Video
Quiz

Teste dein Wissen zum Thema Integralfunktion!

Hier geht's zum Video „Integrieren
Hier geht's zum Video „Integrationsregeln

Wenn du wissen willst, was eine Integralfunktion ist und wie du sie berechnest, dann bist du hier und in unserem Video an der richtigen Stelle!

Quiz zum Thema Integralfunktion
Inhaltsübersicht

Integralfunktion — einfach erklärt

Mit der Integralfunktion kannst du wie bei einem normalen Integral den Flächeninhalt zwischen der x-Achse und einer Funktion f bestimmen.

    \[I_{\textcolor{olive}a}(\textcolor{red}x) = \int_{\textcolor{olive}a}^{\textcolor{red}x} \textcolor{blue}{f(t)}\,dt \]

Wichtig bei der Funktion Ia(x) ist aber, dass dabei nur die untere Grenze a eine fest gewählte Zahl ist. Die obere Grenze x ist dagegen variabel.

Merke: Die Integralfunktion ist also kein fester Zahlenwert, sondern eine Funktion. 

Integralfunktion, Integralfunktion berechnen, Integral Funktion, Integralfunktion bestimmen
direkt ins Video springen
Integralfunktion
Wozu brauchst du eine Integralfunktion?

Stell dir einen Stausee vor. Aus diesem fließt über Zeit Wasser heraus. Die Flussrate ist dabei als Funktion f(t) angegeben. Wenn du wissen willst, wie viel Wasser insgesamt zwischen einem festen Zeitpunkt a und einem beliebigen Zeitpunkt x herausgeflossen ist, brauchst du nur die verscheiden x-Werte in die Integralfunktion einsetzen.

Integralfunktion berechnen

Du kannst eine Integralfunktion so berechnen, dass du am Ende eine ganz normale Funktion herausbekommst. Diese Funktion ist dann nur von x abhängig. Sieh dir dazu dieses Beispiel an:

    \[I_{\textcolor{olive}0}(\textcolor{red}x) = \int_{\textcolor{olive}0}^{\textcolor{red}x} \textcolor{blue}{3t^2-8t}\,dt \]

Schritt 1: Stammfunktion bestimmen
Zuerst bestimmst du eine Stammfunktion der inneren Funktion f(t) = 3t2-8t. Dafür musst du sie integrieren:

F(t) = t3-4t2 

Schritt 2: Grenzen einsetzen
Jetzt musst du jeweils die untere Grenze des Integrals 0 und die obere Grenze x in die Stammfunktion einsetzen. Dann ziehst du die untere Grenze von der oberen ab:

    \[\begin{split}I_{\textcolor{olive}0}(x) & = \left[ t^3-4t^2\right]^{\textcolor{red}x}_{\textcolor{olive}0} \\&=  \textcolor{red}x^3-4\textcolor{red}x^2-(\textcolor{olive}0^3-2(\textcolor{olive}0)^2) \\ & = x^3-4x^2\end{split}\]

Damit hast du nun eine normale Funktion berechnet. Mit dieser Darstellung kannst du jetzt etwas einfacher die Funktionswerte ausrechnen. Denn so musst du nicht für jeden x-Wert ein Integral berechnen.

Eigenschaften von Integralfunktionen

Die Integralfunktion I_\textcolor{olive}{a}(\textcolor{red}x) = \int_{\textcolor{olive}a}^{\textcolor{red}x} \textcolor{blue}{f(t)}\,dt hat ein paar besondere Eigenschaften:

  1.  Die Ableitung von Ia ist immer die innere Funktion in dem Integral. Es ist also I‘a(x) = f(x). Hier musst du nur das t durch ein x ersetzen.
      
  2. Damit ist Ia(x) immer eine Stammfunktion der Funktion f(x).
     
  3. Für eine Stammfunktion F von f gilt Ia(x) = F(x) – F(a).
     
  4. Die untere Grenze des Integrals a ist immer eine Nullstelle von Ia. Hier ist also Ia(a) = 0.
     
Expertenwissen: Stammfunktion 

Jede Integralfunktion einer Funktionist eine Stammfunktion von f. Das sagt dir der sogenannte Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung (HDI).

Aber nicht jede Stammfunktion von f ist auch eine Integralfunktion.

Integralfunktion — häufigste Fragen

  • Was ist eine Integralfunktion?
    Eine Integralfunktion gibt den orientierten Flächeninhalt zwischen einer Funktion f und der x-Achse von einer fest gewählten Zahl a bis zu einer Variable x an. Integralfunktionen sind beispielsweise nützlich, wenn du den Bestand bei einer gegebenen Änderungsrate berechnen möchtest.
     
  • Wie berechnet man eine Integralfunktion?
    Du berechnest eine Integralfunktion, indem du zuerst die Stammfunktion bildest. Dann setzt du die beiden Grenzen darin ein und rechnest die obere minus die untere Grenze.
     
  • Ist eine Integralfunktion eine Stammfunktion?
    Nach dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung ist jede Integralfunktion einer Funktion f auch eine Stammfunktion von f. Umgekehrt gilt das nicht, da nicht jede Stammfunktion von f eine Nullstelle haben muss.
Quiz zum Thema Integralfunktion

Integrationsregeln

Wenn du die Stammfunktion einer Integralfunktion berechnen möchtest, musst du die Integrationsregeln beachten. Welche das sind, erfährst du hier .

zum Video: Integrationsregeln
zum Video: Integrationsregeln

Hallo, leider nutzt du einen AdBlocker.

Auf Studyflix bieten wir dir kostenlos hochwertige Bildung an. Dies können wir nur durch die Unterstützung unserer Werbepartner tun.

Schalte bitte deinen Adblocker für Studyflix aus oder füge uns zu deinen Ausnahmen hinzu. Das tut dir nicht weh und hilft uns weiter.

Danke!
Dein Studyflix-Team

Wenn du nicht weißt, wie du deinen Adblocker deaktivierst oder Studyflix zu den Ausnahmen hinzufügst, findest du hier eine kurze Anleitung. Bitte .