Deskriptive Statistik

Arithmetisches Mittel

In diesem Beitrag geht es um das arithmetische Mittel. Anhand mehrerer Beispiele werden wir den Mittelwert berechnen. Außerdem zeigen wir die wie man das gewichtete arithmetische Mittel bestimmen kann.

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Inhaltsübersicht

Arithmetische Mittel einfach erklärt

Das arithmetische Mittel (auch „Mittelwert“) ist eine Kennzahl, die dir angibt, wie hoch oder niedrig deine Messwerte im Durchschnitt sind. Für die Berechnung des arithmetischen Mittels musst du einfach alle Messwerte aufaddieren und das Ergebnis durch die Anzahl der Messwerte teilen.
Die Formel zur Berechnung des arithmetischen Mittels sieht so aus:

\bar{x}=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}\ x_i = \frac{x_1 + x_2 + x_3 +...x_n}{n}

Wenn zum Beispiel Peter, Max und Sophia 80 kg, 75 kg und 55 kg wiegen, dann beträgt das arithmetische Mittel der Gruppe 70 kg. Du hast es erhalten, indem du die Körpergewichte der drei Personen zusammengezählt und das Ergebnis durch die Anzahl der Personen, also durch 3, geteilt hast.

Da das arithmetische Mittel gehört neben dem Modus und dem Median zu den Lagemaßen. Diese drei Kennzahlen geben dir Auskunft darüber, welche Messwerte besonders herausstechen und sie besonders gut beschreiben.

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Arithmetisches Mittel Formel

Arithmetisches Mittel berechnen

Sehen wir uns nun die Berechnung des arithmetischen Mittels direkt an einem anschaulichen Beispiel an.

Fünf befreundete Studierende erhalten die folgenden Noten in einer Statistik Klausur:

Note xi 2 5 5 3 4

Mithilfe der oben angeführten Formel lässt sich der arithmetische Mittelwert nun wie folgt bestimmen. Du summierst die Noten der einzelnen Studierenden zunächst auf. Das Ergebnis teilst du durch die Anzahl der Messwerte, in unserem Beispiel also durch 5:

\bar{x}=\frac{2 + 2 + 5 + 3 + 4}{5}=3,2

Das Ergebnis ist das arithmetische Mittel. Die Studierenden haben also im Durschnitt eine Note von 3,2 erreicht.

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Arithmetisches Mittel Beispiel
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Gewichtetes arithmetisches Mittel

Mit dem Ausdruck gewichtetes arithmetisches Mittel wird eine Variante zur Berechnung des arithmetischen Mittels bezeichnet. Bei dieser auch als gewogenes arithmetisches Mittel bezeichneten Abwandlung werden bestimmte Beobachtungen stärker gewichtet als andere.
Meistens werden die Beobachtungen dabei mit ihrer (relativen) Häufigkeit gewichtet. Das bedeutet, Messwerte, die häufiger vorkommen, werden stärker gewichtet als seltene Messwerte.

In anderen Worten ist das gewichtete arithmetische Mittel einfach nur eine Berechnungsweise des arithmetischen Mittelwerts, wenn bestimmte Messwerte nicht nur einmal, sondern mehrfach vorkommen. 

Gewichtetes arithmetisches Mittel: Formel

Das gewichtete arithmetische Mittel lässt sich sowohl mithilfe der absoluten Häufigkeit als auch mit der relativen Häufigkeit  berechnen. Daraus ergeben sich die folgenden Formeln zum Berechnen des gewogenen arithmetischen Mittel:

Formel gewichtetes arithmetisches Mittel mit absoluter Häufigkeit:

\bar{x}=\frac{x_1H(x_1) + x_2H(x_2) + x_3H(x_3) +...x_nH(x_n)}{n}=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}\ x_iH(x_i)

Zur Berechnung des gewogenen Mittels mit Gewichtung durch die absolute Häufigkeit multipliziert man die Beobachtungen mit der absoluten Häufigkeit der Beobachtungen H(x). Du multiplizierst also jeden Messwert mit der Anzahl, wie häufig er vorgekommen ist. Teile anschließend die Summe wieder durch die Anzahl der Beobachtungen. Häufig auftretende Merkmale fallen so im Durchschnitt stärker ins Gewicht.

Formel gewichtetes arithmetisches Mittel mit relativer Häufigkeit:

\bar{x}=x_1h(x_1) + x_2h(x_2) + x_3h(x_3) +...x_nh(x_n)=\sum\limits_{i=1}^{n}\ x_i h(x_i)

Äquivalent zur Berechnung des gewichteten arithmetischen Mittels mithilfe der absoluten Häufigkeit erfolgt die Berechnung mit der relativen Häufigkeit.

Wieder multiplizierst du die Beobachtungen mit ihrer Häufigkeit, diesmal jedoch mit der relativen Häufigkeit h(x). Da bei den relativen Häufigkeiten bereits durch die Anzahl der Beobachtungen geteilt wurde, musst du das diesmal nicht mehr machen. Nach dem multiplizieren der Beobachtungen mit den relativen Häufigkeiten erhältst du also direkt das arithmetische Mittel.

Es ist wichtig zu verstehen, dass die absolute und relative Häufigkeit zwar üblicherweise als Mittel zur Gewichtung herangezogen werden, jedoch eine Gewichtung auch nach anderen frei wählbaren Kriterien/Maßstäben erfolgen kann. Das gewichtete arithmetische Mittel kann außerdem verwendet werden, um Problemstellungen zu lösen, die sonst nur mit dem harmonischen Mittel zu lösen sind.

Beispiel (absolute Häufigkeit)

Eine Gruppe von 50 Studierenden schreibt eine Statistik Klausur. Es ergeben sich die in der Häufigkeitstabelle abgetragenen Notengruppen.

xi 1 2 3 4 5
Hi 2 9 11 16 12

Wobei x_i der Note entspricht und H_i die absolute Häufigkeit der Beobachtung wiedergibt.

Der Notenspiegel lässt sich nun wie folgt bestimmen:

\bar{x}=\frac{1\cdot2+2\cdot9+3\cdot11+4\cdot16+5\cdot12}{50}=3,54

Folglich beträgt das arithmetische Mittel für die Klausuren der 50 Studierenden also 3,54.

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Gewichtetes Arithmetisches Mittel Beispiel

Beispiel ( relative Häufigkeit)

Die Studierenden eines Studiengangs schreiben eine Statistikklausur. Aus Datenschutzgründen werden die Ergebnisse nur in anonymisierter Form als Notenverteilungen veröffentlicht. Uns liegt folgende Häufigkeitstabelle vor.

xi 1 2 3 4 5
hi 0,1 0,3 0,2 0,25 0,15

Wobei x_i wieder der Note entspricht und h_i die relative Häufigkeit der Beobachtung wiedergibt.

Die Studierenden möchten nun bestimmen wie gut oder schlecht die Klausur in diesem Jahr ausgefallen ist. Dazu benutzen sie die Formel zum gewichteten arithmetischen Mittel bei relativen Häufigkeiten:

\bar{x}=1\cdot 0,1+2 \cdot 0,3+3 \cdot 0,2+4\cdot 0,25+5\cdot 0,15 = 3,05

Damit weißt du, dass der Notendurchschnitt für die Klausuren der Studierenden  also 3,05 beträgt.

Fehlende Messwerte bestimmen

Es kann vorkommen, dass bereits der Mittelwert bestimmt ist, jedoch die Daten zu einzelnen Beobachtungen fehlen. In solch einem Fall kannst du die fehlenden Messwerte durch eine kleine Umformung der Formel ermitteln.

Stell dir etwa vor, dass du 5 Messwerte hast, von denen einer unbekannt ist. Allerdings kennst du bereits das arithmetische Mittel aller Messwerte, nämlich 3.

\bar{x}=\frac{2 + 1 + x_3 + 3 + 4}{5}=3

Um den fehlenden Messwert zu ermitteln multiplizierst du beide Seiten der Gleichung mit der Anzahl der Messwerte, also mit 5. Damit erhältst du:

2 + 1+x_3 + 3 + 4 = 15

Diese Gleichung musst du jetzt nur noch nach x_3 umstellen und ausrechnen:

x_3 = 5

Wie du siehst ist die Note des dritten Studierenden also 5.

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