Ableitungen Übungen
Du wiederholst gerade das Thema Ableitung und suchst noch nach ein paar Ableitungsübungen mit Lösungen? Dann bist du hier und im Video genau richtig. Wir zeigen dir verschiedene Aufgaben und wie du sie löst.
Inhaltsübersicht
Ableitung Übungen mit Prozentregel
Bilde die Ableitung folgender Funktionen. Beachte dabei die Potenzregel :
- f(x) = 5x + 2
- f(x) = 3x2
- f(x) = 5x3 + 2x
- f(x) =
- f(x) = 3x4 – 2x3 + 8x2 – 6x + 4
Lösungen
Die Potenzregel beschreibt, wie du einen Term mit der Form xn ableitest. Du multiplizierst das x mit der Hochzahl und rechnest die Hochzahl – 1.
xn ⇒ n • xn-1
- f(x) = 5x + 2
f'(x) = 5 • 1 • x1-0 = 5 • x0 = 5
- f(x) = 3x2
f'(x) = 2 • 3x2-1 = 6x
- f(x) = 5x3 + 2x
f'(x) = 3 • 5x2 + 2
- f(x) =
Um die Ableitung von bilden zu können, forme die Wurzel in eine Potenz um. Dann kannst du die Potenzregel anwenden, um die Ableitung zu bilden.
f'(x) =
-
f(x) = 3x4 – 2x3 + 8x2 – 6x + 4
Da die einzelnen x-Terme mit einem Plus oder Minus verbunden sind, kannst du jede Ableitung einzeln bilden und wieder mit einem Rechenzeichen aneinanderfügen.
f'(x) = 4 • 3x4-1 – 3 • 2x3-1 + 2 • 8 • x2-1 – 6 • x1-1
f'(x) = 4 • 3x3 – 3 • 2x2 + 2 • 8 • x1 – 6 • x0
f'(x) = 12x3 – 6x2 + 16x – 6
Lösungen
Wandle bei Aufgaben mit Brüchen den Bruch zuerst in eine Potenz um:
- f(x) = = x-1
Nachdem du den Bruch in eine Potenz umgewandelt hast, kannst du wieder die Potenzregel anwenden. Du multiplizierst das x mit der Hochzahl und rechnest die Hochzahl – 1.
f'(x) = -1 • x-2 =
- f(x) = = 2 • x-2
f'(x) = -2 • 2 • x-3 = -4 • x-3 =
- f(x) = = x-2 + 3x-1
f'(x) = -2 • x-2-1 + (-1) • 3 • x-1-1
f'(x) = -2 • x-3 + (-1) • 3 • x-2
f'(x) = -2x-3 – 3x-2
Übungsaufgaben Ableiten einer e-Funktion
Leite die folgenden e-Funktionen ab. Achte dabei auf die Ableitungsregeln und die Produktregel :
- f(x) = ex
- f(x) = e-x
- f(x) = e4x
- f(x) =
- f(x) =
- f(x) = x2 •
Lösungen
- f(x) = ex
Die Funktion ex bleibt bei der Ableitung unverändert.
f'(x) = ex
- f(x) = e-x
f'(x) = -1 • e-x
- f(x) = e4x
f'(x) = 4 • e4x
- f(x) =
f'(x) = 2x •
- f(x) = =
f'(x) =
f'(x) =
- f(x) = x2 •
Um diese Aufgabe zu lösen, brauchst du die Produktregel. Bestimme also zuerst u(x) und v(x) und deren Ableitungen:
u(x) = x2 ⇒ u'(x) = 2x
v(x) = ⇒ v'(x) =
f'(x) = u'(x) • v(x) + u(x) • v'(x) → Produktregel
f'(x) =
f'(x) =
f'(x) =
Lösungen
Wende wenn nötig die Kettenregel an:
- f(x) = ln(x)
f'(x) =
- f(x) = x • ln(x)
u(x) = x ⇒ u'(x) = 1
v(x) = ln(x) ⇒ v'(x) =
f'(x) = u'(x) • v(x) + u(x) • v'(x)
f'(x) = 1 • ln(x) + x •
f'(x) = ln(x) + 1
- f(x) = ln(-x)
f'(x) = (-1) •
- f(x) = ln(x2)
Durch das x2 in der Klammer des Logarithmus brauchst du für die Ableitung die Kettenregel.
u(x) = ln(x) ⇒ u'(x) =
v(x) = x2 ⇒ v'(x) = 2x
f'(x) = u'(v(x)) • v'(x) = u'(x2) • v'(x)
f'(x) =
- f(x) = ln
Um die Ableitung dieser Funktion bilden zu können, musst du die Kettenregel anwenden. Bilde dafür die Ableitungen u(x) und v(x):
u(x) = ln(x) ⇒ u'(x) =
v(x) = ⇒ v'(x) =
Für die Ableitung von v(x) musst du die Quotientenregel anwenden:
v'(x) =
v'(x) =
g(x) = 1 + ex ⇒ g'(x) = ex
h(x) = 1 – ex ⇒ h'(x) = -ex
Hast du die Ableitung v'(x) gebildet, kannst du weiter die Ableitung f'(x) berechnen:
f(x) = u(v(x)) → Kettenregel
f'(x) = (u(v(x)))‘ = u'(v(x)) • v'(x)
f'(x) = u‘
f'(x) = → binomische Formel im Nenner
f'(x) =
Lösungen
Die Ableitungen von Sinus und Cosinus lassen sich als Kreis darstellen. Dieser Kreis dient dir als Eselsbrücke:
- f(x) = sin(x)
Um die Ableitung des Sinus mithilfe der Kreis Darstellung bilden zu können, gehst du vom sin(x) einen Schritt in Pfeilrichtung weiter. So gelangst du zur 1. Ableitung cos(x).
f'(x) = cos(x)
- f(x) = 2 • cos(x)
f'(x) = 2 • (– sin(x)) = -2 • sin(x)
- f(x) = – sin(x)
f'(x) = – cos(x)
- f(x) = sin(3x) → Kettenregel
Die Ableitung des Terms in der Klammer ist 3. Dieses Teilergebnis multiplizierst du mit der Ableitung des Sinus.
f'(x) = 3 • cos(3x)
- f(x) = x • cos(2x – 1) → Produktregel
u(x) = x ⇒ u'(x) = 1
v(x) = cos(2x – 1) ⇒ v'(x) = 2 • (– sin(2x – 1)) = -2 • sin(2x – 1) → Kettenregel
Nachdem du u(x) und v(x) bestimmt hast, kannst du die Ergebnisse und ihre Ableitungen in die Formel für die Produktregel einsetzen:
f'(x) = u'(x) • v(x) + u(x) • v'(x)
f'(x) = 1 • cos(2x – 1) + x • (-2 • sin(2x – 1))
f'(x) = cos(2x – 1) – 2x • sin(2x – 1)
Aufgabe mit Ableitung
Berechne den Punkt auf der Funktion, an dessen Stelle die Steigung = 0 ist.
f(x) = 3x2 + 2x – 4
Lösung:
Die Steigung an einer bestimmten Stelle der Parabel findest du mithilfe der 1. Ableitung heraus:
f'(x) = 6x + 2
Um den Punkt zu bestimmen, an dem die Steigung = 0 ist, setzt du die 1. Ableitung gleich 0:
Die Funktion f(x) hat an der Stelle x = die Steigung 0. Graphisch kannst du das ermitteln, indem du den Tiefpunkt der Funktion bestimmst und einzeichnest.
Waagerechte Tangenten
Bestimme alle Punkte, an denen die Funktion f(x) = 1/3x3 + 4x2 + 3x + 8 eine waagerechte Tangente besitzt:
Lösung:
Dazu bestimmst du zuerst die 1. Ableitung der Funktion f(x):
f'(x) = x2 + 8x + 3
Da die 1. Ableitung die Steigung der Funktion f(x) an einer bestimmten Stelle beschreibt, setzt du f'(x) = 0:
f'(x) = 0
x2 + 8x + 3 = 0
1x2 + 8x + 3 = 0
Weil es sich um eine quadratische Gleichung handelt, brauchst du die Mitternachtsformel , um die beiden Lösungen zu berechnen. Bestimme dafür a, b und c, die du dann in die Formel einsetzt:
a = 1 und b = 8 und c = 3
x1,2 =
x1 = -0,4 und x2 = -7,6
Die Funktion f(x) hat an der Stelle x1 = -0,4 und x2 = -7,6 einen Tiefpunkt bzw. Hochpunkt, und somit eine waagerechte Tangente.
Textaufgabe mit Ableitung
Die Funktion f(x) = -0,02x3 – 0,09x2 + 1,35x + 7,5 beschreibt im Intervall [-10; 6] eine Achterbahnfahrt. Berechne die beiden Stellen, an denen der Achterbahnwagon waagerecht steht.
Lösung:
Ein waagerechter Achterbahnwagon befindet sich an einer Stelle der Achterbahn, an der die Steigung gleich 0 ist. Um diese Stelle herauszufinden, musst du die 1. Ableitung der Funktion gleich 0 setzen.
f'(x) = -0,02 • 3 • x2 – 0,09 • 2 • x + 1,35
f'(x) = 0
-0,02 • 3 • x2 – 0,09 • 2 • x + 1,35 = 0
-0,06x2 – 0,18x – 1,35 = 0
Nun brauchst du die Mitternachtsformel:
a = -0,06 und b = -0,18 und c = 1,35
x1,2 =
x1 = -6,47 und x2 = 3,47
Der Achterbahnwagon befindet sich an den Stellen x1 = -6,47 und x2 = 3,47 in waagerechter Position. Aus dem Graph der Funktion kannst du erschließen, dass es sich bei x1 um einen Tiefpunkt und bei x2 um einen Hochpunkt der Funktion f(x) handelt.
Tangente an einer bestimmten Stelle berechnen
Bestimme die Tangente g(x) an der Stelle x = 2 der Funktion f(x) = -x2 + x + 10.
Lösung:
Um die Steigung einer Funktion berechnen zu können, brauchst du die 1. Ableitung dieser Funktion.
f'(x) = -2 • x + 1
Die Steigung der Tangente g(x) an einer Stelle x hat die selbe Steigung wie die Funktion f(x) an dieser Stelle. Setze deshalb x = 2 in die 1. Ableitung ein, um die Steigung zu bestimmen.
f'(2) = -2 • 2 + 1 = -4 +1 = -3
Die Steigung m = -3 setzt du dann in die Geradengleichung y = mx + b ein.
g(x): y = -3 • x + b
Um die Funktion der Tangente fertig bestimmen zu können, setzt du einen Punkt für x und y ein, der sowohl auf der Funktion f(x) als auch auf der Tangente g(x) liegt. Damit du diesen Punkt berechnen kannst, setzt du x = 2 in die Funktionsgleichung f(x) ein:
f(2) = -22 + 2 + 10 = -4 + 2 + 10 = 8
P(2 | 8)
Diesen Punkt setzt du dann in die Tangente g(x) ein, um den y-Achsenabschnitt b berechnen zu können:
8 = -3 • 2 + b
8 = -6 + b
b = 14
Die Gleichung g(x) der Tangente sieht also so aus: y = -3 • x + 14
Ableitung Sinus
Prima! Du hast einige Beispiele zum Thema Ableitung gerechnet. Willst du die Theorie zu den Ableitungsregeln noch einmal wiederholen? Dann schau direkt in unserem Video dazu vorbei!