Deskriptive Statistik

Eine Variable
Geometrisches Mittel

Das geometrische Mittel  ist ein weiterer wichtiger Mittelwert in der deskriptiven Statistik. Wie du ihn berechnest zeigen wir dir in diesem Beitrag!

Mittelwert zur Berechnung prozentualer Veränderungen

Das geometrische Mittel als Lageparameter gehört zu den Mittelwerten und wird bei der Berechnung von prozentualen Veränderungen verwendet. Wenn man beispielsweise mit Wachstumsraten wie Preissteigerungen oder Zinsraten zu tun hat, sollte man dieses Mittel hernehmen statt irrtümlicherweise das arithmetische Mittel zu berechnen. Es berechnet sich aus der n-ten Wurzel aus dem Produkt aller verwendeten Werte. In Formelschreibweise sieht das so aus:

Das geometrische Mittel wird zur Berechnung prozentualer Veränderungen hergenommen

Berechnung des geometrischen Mittels – Beispiel

Um das Ganze verständlicher zu machen, erklären wir dir die Berechnung direkt an einem Beispiel: Stell dir vor, dein Kontostand entwickelt sich während des Semesters folgendermaßen:

Veränderung deines Kontostands über fünf Monate hinweg

Du hast also von Monat zu Monat diese Wachstumsraten:

Monatliche Wachstumsraten

Jetzt möchtest du gerne wissen, um wieviel Prozent sich dein Konto durchschnittlich verändert hat. Und für genau so einen Fall gibt es das geometrische Mittel. Es ist sehr wichtig, dass du bei der Berechnung immer darauf achtest, die Auf- beziehungsweise Abzinsungsfaktoren und nicht die Verzinsungen zu multiplizieren, sonst kommst du nicht auf das richtige Ergebnis.

Wir rechnen also:

{\bar{x}}_{geom}=\ \sqrt[4]{0,95*1,0842*1,0194*1,1429}\ \approx1,047

Du siehst, das Vermögen auf deinem Konto ist während des Semesters um durchschnittlich 4,7% gestiegen. Um dein Ergebnis zu überprüfen, kannst du auch nochmal gegenrechnen:

Berechnung des geometrischen Mittels

Tada, du kommst auf die gleiche Lösung!

Die Mittenfrequenz f_0

Ein weiteres Beispiel ist die sogenannte Mittenfrequenz f_0: sie ist das geometrische Mittel aus der unteren und der oberen Grenzfrequenz f_1 und f_2 eines Frequenzbands mit einer festgelegten Filterbandbreite. Sie berechnet sich wie folgt:

f_0=\sqrt{f_1*{\ f}_2}

Hier wäre es falsch das arithmetische Mittel für beide Grenzfrequenzen herzunehmen. Generell verwendet man das geometrische Mittel in dem Fall, dass sich der Unterschied zweier Größen eines Merkmals besser über Quotienten als über Differenzen beschreiben lässt.

Jetzt weißt du, dass das geometrische Mittel einfach die prozentuale Veränderung einer Zahlenreihe wiedergibt.

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