Deskriptive Statistik
Lagemaße
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In diesem Artikel erklären wir dir, was der Median ist und wie du ihn berechnen kannst.
Noch schneller verstehst du das Thema mit unserem Video , schau doch mal rein!%nur das EE und die zwei Abschnitte zu Median berechnen sind neu!

Median einfach erklärt

Der Median teilt deine Messwerte in zwei gleich große Hälften auf. Das bedeutet, 50% der Messwerte sind kleiner und 50% größer als der Median. Wenn du deine Werte der Größe nach geordnet hast, liegt er genau in der Mitte.

Beispiel 1:          1 – 3 – 3 – 5 – 7 – 8 – 10

Der Median ist 5.

Bei einer ungeraden Anzahl an Werten wie hier, kannst also einfach die mittlere Zahl ablesen.

Bei einer geraden Anzahl an Werten gibt es keine Zahl, die eindeutig in der Mitte steht. Deshalb nimmst du die beiden in der Mitte liegenden Werten und bildest daraus den Durchschnitt.

Beispiel 2:          1 – 3 – 3 – 5 7 – 8 – 10 – 13

Der Median ist \frac{\textcolor{magenta}{5+7}}{2} = 6

Median Definition

Der Median (auch Zentralwert) ist der Wert, der genau in der Mitte deiner nach Größe geordneten Datenreihe liegt. Du berechnest den Median in 3 Schritten:

  1. Sortiere deine Datenwerte nach der Größe.
  2. Bei einer ungeraden Anzahl von Werten liest du einfach den Wert in der Mitte ab.
  3. Bei einer geraden Anzahl von Werten bildest du den Durchschnitt der beiden mittleren Werten.

Median Formeln

Die Regeln, die im Kasten wörtlich formuliert sind, kann man auch mathematisch durch Formeln darstellen.

Mit Hilfe der Formeln kannst du den Zentralwert ganz leicht berechnen:

Median Formel: Ungerade Anzahl an Messwerten 

    \[\tilde{x} = x_{\frac {n+1}{2}}\]

Median Formel: Gerade Anzahl an Messwerten

    \[\tilde{x} = \frac{1}{2} (x_{\frac {n}{2}} + x_{\frac{n}{2}+1} )\]

Dabei sind jeweils: 
\tilde{x} – Der zu berechnende Median 
n – Die Anzahl der einzelnen Messwerte 
x – Der jeweilige Messwert der Messwertreihe

Median berechnen: Ungerade Anzahl an Messwerten

Schau dir die beiden Formeln zur Berechnung des Medians am besten direkt an einem Beispiel an.
Angenommen du hast folgende Messwertreihe und möchtest den Median mithilfe einer Formel berechnen:

4 – 9 – 8 – 7 – 12 – 4 – 16 – 1 – 2

Dafür gehst du am besten so vor:

  1. Zuerst musst du die Messwerte nach ihrer Größe ordnen:

        \[ 1 - 2 - 4 - 4 - 7 - 8 - 9 - 12 - 16\]

  2. Jetzt musst du die richtige Formel auswählen. Dazu fragst du dich, ob du eine gerade oder ungerade Anzahl an Messwerten hast. Hier hast du 9 Messwerte, also eine ungerade Anzahl. Folglich benötigst du diese Formel:

        \[\tilde{x} = x_{\frac {n+1}{2}}\]

  3. In diese Formel musst du nun lediglich die Anzahl der Messwerte neinsetzen und den Term ausrechnen. Das Ergebnis sagt dir, der wievielte Messwert deiner Reihe der Median ist.

        \[\tilde{x} = x_{\frac {9+1}{2}} = x_{\frac {10}{2}}  = x_5\]

Der Median ist also der 5. Messwert deiner Liste. Durch Abzählen kannst du ihn jetzt ermitteln.

1 – 2 – 4 – 4 – 7 – 8 – 9 – 12 – 16

Hier ist der Median also 7.

Median berechnen: Gerade Anzahl an Messwerten

Schau dir jetzt gleich noch ein Beispiel für die Berechnung des Medians an.

Du hast diese Zahlenreihe gegeben und sollst den Median mithilfe einer Formel berechnen:

5 – 12 – 29 – 17 – 12 – 8 – 10 – 8

Dafür gehst du wie bisher vor:

  1. Ordne die Messwerte ihrer Größe nach:

        \[5 - 8 - 8 - 10 - 12 - 12 - 17 - 29\]

  2. Bestimme jetzt die  richtige Formel. Da du dieses Mal acht Messwerte hast, benötigst du die Formel für eine gerade Anzahl an Messwerten.

        \[\tilde{x} = \frac{1}{2} (x_{\frac {n}{2}} + x_{\frac{n}{2}+1} )\]

  3. Dann musst du Anzahl der Messwerte n in die Formel einsetzten und vereinfachen.

        \[\tilde{x} = \frac{1}{2} (x_{\frac {8}{2}} + x_{\frac{8}{2}+1} ) = \frac{1}{2} (x_4 + x_{4+1}) = \frac {1}{2} (x_4 + x_5)\]

    Um das Ergebnis zu erhalten, musst du also den vierten und den fünften Messwert in die Rechnung einsetzen.

5 – 8 – 8 – 10 12 – 12 – 17 – 29

Du setzt also 10 für x4 und 12 für x5 ein. Jetzt musst du das ganze nur noch ausrechnen: 

\tilde{x} =\frac {1}{2} (x_4 + x_5) = \frac {1}{2} (\textcolor{magenta}{10+12}) =\frac {1}{2} \cdot 22 = \textcolor{blue} {11}

Der Median lautet also 11.

Eigenschaften des Medians 

Der Median wird verwendet, um die zentrale Tendenz einer Messwertreihe zu beschreiben. Da er deine Messwerte in zwei Hälften teilt, vermittelt er einen guten Eindruck darüber, wie hoch oder niedrig Messwerte sind, die genau in der Mitte liegen. Der Median gehört zur Gruppe der Lagemaße, die besonders auffällige Werte einer Messwertgruppe abbilden. Weitere Lagemaße sind zum Beispiel der Modus oder der Mittelwert .

Ein Vorteil des Medians ist, dass er robust gegenüber Ausreißern ist. Das bedeutet, er wird nicht dadurch beeinflusst, wenn ein paar wenige, sehr extreme Messwerte in deiner Stichprobe enthalten sind. Somit kann er die zentrale Tendenz der Mehrheit der Messwerte gut darstellen, ohne von einzelnen Ausreißerwerten verzerrt zu werden. 

Stell dir etwa vor, du hast folgende Messwerte: 

4 – 9 – 13 – 14 – 16 – 17 – 19 – 21 – 1490

Du siehst, dass der letzte Messwert der Reihe sehr viel höher ist als der Rest und eigentlich nicht so recht in die Reihe passt. Würdest du nun den Median ermitteln, bliebe dieser jedoch von dem extremen Wert unberührt. Das liegt daran, dass der Median nur die Werte in der Mitte der Messwertreihe betrachtet. Folglich kann er nicht von extremen Randwerten so verzerrt werden, dass er die zentrale Tendenz deiner Messwerte nicht mehr gut abbildet.  Anders wäre das zum Beispiel beim Mittelwert. In die Bestimmung des Mittelwerts gehen die Zahlenwerte aller Messwerte mit ein.  Dadurch kann der Mittelwert durch einzelne sehr extreme Messwerte stark verzerrt werden.

Weitere Vorteile des Medians 

Ein weiterer Vorteil des Medians ist, dass er bereits ab Ordinalskalenniveau verwendet werden darf. Das bedeutet, zwischen den Ausprägungen deiner betrachteten Variable müssen keine gleichen Abstände vorliegen. Es ist lediglich notwendig, dass du die Messwerte in einer logisch aufsteigende Rangreihe bringen kannst. Beim Mittelwert benötigst du hingegen mindestens Intervallskalenniveau . Der Mittelwert hat also im Vergleich strengere Voraussetzungen, wann er verwendet werden darf.

Welche das sind und wie du den Mittelwert bzw. das Arithmetische Mittel berechnest erfährst du in unserem Video dazu. Schau es dir unbedingt an, um deine nächste Statistik Prüfung zu bestehen. Bis gleich!

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Zum Video: Arithmetisches Mittel

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