Analysis
Kurvendiskussion Einzelschritte
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Monotonieverhalten einfach erklärt

Mit dem Monotonieverhalten bestimmst du die Bereiche, in denen der Graph einer Funktion steigt oder fällt. Du kannst die Monotonie berechnen, indem du dir die 1. Ableitung anschaust:

  • Die Funktion f ist streng monoton steigend, wenn f'(x) > 0.
  • Die Funktion f ist streng monoton fallend, wenn f'(x) < 0.
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Monotonieverhalten einer Funktion

Für den Fall, dass eine Funktion steigt/fällt, zwischendrin aber kurz zum Stillstand kommt, kannst du das Monotonieverhalten einer Funktion f auch noch genauer definieren:

Merke
  • f ist monoton steigend, wenn gilt: f'(x) ≥ 0
  • f ist monoton fallend, wenn gilt: f'(x) ≤ 0

Aber wie kannst du die Monotonie berechnen?

Monotonieverhalten bestimmen: mit 2. Ableitung

Eine Möglichkeit, das Monotonieverhalten einer Funktion zu berechnen, sieht so aus:

Monotonieverhalten mit 2. Ableitung bestimmen
  1. Berechne f'(x)
  2. Bestimme die Nullstellen von f'(x)
  3. Berechne f“(x)
  4. Setze die Nullstellen von f'(x) in f“(x) ein. Handelt es sich um Hoch-bzw. Tiefpunkte ?
  5. Interpretiere das Ergebnis

Schau dir das gleich mal an einem Beispiel an. Du sollst das Monotonieverhalten folgender Funktion bestimmen:

f(x) = 2x3-3x2

Dazu gehst du wie beschrieben vor:

  1. Berechne f'(x). Dafür brauchst du die Potenz-und Faktorregel.

    f(x) = 2x3-3x2                 →                f'(x) = 6x2-6x

  2. Bestimme die Nullstellen von f'(x), indem du f'(x) = 0 setzt und nach x auflöst. So erhältst du die Extremstellen der Funktion f.

                                                                        0 = 6x2-6x      | x ausklammern 
                                                                        0 = x⋅(6x-6)     | Satz vom Nullprodukt
                                                            →      x1 = 0 ,   x2 = 1
    Alternativ kannst du die Gleichung auch mit der Mitternachtsformel lösen.

  3. Berechne f“(x).

    f'(x) = 6x2-6x               →                f“(x) = 12x-6

  4. Setze die Nullstellen von f'(x) in f“(x) ein. Hier hast du die Nullstellen  x1 = 0 ,  x2 = 1. Es gilt also:
    f“(0) = 12⋅0-6 = 6                        f“(1) = 12⋅1-6 = 6           
    Damit kannst du jetzt die Art der Extremstellen bestimmen:
    — Da f“(0) negativ ist (-6), hast du bei x = 0 einen Hochpunkt.
    — Da f“(1) positiv (6) ist, hast du bei x = 1 einen Tiefpunkt.
         
  5. Interpretiere das Ergebnis.
    Du weißt, dass deine Funktion bei x = 0 einen Hochpunkt hat. Das bedeutet, sie muss bis x = 0 streng monoton steigen und fällt danach wieder ab. Sie fällt bis x = 1, denn dort hat sie einen Tiefpunkt. Nach dem Tiefpunkt bei x = 1 steigt sie wieder.    

Dein Ergebnis kannst du überprüfen, indem du den Graphen aufzeichnest:

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Monotonieverhalten einer Funktion

Wichtig: Du musst immer darauf achten, dass es sich bei den Nullstellen von f'(x) auch wirklich um Extremstellen handelt. Handelt es sich nämlich nur um einen Sattelpunkt — also wenn f“(x) an dieser Stelle auch gleich 0 ist –, ändert sich das Monotonieverhalten nicht!

Monotonieverhalten bestimmen: Monotonietabelle

Du findest das Berechnen der Ableitungen lästig? Dann ist die Monotonie Tabelle die passendere Methode für dich, die Monotonie zu berechnen! Denn hier benötigst du nur die 1. Ableitung.

Dafür gehst du wie folgt vor:

Monotonietabelle: Schritt für Schritt
  1. Berechne die f'(x).
  2. Bestimme die Nullstellen von f'(x).
  3. Bestimme die Intervalle zwischen den Nullstellen und erstelle die Monotonietabelle.
  4. Fülle die Tabelle aus, indem du einen Wert aus jedem Intervall in f'(x) einsetzt und das Vorzeichen des Ergebnisses notierst.
  5. Interpretiere die Vorzeichentabelle.

Schau dir das wieder direkt an einem Beispiel an. Du sollst das Monotonieverhalten folgender Funktion bestimmen:

f(x) = 2x3-6x

Dazu gehst du am besten wie in der Schritt-für-Schritt Anleitung beschrieben vor.

  1. Berechne die 1. Ableitung f'(x):

                                            f(x) = 2x3-6x           →          f'(x) = 6x2 – 6

  2. Bestimme die Nullstellen von f'(x). Hier kannst du das ganz einfach durch Umformungen lösen.
                                              0 = 6x2 -6              →           x1 = -1,    x2 = 1

  3. Erstelle jetzt die Monotonietabelle mit den Intervallen (Abschnitten) zwischen und außerhalb der Nullstellen. Bei den Nullstellen x1 = -1 und x2 = 1 der 1. Ableitung trägst du als erstes natürlich 0 ein.
    Intervall ]-∞, -1[ -1  ]-1, 1[ 1 ]1, ∞[
    f'(x) ? 0 ? 0 ?
  4. Fülle die Vorzeichentabelle jetzt komplett aus. Dazu suchst du dir immer einen Wert aus jedem Intervall aus und setzt ihn in f'(x) ein.

    Ein Wert aus ]-∞, -1[ ist -2. Du erhältst f'(-2) = 6 ⋅ (-2)2– 6 = +18
    Ein Wert aus ]-1,1[ ist 0. Du erhältst f'(0) = 6 ⋅ (0)2– 6 =6
    Ein Wert aus ]1, ∞[ ist 2. Du erhältst f'(2) = 6 ⋅ (2)2– 6 = +18

    Für deine Tabelle notierst du die jeweiligen Vorzeichen. Also:
    Intervall ]-\infty, -1[ -1  ]-1, 1[ 1 ]1, \infty[
    f'(x) + 0 0 +
  5. Interpretiere die Monotonietabelle: 
    Der Graph steigt streng monoton bis zu Stelle x = -1 (wegen dem + bei ]-\infty, -1[) . Zwischen den Stellen x = -1 und x = 1 fällt er streng monoton wieder (wegen dem bei  ]-1, 1[ ). Ab der Stelle 1 steigt der Graph wieder ins Unendliche (wegen dem + bei ]1, \infty[).

Super, jetzt hast du das Monotonieverhalten der Funktion berechnet! Am Graphen kannst du deine Ergebnisse überprüfen:

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Monotonieverhalten einer Funktion

Diese Methode zum Monotonie Berechnen ist besonders dann nützlich, wenn es sehr zeitintensiv wäre, die 2. Ableitung zu bestimmen. Das ist häufig bei gebrochen rationalen Funktionen der Fall.

Monotonieverhalten: gebrochen rationale Funktionen 

Gebrochen rationale Funktionen sind Brüche, bei denen im Zähler (oben) und im Nenner (unten) ein x vorkommt. Ein Beispiel dafür ist

    \[ \frac{x+1}{2x^2} \]

Hier bietet es sich an, die Monotonietabelle zu benutzen, um die Monotonie zu berechnen, denn die 2. Ableitung von Brüchen zu bestimmen ist ziemlich aufwändig.

Prinzipiell kannst du beim Monotonie berechnen vorgehen wie immer. Aber Achtung: Du musst auch die Polstellen in die Vorzeichentabelle mit einbeziehen, denn auch dort kann sich das Vorzeichen ändern!

  1. Berechne die 1.Ableitung f'(x). Das kannst du hier mithilfe der Quotientenregel .

        \[f(x) = \frac{x+1}{2x^2} \qquad \rightarrow \qquad f'(x) = -\frac{x+2}{2x^3}\]

  2. Bestimme die Nullstellen und Polstellen von f'(x).
    Hier hast du eine Nullstelle bei x = -2 (da hier der Zähler x+2 = 0) und eine Polstelle bei x= 0 (da hier der Nenner 2x3 = 0 wird).

  3. Erstelle jetzt die Monotonietabelle mit den verschiedenen Intervallen. Beziehe dabei auch die Polstellen mit ein. Bei den Polstellen ist f'(x) immer undefiniert.
    Intervall ]-\infty, -2[ -2  ]-2, 0[ 0 ]0, \infty[
    f'(x)   0   undefiniert  
  4. Setze einen Wert aus jedem Intervall in f'(x) ein und notiere das Vorzeichen. Du erhältst zum Beispiel:

        \begin{align*}f'(-3) &= -\frac{-3+2}{2 \cdot (-3)^3} = \textcolor{red}{-}\frac{1}{54} \\f'(-1) &= -\frac{-1+2}{2 \cdot (-1)^3} = \textcolor{olive}{+} \frac{1}{2} \\                     f'(1) &= -\frac{1+2}{2 \cdot (1)^3} = \textcolor{red}{-} \frac{3}{2} \end{align*}

    Deine Tabelle sieht jetzt so aus:
    Intervall ]-\infty, -2[ -2  ]-2, 0[ 0 ]0, \infty[
    f'(x) 0 + 0
  5. Interpretiere die Tabelle:
    Der Graph fällt im Intervall ]-\textcolor{red}{\infty}, -2[. Dann steigt er wieder bis zu seiner Polstelle bei x = 0. Nach x = 0 fällt der Graph wieder.

Genau dieses Monotonieverhalten kannst du auch sehen, wenn du den Graphen aufzeichnest:

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Monotonieverhalten einer gebrochen rationalen Funktion

Monotonieverhalten: alternative Definition

Das Monotonieverhalten kannst du alternativ auch so definieren:

  • Wenn x1 < x2 und f(x1) ≤ f(x2), ist die Funktion monoton steigend.
  • Wenn x1 < x2 und f(x1) < f(x2), ist die Funktion streng monoton steigend.
  • Wenn x1 < x2 und f(x1) ≥ f(x2), ist die Funktion monoton fallend.
  • Wenn x1 < x2 und f(x1) > f(x2), ist die Funktion streng monoton fallend.

Beispiel: f(x) = 2x+3

Hier kannst du z. B. x1 = 2 und x2 = 3 wählen, da 2 < 3. Setzt du sie in f(x) ein, erhältst du f(2) = 2⋅2+3 = 7 und f(3) = 2⋅3 +3 = 9. Es gilt f(2) < f(3). Da das für alle Werte der Fall ist, bei denen x1 < x2 gilt, ist die Funktion streng monoton steigend.

Kurvendiskussion

Super, jetzt weißt du, wie du das Monotonieverhalten einer Funktion bestimmen und ihre Monotonie berechnen kannst! Das Monotonieverhalten ist ein Teil der Kurvendiskussion, bei der du das Aussehen eines Graphen untersuchst. Weitere wichtige Begriffe der Kurvendiskussion sind:

Du möchtest alles wichtige zur Kurvendiskussion auf einen Blick sehen? Dann schau dir einfach unser Video dazu an!

Zum Video: Kurvendiskussion
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