Deskriptive Statistik

Mittelwert Median Modus

Inhaltsübersicht

In diesem Beitrag zeigen wir dir die drei wichtigsten Lagemaße der Statistik: den Mittelwert, den Median und den Modus und erklären dir anhand von Beispielen, wie man sie jeweils berechnet.

Alles was du zu diesen Lageparametern der Statistik wissen musst, erfährst du aber auch schnell und viel einfacher in unserem Video zum Thema!

Lagemaße

Der Modus, der Median und der Mittelwert sind die drei bekanntesten, sogenannten Lagemaße der Statistik. Mit ihnen versuchen wir eine zentrale Tendenz in einer Datenmenge zu erfassen. Deshalb werden sie öfter auch als Maße der zentralen Tendenz bezeichnet.

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Lagemaße Statistik

Aber wieso gibt es so viele unterschiedliche Lagemaße? Das hängt mit den verschiedenen Skalenniveaus zusammen. Je nachdem, welches Skalenniveau dein Datensatz hat, kannst du unterschiedliche Tendenzen berechnen.

Modus Statistik

Es ist immer möglich den Modus einer Verteilung zu bestimmen, aber er ist im Allgemeinen nicht eindeutig. Was das bedeutet wird durch die Definition von diesem Lagemaß und die Berechnung deutlich.

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Modus Statistik

Modus Statistik Definition

Der Modus, welcher auch Modalwert genannt wird,  ist ein Lagemaß der Statistik, welcher für alle Skalenniveaus berechnet werden kann. Er ist definiert als der in einer Stichprobe am häufigsten vorkommende Wert.

Modus berechnen Statistik

Zur „Berechnung“ zählt man lediglich ab, wie oft die verschiedenen Merkmalsausprägungen in einer Stichprobe vorkommen. Betrachten wir beispielsweise eine Urliste mit den Werten 5,2,1,2,6, dann ist der Modus deiner Verteilung gleich 2, einfach weil dieser Wert im Gegensatz zu den anderen Werten in der Liste zweimal vorkam.

x_{mod}=2

Es kann durchaus vorkommen, dass es mehrere Modi gibt, wenn zum Beispiel zwei oder mehrere Merkmale gleich oft am häufigsten vorkommen. Im Extremfall kann jede einzelne Merkmalsausprägung ein Modus sein, wenn alle gleich oft vorkommen.

Modus Statistik Beispiel

Das Folgende Beispiel dient zur Verdeutlichung des zuvor beschriebenen Extremfalls. Es werden die Merkmalsausprägungen Hund, Katze, Maus und Hamster betrachtet. Diese Merkmale können weder in eine logische Reihenfolge gebracht werden, noch können objektive Differenzen zwischen den Ausprägungen gebildet werden. Somit handelt es sich um nominalskalierte Daten. Der Modus ist das einzige Lagemaß der Statistik, welcher für diese Urliste:  „Hund, Katze, Maus, Hamster“ berechnet werden kann. Jedes einzelne Merkmal ist hier ein Modus. Ist die Urliste: „Hund, Katze, Maus, Hamster, Hund“, so ist das Merkmal „Hund“ der Modus.

Median 

Machen wir weiter mit dem Median. Er ist der zentrale Wert einer Liste, und kann mit Hilfe einer Formel berechnet werden. Jedoch kann dieses Lagemaß nur noch bei ordinalen und kardinalen Skalenniveaus angewandt werden. Er ist derjenige Wert, der „genau mittig“ liegt, nachdem man die Liste sortiert hat. Die genaue Bedeutung des Medians wird wieder durch die Definition und die Berechnung im Anschluss deutlich.

Median Definition Statistik

Der Median in der Statistik, welcher auch als Zentralwert bekannt ist, gibt als Lageparameter an, welcher Messwert genau in der Mitte einer sortierten Urliste liegt. Er Teilt die Messwerte somit in zwei gleich große Gruppen ein, welche Werte beinhalten, die entweder größer sind als der Median, oder kleiner.

Median berechnen

Zur Berechnung musst die Urliste von vorhin der Größe nach aufsteigend sortiert werden:

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Median berechnen

Im Allgemeinen gilt, dass bei einer ungeraden Anzahl von Ausprägungen der Median derjenige Wert ist, dessen Position genau in der Mitte der Urliste liegt. Das heißt, dass die Hälfte der Werte größer ist als der Median und die anderen 50% kleiner sind. Handelt es sich um eine Urliste mit einer geraden Anzahl an Datenwerten so ist der Median der Durchschnitt der beiden in der Mitte liegenden Werte. Um den Median zu ermitteln, unterscheiden wir zwischen zwei Formeln:

entweder ist die Anzahl n deiner Werte ungerade

x_{med}=x_\frac{n+1}{2}

oder gerade

x_{med}=\frac{1}{2}\left(x_\frac{n}{2}+x_{\frac{n}{2}+1}\right)

In unserem Beispiel verwenden wir also die erste Formel und erhalten als Ergebnis zwei.

Wenn wir jetzt noch einen weiteren beliebigen Wert an unsere Liste anhängen, müssen wir mit der zweiten Formel rechnen.

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Ergänzung der Urliste um einen weiteren Wert

Median Statistik Beispiel

Um den Unterschied zum Modus und Mittelwert an dieser Stelle hervorzuheben, folgt ein Beispiel mit ordinalskalierten Daten. Der Median soll für die Schulnoten eines Schülers berechnet werden. Der Schüler hat in Mathe die Note „sehr gut“, in Deutsch „gut“, in Englisch „mangelhaft“ und in Sport wieder „sehr gut“ . Sortiert man die Daten, erhält man folgende Urliste: „sehr gut, sehr gut, gut, mangelhaft“.  Der Median liegt in der Mitte der Datenliste, also in diesem Fall zwischen sehr gut und gut, da es sich um eine ungerade Anzahl an Datenwerten handelt. Folglich ist der Median der Durchschnitt von 1 und 2, also 1,5. Aber Vorsicht hierbei handelt es sich nicht um die Durchschnittsnote des Schülers!

Bedeutung Median Statistik

Das Besondere am Median ist, dass er durch sogenannte Ausreißer kaum beeinflusst wird, also dass er sozusagen „robust“ gegenüber Ausreißern sei. Dies wird durch das Schulnotenbeispiel deutlich, da die 5 die ansonsten sehr guten noten des Schülers bezüglich der Berechnug des Modus nicht beeinflusst. Dies gilt auch wenn  wir beispielsweise die 6 in unserer ungeraden Liste von vorhin zu einem sehr hohen Wert verändern, wie zum Beispiel 50. Der Median beträgt dann trotzdem noch zwei:

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Der Median ist robust gegenüber Ausreißern

Mittelwert 

Ganz anders verhält sich der Durchschnitt aller Ausprägungen, also der Mittelwert. Es lässt sich im Gegensatz zum Modus und Median nur für die Kardinalskala verwenden. Den Mittelwert findest du folglich nicht zwingenderweise direkt in deiner Urliste, sondern ermittelst diese neue Zahl auf Basis der gegebenen Werte.

Mittelwert Definition

Der Mittelwert, welcher auch als Durchschnitt oder Mittel bezeichnet wird, ist eine nach einer bestimmten Rechenvorschrift ermittelte Zahl. Meist ist das arithmetische Mittel der Statistik gemeint, welches die zentrale Tendenz einer Verteilung beschreibt.

Mittelwert Formel

Keine Sorge, die Schreibweise der Formel zu Berechnung des Mittelwertes wirkt auf den ersten Blick ziemlich kompliziert. Ist sie aber eigentlich gar nicht. Die Formel drückt lediglich aus, dass wir die Summe aller Werte durch die Anzahl der Werte in unserer Urliste teilen.

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Mittelwert Formel

Mittelwert berechnen

Für unser Beispiel bedeutet das also:

\bar{x}=\frac{1+2+2+5+6}{5}=3,2

Erhöhen wir erneut den letzten Wert auf 50 kommen wir auf folgendes Ergebnis:

\bar{x}=\frac{1+2+2+5+50}{5}=12

Du siehst, unser jetziges Mittelmaß wurde durch einen einzigen Ausreißer deutlich nach oben verzerrt. Führe dir also immer vor Augen, dass dieses Ergebnis nicht unbedingt zuverlässig interpretierbar ist.

Nun kannst du zu jedem Skalenniveau mindestens ein Lagemaß berechnen und weißt, was sie jeweils aussagen.


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