Median
In diesem Artikel erklären wir dir, was der Median ist und wie du ihn berechnen kannst. Noch schneller verstehst du das Thema mit unserem Video , schau doch mal rein!
Inhaltsübersicht
Median einfach erklärt
Stell dir eine Datenreihe vor, die ihrer Größe nach sortiert ist. Der Wert, der genau in der Mitte der Datenreihe liegt, ist der Median. Wegen seiner zentralen Lage wird er auch Zentralwert genannt.
- Datenreihe Alter: 5, 7, 10, 12, 13, 20, 37
- Median: 12
Der Median teilt die Datenreihe also in zwei gleich große Hälften. Eine Hälfte der Daten liegt unterhalb und die andere Hälfte oberhalb des Medians.
Beachte: Wenn du den Median bestimmst, muss deine Datenreihe immer der Größe nach sortiert sein!
In der Statistik unterscheidest du die Lageparameter Modus, Median und Mittelwert. Hier siehst du ihre Unterschiede auf einen Blick:
-
Modus
: Der Wert einer Datenreihe, der am häufigsten vorkommt.
Beispiel: 1, 4, 5, 6, 8, 8, 15 → Modus: 8 -
Median: Der Wert in der Mitte einer nach der Größe geordneten Datenreihe.
Beispiel: 1, 4, 5, 6, 8, 8, 15 → Median: 6 -
Mittelwert
: Der Wert, den du bekommst, wenn du die Werte der Datenreihe addierst und sie dann durch die Anzahl der gesamten Beobachtungswerte teilst.
Beispiel: 1, 4, 5, 6, 8, 8, 15 → Mittelwert: (1+4+5+6+8+8+17) ÷ 7 = 7
Median Formel
Je nachdem, ob deine Datenreihe eine gerade oder eine ungerade Anzahl an Werten hat, kannst du den Median auf verschiedene Weisen berechnen.
Ungerade Anzahl
Bei einer ungeraden Anzahl an Werten kannst du einfach die mittlere Zahl ablesen.
Beispiel: 1 – 3 – 3 – 5 – 7 – 8 – 10
Gerade Anzahl
Bei einer geraden Anzahl an Werten gibt es keine Zahl, die eindeutig in der Mitte steht. Deshalb nimmst du die beiden in der Mitte liegenden Werte und bildest daraus den Durchschnitt. Das ist dann der Medianwert.
Beispiel: 1 – 3 – 3 – 5 – 7 – 8 – 10 – 13
Der Median ist 
= 6
Hier siehst du die Formeln zur Berechnung des Medians in mathematischer Schreibweise. Sie geben dir an, an welcher Stelle der Datenreihe sich der Median befindet.
![\[\tilde{x} = x_{\frac {n+1}{2}}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d4167a24b993bae047568f3d4efdea46_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\tilde{x} = \frac{1}{2} (x_{\frac {n}{2}} + x_{\frac{n}{2}+1} )\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-733ed03c19eacd7f468f32605a1785a5_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Dabei sind jeweils: 
– Der zu berechnende Median 
– Die Anzahl der einzelnen Messwerte 
– Der jeweilige Messwert der Messwertreihe
Median berechnen: Ungerade Anzahl an Messwerten
Schau dir die beiden Formeln zur Berechnung des Medians am besten direkt an einem Beispiel an.
Angenommen du hast folgende Messwertreihe und möchtest den Median mithilfe einer Formel berechnen:
4 – 9 – 8 – 7 – 12 – 4 – 16 – 1 – 2
Dafür gehst du am besten so vor:
- Zuerst ordnest du die Messwerte nach ihrer Größe:
![\[ 1 - 2 - 4 - 4 - 7 - 8 - 9 - 12 - 16\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f27c7a2880aa867dd775c7a83a7998ca_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
- Jetzt wählst du die richtige Formel. Dazu fragst du dich, ob du eine gerade oder ungerade Anzahl an Messwerten hast. Hier hast du 9 Messwerte, also eine ungerade Anzahl. Du kannst also diese Formel nutzen:
- Setze jetzt einfach die Anzahl der Messwerte ein und rechne den Term aus. Das Ergebnis sagt dir, der wievielte Messwert deiner Reihe der Median ist.
![\[\tilde{x} = x_{\frac {9+1}{2}} = x_{\frac {10}{2}} = x_5\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5210f7ac16deefb5193cbd878a63abaa_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Der Median ist also der 5. Messwert deiner Liste. Durch Abzählen kannst du ihn jetzt ermitteln.
1 – 2 – 4 – 4 – 7 – 8 – 9 – 12 – 16
Hier ist der Median 7.
Median berechnen: Gerade Anzahl an Messwerten
Schau dir jetzt gleich noch ein Beispiel für die Berechnung des Medians bei einer geraden Anzahl an Messwerten an.
Du hast diese Zahlenreihe gegeben und sollst den Median mithilfe einer Formel berechnen:
5 – 12 – 29 – 17 – 12 – 8 – 10 – 8
Dafür gehst du wie bisher vor:
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Ordne die Messwerte ihrer Größe nach:
![\[5 - 8 - 8 - 10 - 12 - 12 - 17 - 29\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c45dd684985354ace22c8fcfa8ffe143_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
-
Bestimme jetzt die richtige Formel. Da du dieses Mal acht Messwerte hast, benötigst du die Formel für eine gerade Anzahl an Messwerten.
- Dann setzt du die Anzahl der Messwerte in die Formel ein und vereinfachst sie.
Um das Ergebnis zu erhalten, musst du also den vierten und den fünften Messwert in die Rechnung einsetzen.![\[\tilde{x} = \frac{1}{2} (x_{\frac {8}{2}} + x_{\frac{8}{2}+1} ) = \frac{1}{2} (x_4 + x_{4+1}) = \frac {1}{2} (x_4 + x_5)\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-aece4a0acdf27ea81a0dc64c0d26e4b2_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
5 – 8 – 8 – 10 – 12 – 12 – 17 – 29
Du setzt also 10 für x4 und 12 für x5 ein. Jetzt rechnest du das ganze nur noch aus:
Der Median lautet also 11.
Eigenschaften des Medians
Der Median wird verwendet, um die zentrale Tendenz einer Messwertreihe zu beschreiben. Da er deine Messwerte in zwei Hälften teilt, vermittelt er einen guten Eindruck darüber, wie hoch oder niedrig Messwerte sind, die genau in der Mitte liegen.
Der Median gehört zur Gruppe der Lagemaße, die besonders auffällige Werte einer Messwertgruppe abbilden. Weitere Lagemaße sind zum Beispiel der Modus oder der Mittelwert .
Ein Vorteil des Medians ist, dass er robust gegenüber Ausreißern ist. Das bedeutet, er wird nicht dadurch beeinflusst, wenn ein paar wenige, sehr extreme Messwerte in deiner Stichprobe enthalten sind.
Stell dir etwa vor, du hast folgende Messwerte:
4 – 9 – 13 – 14 – 16 – 17 – 19 – 21 – 1490
Du siehst, dass der letzte Messwert der Reihe sehr viel höher ist als der Rest und eigentlich nicht so recht in die Reihe passt. Würdest du nun den Median ermitteln, bliebe dieser jedoch von dem extremen Wert unberührt. Das liegt daran, dass der Median nur die Werte in der Mitte der Messwertreihe betrachtet. Folglich kann er nicht von extremen Randwerten so verzerrt werden, dass er die zentrale Tendenz deiner Messwerte nicht mehr gut abbildet.
Anders wäre das zum Beispiel beim Mittelwert. In die Bestimmung des Mittelwerts gehen die Zahlenwerte aller Messwerte mit ein. Dadurch kann der Mittelwert durch einzelne sehr extreme Messwerte stark verzerrt werden.
Weitere Vorteile des Medians
Ein weiterer Vorteil des Medians ist, dass er bereits ab Ordinalskalenniveau verwendet werden darf. Das bedeutet, zwischen den Ausprägungen deiner betrachteten Variable müssen keine gleichen Abstände vorliegen. Es ist lediglich notwendig, dass du die Messwerte in eine logisch aufsteigende Rangreihe bringen kannst.
Beim Mittelwert benötigst du hingegen mindestens Intervallskalenniveau . Der Mittelwert hat also im Vergleich strengere Voraussetzungen, wann er verwendet werden darf.
Modus, Median, Mittelwert
Die drei Lageparameter Median, Mittelwert und Modus unterscheiden sich in einigen Eigenschaften. Damit du sie gut verstehst, haben wir hier nochmal Beispiele für dich vorbereitet.
Modus
Der Modus wird immer dann verwendet, wenn du wissen willst, was der häufigste Wert einer Datenreihe ist. Stell dir zum Beispiel den Verkauf von T-Shirts in verschiedenen Farben vor. Wenn du wissen willst, welche am häufigsten verkauft wurden, schaust du einfach in einem Diagramm nach.
Hier ist der Modus die Farbe blau. Den Median und den Mittelwert kannst du in diesem Beispiel nicht bestimmen, da sich die Farben nicht der Größe nach sortieren lassen.
Median & Mittelwert
Den Median und Mittelwert kannst du rechnerisch bestimmen, wenn du die Werte einer Datenreihe nach ihrer Größe ordnen kannst. Schau dir den Unterschied an einem Beispiel an:
Diese Tabelle zeigt dir, wie viele Stunden die Schüler einer Klasse für die Mathe-Schulaufgabe gelernt haben.
Lena hat 6 Stunden gelernt und möchte wissen, ob sie eher zu den Schülern gehört, die viel gelernt haben oder die wenig gelernt haben. Dazu berechnet sie erstmal den Median.
Sie sortiert die Werte also der Größe nach und bestimmt den Wert in der Mitte:
3, 4, 5, 5, 6, 8, 15 → Der Median ist 5. Da Lena 6 Stunden gelernt hat, gehört sie zu den Schülern, die eher viel gelernt haben.
Wenn du dir jetzt den Mittelwert der Datenreihe anschaust, siehst du, dass der Durchschnitt bei (3+4+5+5+6+8+15) ÷ 7 = 6,6 Stunden liegt. Obwohl Lena also zu denen gehört, die viel gelernt haben, liegt sie mit ihrer Lernzeit immer noch unter dem Durchschnitt.
Das liegt daran, dass Simon mit seinen 15 Stunden Lernzeit einen Ausreißer darstellt. Da bei der Berechnung des Mittelwerts alle Werte betrachtet werden, beeinflusst dieser eine große Wert den gesamten Durchschnitt. Ohne Simons Lernzeit läge der Durchschnitt bei (3+4+5+5+6+8) ÷ 6 = 5,1 Stunden und Lena hätte überdurchschnittlich viel gelernt.
Median — häufigste Fragen
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Was ist der Median?
Der Median ist der Wert, der genau in der Mitte einer Datenreihe liegt. Die Datenreihe muss dabei nach Größe sortiert sein! Wegen seiner zentralen Lage wird der Median auch Zentralwert genannt. Der Median halbiert die Datenreihe: Eine Hälfte der Daten liegt also unterhalb des Medians, die andere oberhalb des Medians.
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Was sagt der Median aus?
Der Median liegt in der Mitte des Datensatzes und heißt deshalb auch Zentralwert. Bei einer geraden Anzahl an Datenwerten berechnest du ihn aus dem Durchschnitt der beiden mittleren Werte. Mithilfe des Medians kannst du einzelne Werte einer Datenreihe qualitativ zuordnen.
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Was ist der Unterschied zwischen Median und Mittelwert?
Der Mittelwert ist das arithmetische Mittel (der Durchschnitt) eines Zahlensatzes. Der Median ist ein numerischer Wert, der den Datensatz in eine obere und eine untere Hälfte teilt.
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Wann ist der Median besser als der Mittelwert?
Grundsätzlich ist der Median unpräziser als der Mittelwert. Der Median hat jedoch den Vorteil, dass er weniger empfindlich gegenüber Ausreißern ist. Er wird deshalb oft verwendet, wenn die Datenreihe durch Ausreißer verunreinigt ist. Die Präzision des Medians nennst du in statistischer Fachterminologie auch „Effizienz“.
Arithmetisches Mittel
Mit der Berechnung des Medians kennst du dich nun bestens aus! Wie du den Mittelwert bzw. das Arithmetische Mittel berechnest, zeigen wir dir mit vielen Beispielen in unserem Video dazu!
