Deskriptive Statistik

Eine Variable
Quantile

Quantile sind ein weiteres Lagemaß in der Statistik und sozusagen ein Schwellenwert innerhalb einer Verteilung. In diesem Beitrag erklären wir sie dir genauer und zeigen wie man sie berechnet.

Quantile als Mengenteiler von Daten

Quantile gehören zu den Lagemaßen der Statistik. Genauer gesagt teilen sie eine bestimmte Menge an Daten so, dass ein Teil p kleiner oder gleich und der andere Teil 1-p größer oder gleich dem Quantil ist. Das 20%-Quantil oder auch 0.2-Quantil zum Beispiel sagt aus, dass genau 20 Prozent der Werte einer Verteilung unter dem Quantil liegen. Der Rest der Werte liegt darüber.

Quantile, Quartile
Quantile teilen eine bestimmte Menge an Daten

Quartile, Quintile, Dezile und Perzile

Du fragst dich wofür man so ein Lagemaß überhaupt braucht? Quantile sind sehr praktisch um Aussagen, wie: „20 Prozent der Studenten haben eine bessere Bachelornote als 1,8“, zu treffen. 1,8 wäre hier das 20%-Quantil.

Quantile, Quartile
Quantile sind nützlich für bestimmte Aussagen

Manche Quantile sind in der Statistik so wichtig, dass sie einen eigenen Namen bekommen haben. So ist das 50%-Quantil nichts anderes als der Median. Ist ja auch logisch. Er teilt die Verteilung genau in der Mitte. Dann gibt es noch Quartile. Sie unterteilen die Verteilung in vier gleich große Teile. Es gibt also das 0,25-Quantil, das 0,5-Quantil oder eben auch Median genannt und das 0,75-Quantil. Quartile sind in der Statistik die am häufigsten verwendete Form der Quantile.

Quantile, Quartile
Quartile unterteilen die Daten in vier Teile

Außerdem solltest du noch Quintile, Dezile und Perzentile kennen. Sie teilen die Verteilung in fünf, zehn, beziehungsweise 100 Teile auf und werden oft nur mit diesen Begriffen bezeichnet.

Berechnung von Quantilen – Beispiel

Nun wollen wir einmal selbst Quantile anhand eines Beispiels berechnen. Angenommen wir haben zwei Verteilungen:

Quantile, Quartile
Zwei Verteilungen

Für diese wollen wir das 25%-Quantil berechnen. Wir unterscheiden dabei zwischen zwei Formeln: eine, falls n mal p ganzzahlig ist und die andere, falls n mal p nicht ganzzahlig ist:

x_p=\ \frac{1}{2}(x_{\left(np\right)}+x_{\left(np+1\right)}) np ganzzahlig

x_p=x_{(\left\lfloor n p\right\rfloor+1)} np nicht ganzzahlig

Beginnen wir mit der ersten Verteilung. Hier ist n mal p gleich 2 und somit ganzzahlig.

n\ *\ p\ =8\bullet0,25=2

Wir rechnen:

Quantile, Quartile
Anwendung der ersten Formel

Das erste Quartil von der Verteilung ist 2,5. Das bedeutet, dass 25 Prozent der Werte kleiner als 2,5 sind.

Die zweite Verteilung gestaltet sich schon ein bisschen komplizierter. N mal p ist hier nämlich nicht ganzzahlig, weshalb wir die andere Formel verwenden müssen.

Quantile, Quartile
Anwendung der zweiten Formel

Die Klammer im Index bedeutet, dass wir den Wert zwischen der Klammer immer abrunden, egal wie nah er am nächsthöherem Wert liegt. Mit diesem Wissen ist die Berechnung aber sehr einfach und du kommst auf folgendes Ergebnis:

$x_{0,25}=x_{(\left\lfloor1,75\right\rfloor+1)}=x_{1+1}=1$

Das erste Quartil ist hier also 1.

Super! Jetzt kennst du die verschiedenen Bezeichnungen von Quantilen und weißt, wie man sie berechnet. Achte immer darauf, die richtige Formel zu benutzen, um auf ein richtiges Ergebnis zu kommen.

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