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Du suchst nach einer Anleitung zur Berechnung der Fläche zwischen zwei Graphen? Hier und im Video erklären wir dir Schritt für Schritt, wie das funktioniert.

Quiz zum Thema Fläche zwischen zwei Graphen
Inhaltsübersicht

Fläche zwischen Graphen berechnen

Die Fläche zwischen zwei Graphen ergibt sich, wenn du von der Fläche zwischen dem ersten Graphen und der x-Achse die Fläche zwischen dem zweiten Graphen und der x-Achse abziehst.

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Fläche zwischen zwei Graphen berechnen

Mit folgenden 3 Schritten kannst du die gesuchte Fläche berechnen:

  1. Bestimme die Schnittpunkte x1 und x2 der beiden Funktionen f(x) und g(x).

  2. Berechne die Differenz f(x)g(x).

  3. Berechne das Integral der Differenz mit den beiden Schnittpunkten als Integralgrenzen: 

A =  \left| \int_{\textcolor{olive}{x_1}}^{\textcolor{olive}{x_2}} \textcolor{blue}{f(x)} - \textcolor{red}{g(x)} \: dx \right|

Wichtig: Damit du bei der Differenz nicht auf die Reihenfolge der Funktionen achten musst, berechnest du den Betrag des Integrals. So wird dein Ergebnis immer positiv.

Fläche zwischen Graphen — Beispiel

Probiere die Schritt-für-Schritt-Anleitung gleich an einem Beispiel aus: Berechne die Fläche zwischen den Funktionen f(x) = 0,5x + 2 und g(x) = -x2 + x + 5.

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Fläche zwischen zwei Graphen berechnen
  1. Berechne die Schnittpunkte von f(x) und g(x)

    Dafür setzt du als Erstes die beiden Funktionen gleich. Dann stellst du die Gleichung so um, dass auf einer Seite eine Null steht: 

        \begin{align*} \textcolor{red}{f(x)} &= \textcolor{blue}{g(x)} \\ 0,5x + 2 &= -x^2 + x + 5 \\ x^2 -0,5x -3 &= 0 \end{align*}

    Als nächstes benutzt du die Mitternachtsformel . Dafür bestimmst du a, b und c und setzte sie ein: a = 1, b = -0,5, c = -3

        \[x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{-(-0,5)\pm\sqrt{(-0,5)^2-4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{0,5\pm\sqrt{0,25+12}}{2} = \frac{0,5\pm\sqrt{12,25}}{2}\]

    x1 = -1,5 und x2 = 2

  2. Bilde die Differenzfunktion von f(x) und g(x):

    f(x) g(x) = 0,5x + 2 – [-x2 + x + 5] = 0,5x + 2 + x2 – x – 5 = x2 – 0,5x – 3

  3. Setze x1 und x2 und die Differenz f(x) – g(x) in folgende Formel ein und integriere sie:

        \[A = \left| \int_{\textcolor{olive}{x_1}}^{\textcolor{olive}{x_2}} \textcolor{orange}{f(x) - g(x)} \: dx \right| \]


        \[A = \left| \int_{\textcolor{olive}{-1,5}}^{\textcolor{olive}{2}} \textcolor{orange}{x^2 - 0,5x - 3} \: dx \right| \]


        \[A = \left| \left[ \frac{1}{3} \cdot x^3 - \frac{1}{4} \cdot x^2 - 3x \right]_{\textcolor{olive}{-1,5}}^{\textcolor{olive}{2}} \right| \]


        \[A = \left| \left[ \frac{1}{3} \cdot \textcolor{olive}{2}^3 - \frac{1}{4} \cdot \textcolor{olive}{2}^2 - 3 \cdot \textcolor{olive}{2} \right] - \left[\frac{1}{3} \cdot (\textcolor{olive}{-1,5})^3 - \frac{1}{4} \cdot (\textcolor{olive}{-1,5})^2 - 3 \cdot (\textcolor{olive}{-1,5}) \right] \right| \]


        \[A = \left| - \frac{13}{3} - 2,8125 \right| = \left| -7,14333 ... \right | \approx 7,14 FE \]

Die Fläche zwischen den beiden Funktionsgraphen f(x) und g(x) ist gerundet A = 7,14 FE.

Fläche zwischen zwei Graphen — häufigste Fragen

  • Wie berechne ich die Fläche zwischen zwei Graphen?
    Die Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen berechnest du, indem du die Differenzfunktion f(x) – g(x) im Intervall der Schnittpunkte der beiden Funktionen integrierst.

  • Welche Fläche berechnet ein Integral?
    Mit einem Integral berechnest du die Fläche zwischen einem Funktionsgraph und der x-Achse. Die Integrationsgrenzen sind dabei die Werte auf der x-Achse, die die Fläche begrenzen.

  • Wie bildet man eine Differenzfunktion?
    Eine Differenzfunktion f(x) – g(x) bildest du, indem du beide Funktionsterme voneinander abziehst. Die Differenzfunktion brauchst du zum Beispiel, um die Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen zu berechnen. 
Quiz zum Thema Fläche zwischen zwei Graphen

Bestimmtes und unbestimmtes Integral

Prima! Du hast die Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen berechnet. Willst du das Thema bestimmtes und unbestimmtes Integral noch einmal wiederholen? Dann schau direkt im Video dazu vorbei!

Zum Video: Bestimmtes und unbestimmtes Integral
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