Deskriptive Statistik

Perzentil

Du möchtest mehr darüber erfahren, was ein Perzentil ist und wie du es berechnest? In diesem Artikel erfährst du alles, was du darüber wissen musst. Wir erklären dir zunächst seine Bedeutung und erläutern anschließend die Berechnung Schritt für Schritt anhand eines Beispiels.

Keine Lust auf Lesen? Dann sieh dir unser Video an und lerne dort alles über die Bedeutung und Berechnung von Perzentilen.

Inhaltsübersicht

Was ist ein Perzentil?

Ein Perzentil (auch genannt Prozentrang) ist ein Anteil einer Verteilung. Sie splitten die Verteilung in 100 gleich große Einheiten auf. Das Perzentil eines Messwerts gibt dir Auskunft darüber, welcher Anteil der Verteilung über oder unter diesem Messwert liegt. Betrachtest du beispielsweise das 95. Perzentil, bedeutet das, dass 95% der Messwerte kleiner als oder gleich groß wie der Messwert des 95. Perzentils sind. Berechnen kannst du ein Perzentil mit dieser Formel

  •  x_{p}\equiv \frac {1} {2} (x_{np}+x_{np+1}) (wenn n*p ganzzahlig)
  • x_{p}\equiv \lceil x_{np} \rceil (wenn n*p nicht ganzzahlig).

Wie du bei der Berechnung genau vorgehen musst, besprechen wir weiter unten in diesem Artikel an einem konkreten Beispiel.

Was bedeutet das 95. Perzentil?

Schauen wir uns das Beispiel des 95. Perzentils etwas genauer an. Es ist in der Statistik besonders wichtig und spielt etwa bei Signifikanztestungen eine Rolle. Nehmen wir an, du hast in einer Aufgabe 6 von 7 Punkten erreicht.  Die Verteilung der Punktzahlen der anderen Kursteilnehmenden siehst du in der unten stehenden Tabelle.

Erreichte Punktzahl 1 2 3 4 5 6 7
Häufigkeit 0 3 2 5 6 3 1
Perzentil 0 15 25 50 80 95 100

Du siehst, dass deiner erreichten Punktzahl von 6 das 95. Perzentil zugeordnet wurde.
Doch was bedeutet das nun?

Die Zuordnung drückt aus, dass 95% der anderen Kursteilnehmenden die gleiche oder eine schlechtere Punktzahl erreicht haben. Umgekehrt ausgedrückt waren bei der Aufgabe nur 5% der Gruppe besser als du.  Perzentile helfen uns also einzuschätzen, wie hoch oder niedrig ein Messwert im Vergleich zu den restlichen Werten einer Verteilung ist.

Perzentil, Quantil, Normalverteilung, Signifikanztest, alpha Fehler
direkt ins Video springen
95. Perzentil

Perzentil berechnen

Nun weißt du bereits, wie du ein Perzentil interpretierst. Zuvor musst du es jedoch häufig erst noch berechnen. In einem ersten Schritt musst du deine Messwerte dafür in eine Rangreihe bringen. Das bedeutet, du sortierst alle Werte von klein nach groß.

Für die anschließende Berechnung gibt es mehrere Vorgehensweisen. Um auszuwählen, welche Methode die richtige ist, musst du zuerst n*p berechnen. n entspricht hierbei der Anzahl der Messwerte. p steht für das Perzentil, das du gerne berechnen möchtest. Abhängig davon, ob diese Rechnung ein ganzzahliges Ergebnis (zum Beispiel „3“) oder ein nicht ganzzahliges Ergebnis (zum Beispiel „2,5“) liefert, musst du bei der Berechnung etwas unterschiedlich vorgehen.

n*p ganzzahlig

Messwerte:  5 – 7 – 7 – 9 -10 -10 – 13 – 13 – 13 – 14 – 16 – 17

Sehen wir uns die Berechnung einmal an der oben gezeigten Messwertreihe an. In diesem Beispiel haben wir 12 Personen untersucht und möchten nun das 25. Perzentil bestimmen. Die Messwerte wurden hier bereits in eine aufsteigende Rangreihe gebracht. Im nächsten Schritt rechnen wir also direkt n*p= 12*0,25 = 3. Wie du siehst, erhalten wir ein ganzzahliges Ergebnis, nämlich 3.
In diesem Fall lautet die Formel zur Berechnung des 25. Perzentils so:

Formel: n*p ganzzahlig

{\displaystyle x_{p}\equiv \frac {1} {2} (x_{np}+x_{np+1})}

  • x_{p} Perzentil von p 
  • x_{np} bzw. x_{np+1}  Die Rechnung n*p im Index zeigt dir, den wie vielten Messwert deiner Messwertreihe du hier für x einsetzen musst.    

Setzen wir die Zahlen aus unserem Beispiel ein, erhalten wir: 

{\displaystyle x_{0,25}\equiv \frac {1} {2} (x_{np}+x_{np+1}) \equiv \frac {1} {2} (x_{12\times{0,25}}+x_{12 \times {0,25}+1})\equiv \frac {1} {2} (x_{3}+x_{4}) \equiv \frac {1} {2} (7+9) \equiv 8 }

Das bedeutet, 25% der Messwerte sind kleiner als oder gleich groß wie 8.

n*p nicht ganzzahlig

Wie gehst du nun aber vor, wenn die Berechnung von n*p kein ganzzahliges Ergebnis liefert? Auch für diesen Fall können wir uns ein Beispiel ansehen.

Messwerte: 3 – 5 – 5 – 6 – 7 – 7 – 8 – 10 – 10 

Diesmal haben wir eine Verteilung mit 9 Messwerten und möchten das 20. Perzentil bestimmen. Wir rechnen wie zuvor n*p und erhalten 9*0,2=1,8. Wie du siehst, ist 1,8 kein ganzzahliges Ergebnis. Folglich sieht die Formel zur weiteren Berechnung nun etwas anders aus:

Formel: n*p nicht ganzzahlig 

{\displaystyle x_{p}\equiv \lceil x_{np} \rceil}

  • x_{p} Perzentil von p 
  • \lceil \rceil Die Zahl zwischen den Klammern wird immer aufgerundet, egal wie nah oder fern sie der nächsthöheren ganzen Zahl ist.

 

Die Symbole \lceil \rceil bedeuten, dass die Zahl zwischen den Klammern immer aufgerundet wird, egal wie nah oder fern sie der nächsten ganzen Zahl ist. 

Mit eingesetzten Zahlen ergibt sich folgende Rechnung:

{\displaystyle x_{p}\equiv \lceil x_{np} \rceil \equiv \lceil x_{1,8} \rceil \equiv x_{2}}

Das 20. Perzentil ist also der zweite Messwert. In diesem Fall lautet es also 5. 

Perzentil und Quantil

Zuletzt sehen wir uns noch den Unterschied zwischen dem Perzentil und  dem Quantil  an. Beide teilen eine Verteilung in mehrere gleich große Einheiten ein. Der Begriff „Quantil“ ist allerdings etwas allgemeiner als das „Perzentil“. Bei Perzentilen wird die Verteilung in genau 100 gleich große Einheiten aufgeteilt. Quantile hingegen können die Einteilung in zwei, vier oder eine andere beliebige Anzahl von Einheiten beschreiben. Besonders häufig wird die Verteilung hierbei in zwei (Median), vier (Quartil ) oder eben in 100 Einheiten (Perzentil) geteilt. Folglich ist das Perzentil eine etwas genauere Unterkategorie des Quantils. Wenn du noch mehr Details über Quantile erfahren möchtest, dann sieh die gerne unseren Artikel dazu an.  

Hallo, leider nutzt du einen AdBlocker.

Auf Studyflix bieten wir dir kostenlos hochwertige Bildung an. Dies können wir nur durch die Unterstützung unserer Werbepartner tun.

Schalte bitte deinen Adblocker für Studyflix aus oder füge uns zu deinen Ausnahmen hinzu. Das tut dir nicht weh und hilft uns weiter.

Danke!
Dein Studyflix-Team

Wenn du nicht weißt, wie du deinen Adblocker deaktivierst oder Studyflix zu den Ausnahmen hinzufügst, findest du hier eine kurze Anleitung. Bitte lade anschließend die Seite neu.