Deskriptive Statistik

Eine Variable
Mittelwert, Median und Modus

In diesem Beitrag zeigen wir dir die drei wichtigsten Lagemaße der Statistik: den Mittelwert, den Median und den Modus und erklären dir wie man sie jeweils berechnet.

Lagemaße zur Messung einer zentralen Tendenz in einer Datenmenge

Der Modus, der Median und das arithmetische Mittel sind die drei bekanntesten, sogenannten Lagemaße der Statistik. Mit ihnen versuchen wir eine zentrale Tendenz in einer Datenmenge zu erfassen. Deshalb werden sie öfter auch mal als Maße der zentralen Tendenz bezeichnet.

Aber wieso gibt es so viele unterschiedliche Lagemaße? Das hängt mit den verschiedenen Skalenniveaus zusammen. Je nachdem, welches Skalenniveau dein Datensatz hat, kannst du unterschiedliche Tendenzen berechnen.

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Je nachdem welche Skala ein Datensatz hat, kann man verschiedene Lagemaße verwenden

Der Modalwert als der häufigste Wert einer Stichprobe

Beginnen wir mit dem Modus, auch Modalwert genannt. Er ist einfach der am häufigsten auftretende Wert in deiner Verteilung. Seine Verwendung ist bei allen Skalenniveaus sinnvoll. Betrachten wir beispielsweise eine Urliste mit folgenden Werten:

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Der Modalwert kann bei allen Skalenniveaus berechnet werden

Dann ist der Modus deiner Verteilung gleich 2, also x_{mod}=2, einfach weil dieser Wert im Gegensatz zu den anderen Werten in der Liste zweimal vorkam.

Der Median als Zentralwert einer Urliste

Machen wir weiter mit dem Median. Er ist der zentrale Wert einer Liste, als derjenige Wert der „genau mittig“ liegt, nachdem man die Liste sortiert hat. Ihn kannst du nur noch bei ordinalen und kardinalen Skalenniveaus anwenden. Zur Berechnung musst du erstmal deine Urliste von vorhin der Größe nach aufsteigend sortieren:

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Den Median berechnet man bei ordinalen oder kardinalen Skalenniveaus

Nun unterscheiden wir zwischen zwei Formeln: entweder ist die Anzahl n deiner Werte ungerade

x_{med}=x_\frac{n+1}{2}

oder gerade

x_{med}=\frac{1}{2}\left(x_\frac{n}{2}+x_{\frac{n}{2}+1}\right)

In unserem Beispiel verwenden wir also die erste Formel und erhalten als Ergebnis zwei.

Wenn wir jetzt noch einen weiteren beliebigen Wert an unsere Liste anhängen, müssen wir mit der zweiten Formel rechnen.

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Ergänzung der Urliste um einen weiteren Wert

Das Besondere am Median ist, dass er durch sogenannte Ausreißer kaum beeinflusst wird, also dass er sozusagen „robust“ gegenüber Ausreißern sei. Verändern wir beispielsweise die sechs in unserer ungeraden Liste zu einem sehr hohen Wert, wie zum Beispiel 50, beträgt der Median trotzdem noch zwei:

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Der Median ist robust gegenüber Ausreißern

Der Mittelwert als die Hälfte der Summe zweier Größen

Ganz anders verhält sich da das arithmetische Mittel, auch Mittelmaß genannt. Es lässt sich nur für die Kardinalskala verwenden und man berechnet es mit folgender Formel:

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Das arithmetische Mittel kann man nur bei der Kardinalskala berechnen

Keine Sorge, die Schreibweise wirkt auf den ersten Blick ziemlich kompliziert. Ist sie aber eigentlich gar nicht. Die Formel drückt lediglich aus, dass wir die Summe aller Werte durch die Anzahl der Werte in unserer Urliste teilen. Für unser Beispiel bedeutet das also:

\bar{x}=\frac{1+2+2+5+6}{5}=3,2

Erhöhen wir erneut den letzten Wert auf 50 kommen wir auf folgendes Ergebnis:

\bar{x}=\frac{1+2+2+5+50}{5}=12

Du siehst, unser jetziges Mittelmaß wurde durch einen einzigen Ausreißer deutlich nach oben verzerrt. Führe dir also immer vor Augen, dass dieses Ergebnis nicht unbedingt zuverlässig interpretierbar ist.

Nun kannst du zu jedem Skalenniveau mindestens ein Lagemaß berechnen und weißt, was sie jeweils aussagen.

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