Was ist die harmonische Mittelgeschwindigkeit?

Die harmonische Mittelgeschwindigkeit ist die Durchschnittsgeschwindigkeit, die man für eine Fahrt mit mehreren Teilstrecken erhält, wenn man die einzelnen Geschwindigkeiten als Verhältnisgrößen zusammenfasst. Inhaltlich entspricht sie „Gesamtstrecke geteilt durch Gesamtzeit“ und berücksichtigt damit, wie lange jede Geschwindigkeit tatsächlich gefahren wird.

Wie berechnet man das harmonische Mittel?

Das harmonische Mittel berechnet man, indem man die Anzahl der Werte durch die Summe ihrer Kehrwerte teilt: . Konkret: Für , , gilt , also .

Wann verwendet man das harmonische Mittel statt des arithmetischen Mittels?

Das harmonische Mittel verwendet man, wenn man Verhältniszahlen mitteln will, also Größen „pro Einheit“ wie km/h oder Euro pro Stück. In solchen Situationen wäre das arithmetische Mittel der Quotienten oft irreführend, weil es die unterschiedlichen Anteile der zugrunde liegenden Einheiten nicht passend berücksichtigt.

Unter welchen Bedingungen ergibt das harmonische Mittel dieselbe Durchschnittsgeschwindigkeit wie das gewichtete arithmetische Mittel?

Das harmonische Mittel liefert dieselbe Durchschnittsgeschwindigkeit wie das gewichtete arithmetische Mittel, wenn das arithmetische Mittel mit den tatsächlich gefahrenen Zeiten je Teilstrecke gewichtet wird. Dann sind die Gewichte genau die Fahrzeiten zu den Strecken und Geschwindigkeiten .

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Harmonisches Mittel

Wichtige Inhalte in diesem Video

Harmonisches einfach erklärt

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Harmonisches Mittel Beispiel

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Harmonisches Mittel berechnen

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Harmonisches Mittel arithmetisches Mittel Unterschied

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Dieser Beitrag befasst sich mit dem harmonischen Mittel der Statisik, mit welchem sich Mittelwerte von Verhältniszahlen berechnen lassen.

Zu viel Text? Unser Video zur Anwendung des harmonischen Mittels verdeutlicht anhand eines einfachen Beispiels wie du das harmonische Mittel berechen kannst und wo der Unterschied zum gewichteten arithmetischen Mittel liegt.

Inhaltsübersicht

Harmonisches einfach erklärt

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Das harmonische Mittel ist ein Lageparameter der Statistik und kommt bei Verhältniszahlen zur Anwendung. Man berechnet mit ihm den Mittelwert der Menge dieser Zahlen. Als Verhältniszahlen werden Brüche bezeichnet, die eine Beziehung widerspiegeln. Also zum Beispiel Studenten pro Einwohner oder Preis pro Quadratmeter.

Harmonisches Mittel Beispiel

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Angenommen du machst einen Wochenendausflug und fährst eine dreiteilige Strecke. Der erste Streckenabschnitt ist 50 km lang und du fährst 150 km/h. Der zweite Streckenabschnitt ist 60 km lang und der dritte 90 km. Auf den letzten beiden Strecken fährst du 120km/h bzw. 90 km/h.

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Harmonisches Mittel berechnen

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Jetzt sollst du die Geschwindigkeit berechnen, mit der du durchschnittlich unterwegs warst. Da es sich bei der Geschwindigkeit ja um eine Verhältniszahl handelt, nämlich Kilometer pro Stunde, geht das mit dem harmonischen Mittel.

Harmonisches Mittel Formel

Die allgemeine Formel zur Berechnung sieht so aus:

Harmonisches Mittel Anwendung

Um die Durchschnittsgeschwindigkeit zu berechnen müssen wir unsere Formel von oben leicht abwandeln:

Du teilst also die Summe der Länge der Teilstrecke durch die Summe der Quotienten aus der Teilstrecke und der Geschwindigkeit der Teilstrecke. In unserem Beispiel rechnen wir also 50 plus 60 plus 90 geteilt durch 50 durch 150 plus 60 durch 120 plus 90 durch 90. Als Ergebnis erhalten wir eine Durchschnittsgeschwindigkeit von 109,09 km/h.

Harmonisches Mittel arithmetisches Mittel Unterschied

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(01:43)

Wenn du die Durchschnittsgeschwindigkeit mit dem normalen arithmetischen Mittel berechnest, würdest du eine falsche Lösung erhalten, weil du nicht berücksichtigst, dass du die verschiedenen Geschwindigkeiten ja unterschiedlich lange fährst. Es gibt aber einen Trick wie du auch mit dem arithmetischen Mittel auf die richtige Lösung kommst und zwar indem du die Geschwindigkeiten mit den Zeiten gewichtest. Die Formel dazu sieht so aus:

H_i steht dabei für die Zeit, die du brauchst um den jeweiligen Streckenabschnitt zurückzulegen und x_i steht wieder für die Geschwindigkeit. In unserem Beispiel würde die Rechnung also so aussehen:

Wie du siehst, kannst du also auch mit dem gewichteten arithmetischen Mittel auf das richtige Ergebnis kommen!

Jetzt weißt du wie du das harmonische Mittel berechnest und dass du mit dem gewichteten arithmetischen Mittel auf dasselbe Ergebnis kommst!

Harmonisches Mittel — häufigste Fragen

(ausklappen)

Was ist die harmonische Mittelgeschwindigkeit?

Die harmonische Mittelgeschwindigkeit ist die Durchschnittsgeschwindigkeit, die man für eine Fahrt mit mehreren Teilstrecken erhält, wenn man die einzelnen Geschwindigkeiten als Verhältnisgrößen zusammenfasst. Inhaltlich entspricht sie „Gesamtstrecke geteilt durch Gesamtzeit“ und berücksichtigt damit, wie lange jede Geschwindigkeit tatsächlich gefahren wird.
Wie berechnet man das harmonische Mittel?

Das harmonische Mittel berechnet man, indem man die Anzahl der Werte durch die Summe ihrer Kehrwerte teilt: $H=\frac{n}{\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{x_i}}$ . Konkret: Für , , gilt $\sum \frac{1}{x_i}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=1$ , also $H=\frac{3}{1}=3$ .
Wann verwendet man das harmonische Mittel statt des arithmetischen Mittels?

Das harmonische Mittel verwendet man, wenn man Verhältniszahlen mitteln will, also Größen „pro Einheit“ wie km/h oder Euro pro Stück. In solchen Situationen wäre das arithmetische Mittel der Quotienten oft irreführend, weil es die unterschiedlichen Anteile der zugrunde liegenden Einheiten nicht passend berücksichtigt.
Unter welchen Bedingungen ergibt das harmonische Mittel dieselbe Durchschnittsgeschwindigkeit wie das gewichtete arithmetische Mittel?

Das harmonische Mittel liefert dieselbe Durchschnittsgeschwindigkeit wie das gewichtete arithmetische Mittel, wenn das arithmetische Mittel mit den tatsächlich gefahrenen Zeiten je Teilstrecke gewichtet wird. Dann sind die Gewichte genau die Fahrzeiten $t_i=\frac{d_i}{v_i}$ zu den Strecken und Geschwindigkeiten .

Lageparameter verstehen

Das harmonische Mittel ist ein Lageparameter und gehört zu den Mitteln der Statistik. Wer sich mit Lageparametern beschäftigt, vergleicht verschiedene Arten von Durchschnittswerten und ihre passenden Einsatzbereiche. So wird klar, warum bei Verhältniszahlen nicht immer das arithmetische Mittel passt und wann ein anderer Mittelwert sinnvoll ist. Im Statistikbereich findest du passende Videos zu diesem und verwandten Themen.

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