Deskriptive Statistik

Varianz berechnen

Dieser Artikel zeigt dir wie du die Varianz berechnen kannst. Wir erklären dir die Formel anhand von drei einfachen Beispielen und gehen auf den Verschiebungssatz zur Varianz ein.

Du willst das Thema gut erklärt bekommen? Dann lehn‘ dich zurück und schau‘ dir unser Video dazu an! Als Grundlage empfehlen wir dir unseren Beitrag zur Varianz . Auch zum Thema Stichprobenvarianz haben wir ein Video für dich.

Inhaltsübersicht

Varianz berechnen Vorgehen

Um die Varianz zu berechnen, gibt es ein ganz einfaches Vorgehen. 

Merke
  1. Den Mittelwert (Durchschnitt) ausrechnen  
  2. Die Werte des Zufallsexperiments in die Formel zur Varianz einsetzen
  3. Die Varianz berechnen

Falls du dir nicht mehr sicher bist, wie du das arithmetische Mittel ausrechnest und was der Unterschied zum Erwartungswert ist, schau dir unsere Videos dazu an. 

Varianz Formel 

Die Formel zur Varianz schaut kompliziert aus, ist aber sehr einfach anzuwenden. 

{{\sigma}}^2=sum_{i=1}^{n}{(x_i-\mu)}^2\cdot p_i = (x_1-\mu)^2\cdot p_i+(x_2-\mu)^2\cdot p_i+(x_n-\mu)^2\cdot p_n}

  • {{\sigma}}^2 ist das Zeichen für die Varianz (bei Zufallsexperimenten)
  • \mu ist der Mittelwert, bzw. Erwartungswert
  • x_i ist das Ergebnis des Zufallsexperiments
  • sum_{i=1}^{n} beschreibt, dass erst eine Summe der gewichteten quadratischen Abweichungen vom Mittelwert  berechnet wird
  • p_i steht für die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses x_i. Es handelt sich also um einen Gewichtungsfaktor.

Du kannst dir also merken, dass du die Varianz berechnen kannst, indem du die Summe der gewichteten quadrierten Abweichungen aller Messwerte vom Mittelwerte bildest. Mit dem nächsten Beispiel wird das Ganze deutlicher.

Beispiel Varianz berechnen

Stell dir vor, du misst eine Woche lang im Sommer immer mittags die Temperatur und erhältst folgende Werte:

Wochentag MO DI MI DO FR SA SO
Temperatur Maximal 28 29 27 21 18 28 24

Wie kannst du für diese Werte die Varianz berechnen?

Zuerst musst du den Durchschnitt ermitteln. Dafür zählst du die einzelnen Temperaturwerte zusammen, also addierst sie. Diese Summe teilst du dann durch die Anzahl der Werte, die wir haben. In unserem Fall sieben, da du für jeden Wochentag einen Wert hast.  Das ergibt eine Durchschnittstemperatur von 25 Grad. Mathematisch sieht das so aus: 

\mu = \frac{28 + 29 + 27 +21 + 18 + 28 + 24 }{7}= \frac{175}{7} = 25 \ Grad

Danach kannst du jetzt die entsprechenden Werte in die Formel zur Varianz einsetzen und so diese berechnen. Von deinen Temperaturwerten ziehst du jeweils den Mittelwert ab. Was dabei rauskommt quadrierst du, also rechnest es hoch zwei. Du ermittelst also die Abweichung deines Wertes vom Mittelwert und quadrierst dann diese Abweichung. Anschließend musst du die Abweichung noch mit der relativen Häufigkeit gewichten. Diese ist in diesem Beispiel \frac{1}{7}, da es pro Tag einen Messwert gibt. Das Ganze wiederholst du für jeden Wert – bei unserem Beispiel also sieben mal – und bildest daraus eine Summe. Wenn du die einzelnen Werte in die Formel einsetzt, sieht das so aus:

{\sigma}}^2={(28 - 25)}^2\cdot \frac{1}{7}+ {(29 - 25)}^2 \cdot \frac{1}{7}+ {(27 - 25)}^2\cdot \frac{1}{7} + {(21 - 25)}^2\cdot \frac{1}{7} + {(18 -25)}^2\cdot \frac{1}{7} + {(28 - 25)}^2\cdot \frac{1}{7} + {(24 -25)}^2\cdot \frac{1}{7}

Zuletzt willst du die Varianz berechnen. Als Zwischenschritt kannst du erst die Werte in den Klammern ausrechnen. 

{\sigma}}^2={(3)}^2\cdot \frac{1}{7} + {(4)}^2 \cdot \frac{1}{7}+ {(2)}^2 \cdot \frac{1}{7}+ {(-4)}^2\cdot \frac{1}{7} + {(-7)}^2 \cdot \frac{1}{7}+ {(3)}^2\cdot \frac{1}{7} + {(-1)}^2\cdot \frac{1}{7}

Danach quadrierst du die Abweichungen und siehst den Faktor\frac{1}{7} zusammen. 

{\sigma}}^2=\frac{9+16+4+16+49+9+1}{7} = \frac{104}{7} \approx  14,86 \ Grad^2

Am Schluss erhälst du eine mittlere quadratische Abweichung, also eine Varianz von 14,86 Grad hoch zwei. 

Die Varianz ist schwer zu interpretieren, da sie ein Quadrat der Abweichung vom Mittelwert darstellt. Um die Zahl besser nachvollziehen zu können, schau dir an, wie du die Standardabweichung berechnen kannst.% An dieser Stelle könnten wir eine Grafik einbauen, wie Mathe Guru, um die Werte nochmal zu verdeutlichen.

Beispiel Varianz berechnen Würfel

Schauen wir uns gleich noch ein weiteres Beispiel an. Stell dir vor, du wirfst einen 6 – seitigen Würfel 15 mal und schreibst dir die Ergebnisse auf: 

  1 2 3 4 5 6
Anzahl 2 3 2 4 3 1
P(X) 2/15 3/15 2/15 4/15 3/15 1/15

Um die Varianz zu berechnen ist das Vorgehen wie beim vorigen Beispiel. Zuerst bestimmst du den Mittelwert für deine Daten. Die relativen Häufigkeiten sind in der Tabelle schon gegeben. 

\mu = 1 \cdot\frac{2}{15}+ 2 \cdot\frac{3}{15}+ 3 \cdot\frac{2}{15}+4 \cdot\frac{4}{15}+ 5 \cdot\frac{3}{15} + 6 \cdot\frac{1}{15} = \frac{17}{5} = 3,4

Wir erhalten also einen Mittelwert von 3,4. Das ist nicht der Erwartungswert eines Würfels, sondern nur der Mittelwert für unsere geworfenen Zahlen! Nun müssen wir die einzelnen Werte aus unserer Tabelle in die Formel einsetzen. Dafür ziehen wir von jedem Ergebnis den Erwartungswert ab. Dann quadrieren wir das Ergebnis. Diesen Schritt müssen wir für alle 15 Werte durchführen und sie schließlich noch addieren. Am Schluss dürfen wir nicht vergessen, durch 15 zu teilen, da wir ja die durchschnittliche Abweichung berechnen. In unserer Formel steht dies im ersten Bruch ganz vorne. Wenn wir die Werte in die Formel der Varianz einsetzen ergibt sich:

{\sigma}}^2={(1 - 3,4)}^2 \cdot\frac{2}{15} + {(2 - 3,4)}^2\cdot\frac{3}{15} + {(3 - 3,4)}^2 \cdot\frac{2}{15}+ {(4 - 3,4)}^2 \cdot\frac{4}{15}+ {(5 - 3,4)}^2 \cdot\frac{3}{15}+ {(6 -3,4)}^2\cdot\frac{1}{15}

Um die Varianz berechnen zu können, lösen wir wieder zuerst die Klammern auf. 

{\sigma}}^2={(-2,4)}^2 \cdot\frac{2}{15}+ {(-1,4)}^2 \cdot\frac{3}{15}+ {(- 0,4)}^2 \cdot\frac{2}{15} + {(+ 0,6)}^2 \cdot\frac{4}{15} + {(+ 1,6)}^2 \cdot\frac{3}{15} + {(+2,6)}^2 \cdot\frac{1}{15}

Dann rechnen wir die Abweichungen hoch zwei und gewichten diese.

{\sigma}}^2=5,76 \cdot\frac{2}{15} + 1,96 \cdot\frac{3}{15}+ 0,16 \cdot\frac{2}{15} + 0,36 \cdot\frac{4}{15}+2,56 \cdot\frac{3}{15} + 6,76 \cdot\frac{1}{15}

{\sigma}}^2=\frac{33,6}{15} = 2,24

Schließlich ergibt sich eine Varianz von 2,24 Würfelaugen im Quadrat. Du siehst, bei größeren Werten ist es ganz schön viel Schreibarbeit die Varianz zu berechnen. Doch dafür gibt es einen Trick: den Verschiebungssatz. 

Varianz berechnen Verschiebungssatz

Der Verschiebungssatz hilft dir dabei die Varianz für größere Datenmengen ausrechen. 

Merke

{\sigma}^2 = VAR(X) = E(X^2) - (E(X))^2

Im Prinzip wird hier der Erwartungswert aus der Formel für die Varianz ausgeklammert. Trotzdem rechnest du weiterhin die Varianz aus. Beachte hier auch die Schreibweise: Einmal ist das hoch zwei innerhalb der Klammer und einmal außerhalb. Die Formel erschließt sich am besten mit einem Beispiel.

Verschiebungssatz Beispiel

Schauen wir uns dafür noch einmal unser Würfel Beispiel an. 

  1 2 3 4 5 6
Anzahl 2 3 2 4 3 1
P(X) 2/15 3/15 2/15 4/15 3/15 1/15
  • Der Mittelwert unseres Zufallsexperiments ist wieder 3,4.
  • Um die Varianz zu berechnen, wenden wir nun jedoch die Formel für den Verschiebungssatz an.

Dafür setzen wir für das erste X die unterschiedlichen Würfelwerte eine, also 1, 2, 3, 4, 5, 6 und quadrieren diese. Dann multiplizieren wir die Teilergebnisse mit der relativen Häufigkeit. Diese steht ebenfalls in der Tabelle. Nachdem wir aus diesen Werten eine Summe gebildet haben, ziehen wir davon den quadrierten Erwartungswert ab. 

{\sigma}}^2= ({1}^2 \cdot\frac{2}{15}+ {2}^2\cdot\frac{3}{15}+ {3^2}\cdot\frac{2}{15}+{4}^2\cdot\frac{4}{15}+ {5}^2 \cdot\frac{3}{15} + {6}^2 \cdot\frac{1}{15})- (3,4^2) = \frac{207}{15} -11,56 = 13,80 - 11,56 = 2,24

Der Verschiebungssatz liefert das gleiche Ergebnis wie die Berechnung über die Formel der Varianz.

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