Summenregel und Differenzregel
In diesem Artikel erklären wir dir, wie du mit der Summenregel und der Differenzregel Ableitungen bilden kannst. Dabei rechnen wir viele Beispiele.
Du würdest gerne mehr über die Summenregel und Differenzregel lernen? Dann sieh dir unbedingt unser Video dazu an.
Inhaltsübersicht
Beispiel 1
Wir wollen die Summe
ableiten.
Wie du siehst werden hier zwei Funktionen addiert (+). Das bedeutet wir brauchen die Summenregel. Die Funktion links vom Pluszeichen sei , die rechts davon :
Nun musst du die Ableitungen und berechnen. Dafür benötigst du die Potenz- und die Faktorregel . Sie liefern dir:
Als nächstes addierst du deine Ergebnisse und erhältst damit die Ableitung
Schauen wir uns noch ein weiteres Beispiel an.
Beispiel 2
Gegeben sei die Funktion
und du sollst ihre Ableitung berechnen. Da eine Summe ist, wirst du sie erneut mit der Summenregel ableiten. Hierfür sei und . Du berechnest also zunächst wieder die Ableitungen der einzelnen Funktionen. In diesem Fall erhältst du
Anschließend addierst du wieder die Ergebnisse
Es folgt nun noch ein letztes Beispiel zur Summenregel.
Beispiel 3
Du hast nun die Funktion
Für ihre Ableitung verwendest du erneut die Summenregel und bekommst so als Ergebnis:
Nun weißt du, wie du jede Summe ableiten kannst. Aber wie steht es mit Differenzen?
Differenzregel einfach erklärt
Die Differenzregel sagt dir, wie du Differenzen ableiten kannst.
Das heißt, wie bei der Summenregel berechnest du als erstes einzeln die Ableitung der Funktion links und die Ableitung der Funktion rechts vom Minuszeichen. Danach ziehst du sie voneinander ab.
Beispiel 1
Nun hast du eine Differenz
gegeben. Um die Ableitung zu bestimmen, gehst du genauso vor, wie bei der Summenregel. Das heißt du identifizierst wieder die Funktionen und :
und berechnest ihre Ableitungen:
Der Unterschied ist nun, dass du deine Ergebnisse subtrahierst anstatt addierst. Damit erhältst du auch schon die Ableitung
Beispiel 2
Sieh dir eine weitere Funktion an, nämlich
Da sie eine Differenz ist, berechnest du ihre Ableitung mit der Differenzregel. Das heißt, du bestimmst wieder die Ableitung der Funktion links (), und der Funktion rechts () vom Minuszeichen. Die Ergebnisse subtrahierst du und erhältst so
Vermutlich dürfte dir jetzt das Vorgehen klar sein, aber schauen wir uns noch ein letztes Beispiel zur Differenzregel an.
Beispiel 3
Gegeben ist die Differenz
Die Differenzregel liefert dir ihre Ableitung
Weitere Ableitungsregeln
Neben der Summenregel und der Differenzregel gibt es noch weitere wichtige Ableitungsregeln, die du kennen solltest. Wir haben dir alle in folgender Tabelle zusammengefasst.
Ableitungsregel | Funktion | Ableitung |
Produktregel | ||
Quotientenregel | ||
Kettenregel | ||
Faktorregel | ||
Potenzregel | ||
Summenregel | ||
Differenzregel |
Herleitung Summenregel
Im Folgenden wollen wir die Summenregel einmal herleiten. Dafür stellst du die Ableitung der Funktion
als Differentialquotient mit der h-Methode dar:
Im nächsten Schritt löst du die Klammer im Zähler auf. Dabei ändern sich die Vorzeichen der Funktionen und :
Ist das getan, kannst du das Kommutativgesetz anwenden und die Funktionen und samt Vorzeichen vertauschen:
Danach spaltest du den Bruch in zwei Brüche auf:
und betrachtest nun zwei separate Grenzwerte:
Siehst du dir jetzt nochmal die Formel für den Differentialquotient an, erkennst du, dass die zwei Grenzwerte den Ableitungen und entsprechen:
Schließlich ist damit die Summenregel bewiesen.
Summenregel und Differenzregel — häufigste Fragen
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Was besagt die Summenregel?
Die Summenregel besagt, dass die Ableitung einer Summe von Funktionen gleich der Summe der einzelnen Ableitungen ist. Hast du also eine Funktion f(x) = g(x) + h(x), die aus mehreren Summanden besteht, kannst du die Ableitung f'(x) finden, indem du die Ableitungen der einzelnen Summanden g'(x) und h'(x) addierst.
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Was besagt die Differenzregel?
Die Differenzregel besagt, dass die Ableitung einer Differenz zweier Funktionen gleich der Differenz der Ableitungen der einzelnen Funktionen ist. Hast du eine Funktion f(x) = g(x) – h(x), dann kannst du die Ableitung f'(x) bestimmen, indem du die einzelnen Ableitungen der Funktionen g'(x) und h'(x) subtrahierst.