Im Folgenden sollen die Zusammenhänge zwischen Differentialquotient und Differenzenquotient dargelegt und darüber hinaus auch der Begriff der Differenzierbarkeit eingeführt werden. Des Weiteren werden die Ableitungen wichtiger Funktionen bestimmt und die wichtigsten Ableitungsregeln mithilfe des Differentialquotienten hergeleitet.
In unserem Video haben wir für dich das Wichtigste rund um das Thema Differentialquotient in weniger als 5 Minuten zusammengefasst.
Der Differentialquotient (auch Differenzialquotient) gibt die lokale Änderungsrate einer Funktion an einer betrachteten Stelle an. Der Differenzenquotient hingegen gibt die mittlere Änderungsrate der Funktion über ein betrachtetes Intervall an.
Für viele Anwendungen innerhalb der Mathematik und in der Praxis ist es wichtig, das Änderungsverhalten einer Funktion zu beschreiben. Im Folgenden soll dabei immer von einer reellwertigen Funktion einer Variablen die Rede sein.
Um das Änderungsverhalten der Funktion um eine betrachtete Stelle zu beschreiben, wird die Differenz des Funktionswertes an dieser Stelle und des Werts an einer variablen Stelle untersucht:
Diese Differenz wird allerdings erst dann wirklich aussagekräftig, wenn in Betracht gezogen wird, wie groß der Abstand zwischen den beiden betrachteten Stellen ist. Dadurch ergibt sich der Differenzenquotient im Intervall :
Differenzenquotient
Der Differenzenquotient lässt sich als mittlere Änderungsrate der Funktion auf dem Intervall
interpretieren. Beschreibt die Funktion beispielsweise eine zurückgelegte Wegstrecke
in Abhängigkeit der Zeit
, so stellt der Differenzenquotient die Durchschnittsgeschwindigkeit zwischen den Zeitpunkten
und
dar.
Der Differenzenquotient kann allerdings auch geometrisch interpretiert werden. Wird durch die beiden Punkte und
auf dem Graphen von
eine Gerade gelegt, so entspricht der Differenzenquotient der Steigung dieser Geraden. Da die Gerade eine Sekante durch den Funktionsgraphen darstellt, kann der Differenzenquotient also auch als Sekantensteigung interpretiert werden.
In den meisten Fällen ist allerdings nicht das Änderungsverhalten der Funktion auf einem Intervall von Interesse, sondern vielmehr das lokale Änderungsverhalten an der Stelle . Aus dem Differenzenquotienten ergibt sich dies durch Annäherung der Stelle
an die Stelle
und der damit verbundenen Verkleinerung des betrachteten Intervalls.
Der Differentialquotient an der Stelle
ist der Grenzwert des Differenzenquotienten für
:
Differentialquotient
Er wird auch als Ableitung bezeichnet und beschreibt also die lokale Änderungsrate (bzw. momentane Änderungsrate) der Funktion an der Stelle . Für eine Funktion, die eine zurückgelegte Wegstrecke
in Abhängigkeit der Zeit
beschreibt, gibt der Differentialquotient die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt
an. Dies geht einher mit der Vorstellung des Grenzübergangs des Differenzenquotienten. Der Differenzenquotient gibt nämlich die Durchschnittsgeschwindigkeit auf dem betrachteten Intervall an und der Grenzübergang bedeutet nichts anderes als dass dieses Intervall immer weiter verkleinert wird.
Ebenso lässt sich der Grenzübergang grafisch veranschaulichen. Dabei wandert der Punkt auf dem Funktionsgraphen immer weiter in Richtung des Punktes
und schließlich gleicht die Sekante durch diese beiden Punkte immer mehr der Tangente am Punkt
.
Der Differentialquotient an der Stelle
gibt die Tangentensteigung an dieser Stelle an.
Bezeichnung | Formel | Bedeutung | Geometrische Bedeutung |
Differenzenquotient | ![]() |
mittlere
Änderungsrate |
Sekantensteigung |
Differentialquotient | ![]() |
lokale bzw. momentane
Änderungsrate |
Tangentensteigung |
Eng in Verbindung mit dem Differentialquotienten steht der Begriff der Differenzierbarkeit.
Sei ein offenes Intervall und
eine Funktion. Diese Funktion
heißt an der Stelle
differenzierbar, falls der Grenzwert
existiert. Dieser Grenzwert entspricht ja gerade dem Differentialquotienten von an der Stelle
und wird wie bereits erwähnt auch als Ableitung von
an der Stelle
bezeichnet. Sei
auf der Menge
differenzierbar, so heißt die Funktion
Ableitungsfunktion von .
Für diese Funktion lässt sich nun wieder der Differentialquotient bestimmen. Diesen nennt man dann die zweite Ableitung von
und sie wird häufig mit
abgekürzt.
Für die explizite Berechnung der Ableitung ist die eben eingeführte Formulierung des Differentialquotienten meistens unvorteilhaft.
Wird allerdings in der Formulierung des Differentialquotienten
durch
ersetzt, so wird der Grenzübergang
zu
und es ergibt sich folgende Formulierung des Differentialquotienten:
Auf diese Weise ist die explizite Berechnung meistens deutlich einfacher als mit der ursprünglichen Formulierung. Man spricht dabei von der h-Methode.
Im Folgenden soll, anhand einiger Beispielaufgaben zum Differentialquotienten, die explizite Berechnung des Differentialquotienten mit der h-Methode demonstriert werden.
Zunächst soll die quadratische Funktion betrachtet werden, für welche der Differentialquotient noch recht einfach zu berechnen ist.
Zunächst wird die Funktion in die Definition des Differentialquotienten eingesetzt:
Dieser Ausdruck lässt sich durch elementare Umformungen vereinfachen:
Dieser Grenzwert ist leicht zu bestimmen und es ergibt sich für den Differentialquotienten der quadratischen Funktion der folgende Ausdruck:
Nun soll der Differentialquotient einer allgemeinen Potenzfunktion
berechnet werden. Hierbei soll eine beliebige natürliche Zahl sein. Es gilt:
Mithilfe des binomischen Lehrsatzes lässt sich dieser Ausdruck vereinfachen:
Auch dieser Grenzwert lässt sich leicht bestimmen und für die Ableitung der Funktion an der Stelle
gilt:
Hier soll die Ableitung der Wurzel-Funktion
bestimmt werden. Einsetzen in die Definition ergibt:
Der Bruch wird nun geschickt erweitert:
Anschließend wird der Ausdruck vereinfacht:
Letztlich lässt sich der Grenzwert wieder recht einfach bestimmen und es gilt für die Ableitung der Wurzelfunktion an der Stelle
:
Letztendlich soll noch die Ableitung der Funktion
mittels der h-Methode bestimmt werden. Es gilt:
Zunächst werden die beiden Brüche im Zähler auf einen gemeinsamen Nenner gebracht:
Dann wird der Ausdruck vereinfacht:
Letztendlich kann der Grenzwert bestimmt werden und die Ableitung der Funktion an der Stelle
lautet demnach:
Mithilfe der h-Methode lassen sich Regeln finden, wie verschiedene Verknüpfungen zweier Funktionen allgemein abgeleitet werden können. Mit Hilfe dieser Regeln kann dann die Ableitung einer Funktion auf bereits bekannte Fälle zurückgeführt werden und es muss nicht jedes Mal mühsam der Differentialquotient berechnet werden.
Im Folgenden sollen Funktionen , die in
differenzierbar sind, betrachtet werden.
Für ist auch die Funktion
in
differenzierbar und es gilt:
Beweis:
Die Funktion ist in
differenzierbar und es gilt:
Beweis:
Auch die Funktion ist in
differenzierbar und es gilt:
Beweis:
Ist für alle
, dann ist auch die Funktion
in
differenzierbar und es gilt:
Beweis:
Zunächst soll der Spezialfall betrachtet werden. Der allgemeine Fall folgt dann aus der Produktregel.
Mit der Produktregel gilt nun:
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