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y Achsenabschnitt berechnen

Wichtige Inhalte in diesem Video

y Achsenabschnitt einfach erklärt

y Achsenabschnitt berechnen: Lineare Funktionen

y Achsenabschnitt berechnen: Ganzrationale Funktionen

y Achsenabschnitt berechnen: Gebrochenrationale Funktionen

y Achsenabschnitt berechnen: Exponentialfunktionen

y Achsenabschnitt berechnen: ln-Funktionen

In diesem Artikel erklären wir dir, was der y Achsenabschnitt ist und wie du ihn für verschiedene Arten von Funktionen berechnest. Möchtest du das Thema in kurzer Zeit erklärt bekommen? Dann schau dir unser Video dazu an!

Inhaltsübersicht

y Achsenabschnitt einfach erklärt

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Manchmal wird nach dem Schnittpunkt des Funktionsgraphen mit den Achsen gefragt. Dabei wird der Schnittpunkt mit der y Achse als y Achsenabschnitt oder Ordinatenabschnitt bezeichnet.

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Das Besondere am y-Achsenabschnitt ist, dass die x-Koordinate immer 0 ist!

y Achsenabschnitt berechnen

Für eine beliebige Funktion f(x) entspricht der y Achsenabschnitt

y_0 = f(0).

Um den y Achsenabschnitt einer Funktion f zu berechnen, setzt du also einfach 0 in die Funktion f ein.

Beispiel: Die Funktion f(x)=2x+1 hat den y Achsenabschnitt bei $f(0)=2 \cdot 0 +1 = 1 \quad \rightarrow y_0=1$ .

y Achsenabschnitt berechnen: Lineare Funktionen

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Bei linearen Funktionen f(x)=mx+b liegt der y Achsenabschnitt immer bei

$f(0)=m \cdot 0 +b = b.$

Aber was machst du, wenn du den y Achsenabschnitt einer Geraden berechnen sollst, wenn du nur zwei Punkte gegeben hast, die auf der Geraden liegen?

Sind $(x_1 \vert y_1)$ und $(x_2 \vert y_2)$ zwei Punkte der linearen Funktion f(x) = mx + y_0 , so kannst du die x-Werte beider Punkte in die Funktion einsetzen. Du erhältst dann

$y_1 = m \cdot x_1 + y_0$

$y_2 = m \cdot x_2 + y_0.$

Stellst du nun beide Gleichungen nach m um, bekommst du

$\frac{y_1 -y_0}{x_1} = m = \frac{y_2 - y_0}{x_2}.$

Nun kannst du die Gleichung nach y_0 umstellen und erhältst somit den y Achsenabschnitt

$y_0= \frac{x_2 y_1 - x_1 y_2}{x_2 - x_1}.$

Beispiel 1

Nehmen wir an, du hast die Punkte $A(1 \vert 3,5)$ und $B(3 \vert 4,5)$ einer linearen Funktion f(x) gegeben. Setzt du die x-Werte der Punkte in die Funktion ein, erhältst du

$3,5 = m \cdot 1 + y_0$

$4,5 = m \cdot 3 + y_0.$

Nun stellst du beide Gleichungen nach m um. Dabei bekommst du

$\frac{3,5 - y_0}{1} = m = \frac{4,5 - y_0}{3}.$

Jetzt kannst du die Gleichung nach y_0 umstellen und du erhältst mit

$y_0 = \frac{3 \cdot 3,5 - 1 \cdot 4,5}{3-1}= 3$

den Schnittpunkt der Funktion mit der y Achse .

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Beispiel 2

Hast du nun die lineare Funktion $f(x) = -\frac{1}{3}x+1$ gegeben, so lässt sich der Ordinatenabschnitt berechnen, indem du x=0 einsetzt

$y_0 = f(0) = -\frac{1}{3} \cdot 0 + 1 = 1.$

y Achsenabschnitt berechnen: Ganzrationale Funktionen

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Ganzrationale Funktionen sind Funktionen der Form

$f(x) = a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_2x^2 + a_1x + a_0.$

Willst du von Polynomfunktionen den Ordinatenabschnitt berechnen, so musst du x=0 in die Funktion einsetzen

$f(0) = a_{n} \cdot 0^{n} + a_{n-1} \cdot 0^{n-1} + ... + a_2 \cdot 0^2 + a_1 \cdot 0 + a_0 = a_0.$

Das heißt, der Ordinatenabschnitt einer Polynomfunktion ist das konstante Glied a_0 den du direkt aus der Funktionsgleichung ablesen kannst.

Hinweis: Das gilt natürlich auch für quadratische Funktionen , denn quadratische Funktionen sind Polynomfunktionen vom Grad 2.

Beispiel

Hast du zum Beispiel die Funktion $f(x) = -3x^2 +\frac{3}{2}x+\frac{5}{2}$ gegeben, so setzt du x=0 ein und erhältst mit

$y_0 = f(0) = -3 \cdot 0^2 +\frac{3}{2} \cdot 0 + \frac{5}{2} = \frac{5}{2}$

den y Achsenabschnitt der quadratischen Funktion.

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y Achsenabschnitt berechnen: Gebrochenrationale Funktionen

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Bei einer gebrochenrationalen Funktion musst du nichts Besonderes beachten. In dem Fall musst du einfach x=0 in die Funktion einsetzen.

Beispiel

Betrachte die Funktion

$f(x) = \frac{3x-5}{x^2+\frac{1}{2}x -10}$

Setzt du x= 0 in die Funktion ein, so erhältst du als y Achsenabschnitt

$y_0 = f(0) = \frac{3 \cdot 0 -5}{0^2+\frac{1}{2} \cdot 0 -10} = \frac{1}{2}.$

Achtung: Eine gebrochenrationale Funktion $f(x) = \frac{p(x)}{q(x)}$ muss nicht unbedingt einen Schnittpunkt mit der y Achse haben. Ist der Nenner q(x) = 0 für x=0 , dann ist die Funktion für x=0 nicht definiert und hat somit keinen y-Achsenabschnitt.

y Achsenabschnitt berechnen: Exponentialfunktionen

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Exponentialfunktionen sind Abbildungen der Form

$f(x) = a \cdot b^x.$

Setzt du x = 0 in f ein, so erhältst du

$f(0) = a \cdot b^0$

$f(0) = a \cdot 1 = a.$

Der Ordinatenabschnitt einer Exponentialfunktion ist somit der Parameter a, den du auch direkt aus der Funktionsgleichung ablesen kannst.

Hinweis: Wenn du b=e setzt, dann hast du eine e Funktion . Hier gilt das Gleiche.

Beispiel

Wenn du die Funktion $f(x) = -\frac{1}{6} \cdot 4^x$ betrachtest, dann siehst du, dass

$y_0 = f(0) = -\frac{1}{6} \cdot 4^0 = -\frac{1}{6} \cdot 1 = -\frac{1}{6}$

der Schnittpunkt mit der y Achse ist.

y Achsenabschnitt berechnen: ln-Funktionen

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Bei der ln Funktion musst du ein bisschen aufpassen. Denn die Definitionsmenge des natürlichen Logarithmus ist $D = ]0; \infty [$ und somit ist $\ln(x)$ für x=0 nicht definiert und hat deshalb auch keinen y-Achsenabschnitt.

Ist aber die ln Funktion mit einer anderen Funktion verschachtelt, so ist es möglich, dass die Funktion einen Schnittpunkt mit der y Achse hat.

Beispiel

Du hast folgende Funktion gegeben

$f(x) = \ln(3x^2+10).$

Setzt du x=0 ein, erhältst du

$f(0) = \ln(3 \cdot 0^2 +10) = \ln(10) = 2,3$

und somit den y-Achsenabschnitt der Funktion.

Wichtige Begriffe der Kurvendiskussion

Bevor wir uns den Aufgaben widmen, geben wir dir an dieser Stelle eine kleine Übersicht wichtiger Begriffe, die du im Zusammenhang mit der Kurvendiskussion beherrschen solltest:

Kurvendiskussion
Kurvendiskussion Aufgaben
Ableitung
Ableitungsregeln
Extrempunkte berechnen
Hoch- und Tiefpunkte
Sattelpunkt berechnen
Monotonie
Wendepunkt berechnen
Wendetangente
Symmetrie
Punktsymmetrie
Achsensymmetrie

y Achsenabschnitt berechnen: Aufgaben

Widmen wir uns nun ein paar Aufgaben, um das Thema besser zu verstehen.

Aufgabe 1: Ablesen des y Achsenabschnitts

Gib den y Achsenabschnitt der folgenden Funktionen an, ohne x=0 einzusetzen.

a) f(x) = -5x + 3

b) f(x) = 3x (x - 4)

c) $f(x) = 4x^4 +\frac{2}{5}x^3-3x^2+\frac{1}{4}$

d) $f(x) = (3-\frac{1}{2}x)^3$

e) $f(x) = -\frac{1}{6} \cdot 5^x$

f) f(x) = (3-x)+x(x^2+3)^2

Lösung: Aufgabe 1

a) Hier handelt es sich bei einer linearen Funktion, bei der du den y-Achsenabschnitt direkt ablesen kannst. Du schaust dir dabei an, welcher der Summanden konstant ist.

In dem Fall ist es y_0 = 3.

b) In dem Fall kannst du den Ordinatenabschnitt nicht direkt ablesen. Dafür musst du den Term erst umschreiben

3x(x-4) = 3x^2-12x

Nun hast du eine quadratische Funktion gegeben bei der du den Schnittpunkt mit der y Achse y_0 = 0 direkt ablesen kannst.

c) Die Funktion ist eine ganzrationale Funktion, das heißt du kannst den y Achsenabschnitt $y_0 = \frac{1}{4}$ einfach ablesen.

d) Diesmal kannst du den Ordinatenabschnitt nicht direkt sehen, denn dafür musst du den Term erstmal ausmultiplizieren. Damit ergibt sich

$f(x) = -\frac{1}{8}x^3+\frac{9}{4}x^2-13,5x+27.$

Nun kannst du den y Achsenabschnitt y_0 = 27 direkt ablesen.

e) Hier hast du eine Exponentialfunktion gegeben bei der du den y Achsenabschnitt $y_0 = -\frac{1}{6}$ schnell ablesen kannst.

f) Nachdem du die Funktion in die ganzrationale Funktion

f(x) = x^5+6x^3+8x+3

umgeformt hast, siehst du sofort den Ordinatenabschnitt y_0 = 3 .

Aufgabe 2: y-Achsenabschnitt berechnen

Berechne den y Achsenabschnitt der folgenden Funktionen.

a) $f(x) = \frac{4x^2+3x}{3x^3-4x^2+3}$

b) $f(x) = \ln(5 - 3x^3)$

Lösung Aufgabe 2

a) Setze den Wert x=0 in die Funktion f ein und erhalte

$f(0) = \frac{4 \cdot 0^2 +3 \cdot 0}{3 \cdot 0^3 -4 \cdot 0^2 +3} = 0$

als Schnittpunkt der Funktion mit der y Achse.

b) Wenn du x=0 in die Funktion einsetzt, erhältst du

$f(0) = \ln(5-3 \cdot 0^3)= \ln(5) = 1,61$

und somit den Ordinatenabschnitt der Funktion.

Schnittpunkt mit der y-Achse – kurz & knapp

Merk dir: An den Punkten, an denen deine Funktion f(x) die y-Achse schneidet, ist x = 0.

Deswegen gehst du in zwei Schritten vor, wenn du den Schnittpunkt mit der y-Achse berechnen möchtest:

Berechne y = f(0).
Gib die Koordinaten des Schnittpunkts an: S(0 | y).

x Achsenabschnitt

Im Gegensatz zum y Achsenabschnitt, können bestimmte Funktionen auch einen oder mehrere Schnittpunkte mit der x Achse haben. Du berechnest den x Achsenabschnitt, indem du die Funktion f(x) = 0 setzt und die Nullstellen berechnest. Damit du die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen problemlos bestimmen kannst, schau dir jetzt unbedingt unser Video zur Nullstellenberechnung an. Los gehts!

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