d}A=\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r}=r^2\cdot \sin{\theta}\cdot\mathrm{d}\phi \mathrm{d}\theta

Für das Linienelement \mathrm{d}s gilt:

\mathrm{d}s^2=\mathrm{d}x^2+\mathrm{d}y^2+\mathrm{d}z^2=\mathrm{d}r^2+r^2\mathrm{d}\theta^2+r^2\cdot\sin^2{\theta}\mathrm{d}\phi^2

Transformation von Basisvektoren und Vektoroperatoren

Neben den Einheitsvektoren sollen im Folgenden auch der Nabla– und der Laplaceoperator in Kugelkoordinaten bestimmt werden.

Einheitsbasisvektoren

Mit dem Richtungsvektor

\vec{r}=\left( \begin{array}{ccc} r\cdot\sin{\theta}\cdot\cos{\phi}\\r\cdot\sin{\theta}\cdot\sin{\phi} \\r\cdot\cos{\theta} \\ \end{array} \right)

gilt für die Einheitsvektoren:

\vec{e_r}=\frac{\frac{\partial\vec{r}}{r}}{\left\vert\frac{\partial\vec{r}}{r}}\right\vert}=\left( \begin{array}{ccc} \sin{\theta}\cdot\cos{\phi}\\\sin{\theta}\cdot\sin{\phi} \\\cos{\theta} \\ \end{array} \right)

\vec{e_{\theta}}=\frac{\frac{\partial\vec{r}}{\theta}}{\left\vert\frac{\partial\vec{r}}{\theta}}\right\vert}=\left( \begin{array}{ccc} \cos{\theta}\cdot\cos{\phi}\\\cos{\theta}\cdot\sin{\phi} \\-\sin{\theta} \\ \end{array} \right)

\vec{e_{\phi}}=\frac{\frac{\partial\vec{r}}{\phi}}{\left\vert\frac{\partial\vec{r}}{\phi}}\right\vert}=\left( \begin{array}{ccc} -\sin{\phi}\\\cos{\phi} \\0\\ \end{array} \right)

Partielle Ableitungen (Nabla- und Laplaceoperator)

Die partiellen Ableitungen  können mithilfe der Jacobi-Matrix der Transformation und ihrer Inversen auf folgende Art berechnet werden:

\left(\frac{\partial}{\partial r}, \frac{\partial}{\partial \theta},\frac{\partial}{\partial \phi} \right)=\left(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z} \right)\cdot J

\left(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z} \right)=\left(\frac{\partial}{\partial r}, \frac{\partial}{\partial \theta},\frac{\partial}{\partial \phi} \right)\cdot J^{-1}

Durch entsprechende Transformation der partiellen Ableitungen und der Einheitsvektoren ergibt sich der Nablaoperator in Kugelkoordinaten:

\nabla=\vec{e_r}\frac{\partial}{\partial r}+\vec{e_{\theta}}\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}+\vec{e_{\phi}}\frac{1}{r\cdot\sin{\theta}}\frac{\partial}{\partial \phi}

Mithilfe dieses Nablaoperators kann dann für ein Skalarfeld der Gradient in Kugelkoordinaten bestimmt werden. Ist ein Vektorfeld \vec{A}=A_r\cdot \vec{e_r}+A_{\theta}\cdot\vec{e_{\theta}}+A_{\phi}\cdot\vec{e_{\phi}} gegeben, so lautet die Divergenz in Kugelkoordinaten für dieses Feld folgendermaßen:

\nabla \cdot\vec{A}=\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}(r^2\, A_r)+\frac{1}{r\, \sin{\theta}}\frac{\partial}{\partial \theta}(\sin{\theta}\, A_{\theta})+\frac{1}{r\,\sin{\theta}}\frac{\partial}{\partial \phi}\,A_{\phi}

Für die Rotation in Kugelkoordinaten gilt:

\nabla \times\vec{A}=\frac{1}{r\, \sin{\theta}}\left(\frac{\partial}{\partial\theta}(A_{\phi}\sin{\theta})-\frac{\partial A_{\theta}}{\partial\phi}\right)\vec{e_r}+\frac{1}{r}\left(\frac{1}{\sin{\theta}}\frac{\partial A_r}{\partial \phi}-\frac{\partial}{\partial r}(r\, A_{\phi})\right)\vec{e_{\theta}}+\frac{1}{r}\left(\frac{\partial}{\partial r}(r\, A_{\theta})-\frac{\partial A_r}{\partial \theta}\right)\vec{e_{\phi}}

Der Laplaceoperator lässt sich nun ganz einfach bestimmen, indem man in der Formel für die Divergenz als Vektorfeld den Nablaoperator einsetzt:

\triangle=\nabla ^2=\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}(r^2\, \frac{\partial}{\partial r})+\frac{1}{r^2\, \sin{\theta}}\frac{\partial}{\partial \theta}(\sin{\theta}\frac{\partial}{\partial\theta})+\frac{1}{r^2\,\sin^2{\theta}}\frac{\partial ^2}{\partial \phi ^2}

Sphärische Koordinaten

Hält man in Kugelkoordinaten den Radius r konstant und lässt nur für die beiden Winkel \theta und \phi verschiedene Werte zu, so befinden sich alle möglichen Punkte auf der Oberfläche einer Kugel mit dem Radius r und dem Mittelpunkt im Koordinatenursprung. Man spricht dann von sphärischen Koordinaten.


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