Deskriptive Statistik

Quartil

Du fragst dich: Was ist ein Quartil und was genau ist die Definition von Quartilen? Hier bekommst du diesen Begriff der Statistik einfach erklärt und wir zeigen dir außerdem, wie du ein Quartil berechnen kannst. Noch schneller lernst du alles über Quartile in unserem Video  kennen, welches dir nach einer einfachen Erklärung zeigt, wie du diese speziellen Lagemaße der Statistik bestimmen und berechnen kannst.

Inhaltsübersicht

Quartil einfach erklärt 

Quartile sind ganz spezielle Quantile und gehören somit zu den Lagemaßen der Statistik. Allgemein ist das Ziel von Quantilen einen Datensatz in Abschnitte einzuteilen. Diese Abschnitte können beliebig groß sein. Von einem Quartil spricht man, wenn die sortierte Datenreihe in vier gleich große Klassen aufgeteilt wird. Genau genommen sind Quartile so genannte empirische Quartile, das heißt sie sind Kennzahlen einer bestimmten Stichprobe. Was genau das bedeutet, erklären wir dir im Absatz Quartil Quantil. Durch die Einteilung der Stichprobe in vier gleich große Teile entstehen somit drei Quartile, welche auch als oberes Quartil, Median und unteres Quartil bekannt sind.  Wenn du dich nun fragst, warum immer nur  von 3 Quartilen die Rede ist, haben wir auch darauf eine Antwort. Der vierte und letzte Teil des Datensatzes  deckt nach der Aufteilung alle anderen Teile und somit die Gesamtheit ab. Daher ist dieses statistisch nicht relevant und wird nicht explizit als 4tes Quartil bezeichnet. Oftmals werden Quartile unterschiedlich notiert oder bezeichnet, gemeint ist aber eigentlich immer das selbe:

1. Quartil= Q1 = 25%- Quartil = 0,25 Quartil = x_0,25 = unteres Quartil

2. Quartil= Q1 = 50%- Quartil = 0,50 Quartil = x_0,50 = Median

3. Quartil= Q1 = 75%- Quartil = 0,75 Quartil = x_0,75 = oberes Quartil

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Einteilung der Quartile

Quartile berechnen 

Bei der Berechnung macht es einen Unterschied, ob  n\cdot p ganzzahlig oder nicht ganzzahlig ist.  Zentral für die Berechnung von allen Quantilen, also auch von Quartilen, ist folgende Formel:

x_p = \left\{ \begin{array}{rcl}\frac{1}{2}(x_{\left(np\right)}+x_{\left(np+1\right)}) & \mbox{falls} & n\cdot p\ ganzzahlig \\ x_{(\left\lfloor np\right\rfloor+1)} & \mbox{falls} & n\cdot p\ nicht\ ganzzahlig \end{array}\right

Das n steht hier für die Anzahl an Beobachtungen und p für das p-Quantil. In unserem Fall gilt also immer p=0,25, p= 0,5 oder p=0.75, da wir ja Quartile, also Viertelwerte berechnen wollen. Die Klammer im Index des zweiten Teils der Formel bedeutet, dass du den Wert zwischen der Klammer immer abrunden musst, egal wie nah er am nächsthöherem Wert liegt. Wie man auch für andere Quantile mit dieser Formel rechnen kann, erfährst du in unserem Video zu Quantilen ! Damit das Ganze im Falle von Quartilen klarer wird, bestimmen und berechnen wir diese im Folgenden beispielsweise für zwei verschiedene Datensätze mit n=7 und im Anschluss für n=8.

Beispiel: Quartil bestimmen mit n=7 

Folgender Datensatz ist gegeben:

1 2 3 4 5 6 7
0,35 1,30 2,05 3,00 3,55 4,75 5,14
Als erstes rechnest du n\cdot p, um zu überprüfen, welche Formel du verwenden musst. Für unser Beispiel erhältst du also:

7\cdot 0,25 = 1.75

7\cdot 0,50 = 3.50

7\cdot 0,75 = 5.25

Du erhältst also nicht ganzzahlige Werte, somit musst du den zweiten Teil der Formel verwenden. Das heißt, du musst dein Ergebnis immer abrunden und anschließend 1 addieren. Nun kannst du ganz einfach die Position des gesuchten Lagemaßes bestimmen.

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Quartile bestimmen

1,75 ergibt abgerundet 1. Addierst du anschließend 1 hinzu weißt du, dass sich  Q1 an der 2ten Stelle des Datensatzes befindet. Die nächstkleinere ganze Zahl von 3,50 ist 3. Somit weißt du, dass nach der Addition von 1 der Median, also Q2, an der Stelle 4 liegt. Auch bei 5,25 wird zur nächstkleineren ganzen Zahl abgerundet. 5 + 1 ergibt 6. Somit ist klar, dass Q3 an der 6ten Stelle des Datensatzes ist.

Unteres Quartil berechnen

Nun ist die Berechnung der einzelnen Quartile nicht mehr schwer. Genau genommen musst du den richtigen Wert nur noch aus der Tabelle an der passenden Stelle ablesen. Für unser Beispiel befindet sich das untere Quartil an der zweiten Stelle des Datensatzes. Durch Ablesen erhältst du:

Q1= \ x_{0,25} = 1,30

Median berechen

Um Q2 zu berechnen, kannst du analog vorgehen. Nachdem du die Position bestimmt hast, kannst du den Wert ablesen, welcher den Datensatz genau in der Mitte teilt. Für das Beispiel mit n=7 hast du für den Median die Position 4 ermittelt. Der Wert an der vierten Stelle ist für diesen Datensatz 3,00.

Q2= x_{0,5} = 3,00

Oberes Quartil berechnen

Das obere Quartil befindet sich also an der 6ten Stelle der Tabelle. Auch hier ist wieder kein Rechenaufwand nötig, sondern nur einfaches Ablesen aus dem sortierten Datensatz:

Q3= x_{0,75} = 4,75

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Unteres Quartil, Median und oberes Quartil

Beispiel: Quartil bestimmen mit n=8 

Ist das Ergebnis aus n\cdot p ganzzahlig, so ist das Ermitteln der Quartile etwas komplizierter. Gegeben ist wieder der sortierte Datensatz. Dieser wird nun um einen zusätzlichen Wert erweitert:

1 2 3 4 5 6 7 8
0,35 1,30 2,05 3,00 3,55 4,75 5,14 6,05
Für n\cdot p erhältst du folgende Werte:

8\cdot 0,25 = 2

8\cdot 0,50 = 4

8\cdot 0,75 = 6

Nun weißt du, dass du den oberen Teil der Formel verwenden musst und kannst als erstes wieder die Lage des gesuchten Wertes bestimmen. So weißt du später bei der Berechnung, welche Werte du in die Formel einsetzen musst.

Stelle\von\ x_{0,25}= \frac{1}{2}(x_{n\cdot p}+ x_{n\cdot p + 1})\frac{1}{2}(8\cdot 0,25+ 8\cdot 0,25 + 1)=2,5

\rightarrow Q1 liegt bei diesem Beispiel an der Stelle 2,5, also genau in der Mitte der Werte von 2 und 3.

 

Stelle\von\ x_{0,5}= \frac{1}{2}(x_{n\cdot p}+ x_{n\cdot p + 1})\frac{1}{2}(8\cdot 0,5}+ 8\cdot 0,5 + 1)=4,5

\rightarrow Folglich liegt Q2 an der Stelle 4,5, also genau in der Mitte der Werte von 4 und 5.

 

Stelle\von\ x_{0,75}= \frac{1}{2}(x_{n\cdot p}+ x_{n\cdot p + 1})\frac{1}{2}(8\cdot 0,75}+ 8\cdot 0,75 + 1)=6,5

\rightarrow Das obere Quartil Q3 liegt also bei diesem Beispiel an der Stelle 6,5. Das bedeutet die Lage ist genau zwischen 6 und 7.

Unteres Quartil berechnen

Mit diesem Wissen kannst du nun die genauen Werte der Quartile berechnen und die richtigen Zahlen in die Formel einsetzen. Da du ja keinen Wert für 2,5 in deiner Tabelle gegeben hast, musst du logischerweise die Werte für 2 und 3 in die Formel einsetzen. So erhälst du dann den Wert für 2,5. Für das untere Quartil ergibt sich also:

x_{0,25}= \frac{1}{2}(x_{n\cdot p}+ x_{n\cdot p + 1})\frac{1}{2}(1,30+ 2,05))=1,68

Jetzt weißt du, dass 0,25%, also ein Viertel der Werte kleiner und 75% der Werte größer sind als 1,68.

Median berechnen

Nun kannst du auch den Wert berechnen, der deinen Datensatz in genau zwei gleich große Bereiche unterteilt. Du setzt die Werte aus der Tabelle für 4 und 5 ein.

x_{0,5}= \frac{1}{2}(x_{n\cdot p}+ x_{n\cdot p + 1})\frac{1}{2}(3,00+ 3,55))=3,28

Der Median bzw. Q2 deines Datensatzes liegt also bei 3,28. Daher weißt du, dass die Hälfte der Werte größer ist als 3,28 und die andere Hälfte kleiner.

Oberes Quartil

Zum Schluss musst du die Werte für 6 und 7 einsetzen, um den Wert des oberen Quartils zu erhalten.

x_{0,75}= \frac{1}{2}(x_{n\cdot p}+ x_{n\cdot p + 1})\frac{1}{2}(4,75+ 5,14))=4,95

Das obere Quartil liegt bei 4,95. Du weißt also, dass genau 75% deiner Daten unter diesem Wert liegen.

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Quartil Beispiel

Quartil Quantil 

Quartile sind also wie bereits gesagt spezielle Quantile. Mit speziell ist in diesem Fall gemeint, dass durch die Quartile die Daten einer konkreten Stichprobe in vier gleich große Teile untergliedert werden. Daher ist auch die Rede von empirischen p-Quantilen. Die wichtigsten empirischen Quantile tragen Eigennamen. Zu ihnen gehören neben den Quartilen mit dem Median, dem oberen und unteren Quartil  zum Beispiel auch die Terzile, Quintile, Dezile und die Perzentile.  Diese unterteilen den Datensatz in 3, 5, 10 beziehungsweise 100 gleich große Teile. Für die gängigsten Berechnungen in der Statistik werden jedoch meist nur die Quartile benötigt. %Bild einfügen Übersicht empirische Quantile

Boxplot

Da den Quartilen in der Statistik ein so hoher Stellenwert zukommt, ist es sinnvoll diese für den Datensatz der Stichprobe zu visualisieren. Dazu wird ein so genannter Boxplot verwendet. Diese Kastengrafik stellt die wichtigsten Lagemaße übersichtlich dar. Konkret werden hier das Minimum (unterer Whisker), das untere Quartil, der Median, das obere Quartil und das Maximum (oberer Whisker) abgebildet, welche als die wichtigsten 5 Quantile des Datensatzes gelten. In diesen Zusammenhang sind auch die Spannweite und  Quartilsabstand sehr wichtig, welche sich mit dem Abstand zwischen Minimum und Maximum befassen. Wie genau du mit diesen Informationen einen Boxplot zeichnen kannst, erklären wir dir in unserem dazugehörigen Video

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