Höhere Mathematik

Richtungsableitung

Inhaltsübersicht

Die Richtungsableitung gibt die lokale Änderungsrate des Funktionswertes einer reellwertigen Funktion bei einer Änderung der Funktionsvariablen in eine vorgegebene Richtung an. Entspricht diese Richtung derjenigen, des i-ten Basisvektors, so ist die Richtungsableitung gleich der i-ten partiellen Ableitung. Im Falle der totalen Differenzierbarkeit lässt sich auch mithilfe des Gradienten die Richtungsableitung berechnen.

Das Wichtigste rund um dieses Thema haben wir für Dich in unserem Video zusammengefasst!

Definition: Richtungsableitung

Sei U\subset \mathbb{R}^n offen und f:\ U\rightarrow\mathbb{R} eine reellwertige Funktion.

Sei weiterhin x_0\in\ U ein Punkt aus U und v \in \mathbb{R}^n ein Vektor mit \parallel\ v\parallel\ =1. Existiert der Grenzwert

D_vf\left(x_0\right)=\lim\limits_{h\rightarrow0}\ \frac{f{(x}_0+h\cdot v)-f(x_0)}{h}

so wird dieser Wert als die Richtungsableitung von f im Punkt x_0 in Richtung v bezeichnet.

Schreibweisen

Gelegentlich werden statt D_vf\left(x_0\right) auch folgende Schreibweisen verwendet:

\nabla_vf\left(x_0\right)

\partial_vf\left(x_0\right)

\frac{\partial f\left(x_0\right)}{v}

f_v^\prime\left(x_0\right)

Richtungsableitung Beispiel

Zur Verdeutlichung soll in einem Beispiel konkret gezeigt werden, wie die Richtungsableitung einer Funktion anhand der Definition berechnet werden kann. Hierzu soll die Ableitung für die Funktion f\left(x,y\right)=x^2+y^2 an der allgemeinen Stelle x_0=\left(x,y\right) in Richtung v = \left(1,1 \right) bestimmt werden.
Einsetzen in die Definition liefert:

D_vf\left(x_0\right)=\lim\limits_{h\rightarrow0}\ \frac{\left(x+h\right)^2+\left(y+h\right)^2-x^2-y^2}{h}

=\lim\limits_{h\rightarrow0}\ \frac{2xh+h^2+2yh+h^2}{h}

= 2x + 2y

Einseitige Richtungsableitung

Analog zur einseitigen Ableitung reellwertiger Funktionen einer Variablen lassen sich auch einseitige Richtungsableitungen definieren:

D_v^+f\left(x_0\right)=\lim\limits_{h\searrow0}\ \frac{f{(x}_0+h\cdot v)-f(x_0)}{h}

D_v^-f\left(x_0\right)=\lim\limits_{h\nearrow0}\ \frac{f{(x}_0+h\cdot v)-f(x_0)}{h}

Bedeutung der Richtungsableitung

Aus der Definition der Richtungsableitung lassen sich gewisse Ähnlichkeiten zum Differentialquotienten und zur Definition der partiellen Ableitung einer Funktion ablesen. Diese spiegeln sich auch in der Bedeutung der Richtungsableitung wieder.

Für Funktionen einer Variablen gibt der Differentialquotient bekannterweise die lokale Änderungsrate des Funktionswertes an der untersuchten Stelle an. Werden reellwertige Funktionen mehrerer Variablen untersucht, so geben die partiellen Ableitungen die lokale Änderungsrate bei einer Bewegung in eine der Koordinatenrichtungen an. Sie sind somit ein Spezialfall der Richtungsableitungen. Diese geben nämlich die lokale bzw. momentane Änderungsrate in eine durch den Vektor v vorgegebene Richtung an.

Richtungsableitung und partielle Ableitungen

Ist dieser vorgegebene Richtungsvektor v beispielsweise der i-te Basisvektor e_i, so gilt für die Ableitung in diese Richtung an der Stelle x_0={(x}_{0_1},\ldots,x_{0_i},\ldots,x_{0_n}):

D_{e_i}f\left(x_0\right)=\lim\limits_{h\rightarrow0}\ \frac{f{(x}_0+h\cdot e_i)-f(x_0)}{h}=\lim\limits_{h\rightarrow0}\ \frac{f{(x}_{0_1},\ldots,x_{0_i}+h,\ldots,x_{0_n})-f{(x}_{0_1},\ldots,x_{0_i},\ldots,x_{0_n})}{h}

Dies entspricht gerade der i-ten partiellen Ableitung von f in x_0:

D_{e_i}f\left(x_0\right)=\frac{\partial f}{\partial x_i}(x_0)

Wird eine reellwertige Funktion betrachtet, die von zwei Variablen abhängt, so kann deren Graph als dreidimensionale Hügellandschaft angesehen werden und die Bedeutung der Richtungsableitung lässt sich in diesem Fall gut veranschaulichen. Die x– und y-Komponente des Graphen sind die beiden Variablen der Funktion und die z-Komponente ist der Funktionswert an dieser Stelle. Die Richtungsableitung in Richtung v gibt dann die Steigung der Hügellandschaft an, wenn man sich von der Stelle x_0={(x}_{0_1},x_{0_2}) aus in die Richtung des Vektors v bewegen würde. Wird der Funktionsgraph mit einer Ebene geschnitten, die den Punkt \left(x_0,f(x_0)\right) enthält, senkrecht auf der xy-Ebene steht und in Richtung des Vektors v verläuft, so ergibt sich eine Schnittkurve, deren Tangentensteigung an der Stelle x_0 gerade die gesuchte Richtungsableitung ist.

Richtungsableitung: Steigung der Tangente (blau), Schnittkurve (gelb) des Funktionsgraphen (blau), Schnittebene in Richtung v

Richtungsableitung berechnen

In einem Beispiel wurde bereits gezeigt wie mittels der Definition die Richtungsableitung einer Funktion berechnet werden kann. Allerdings muss hierzu ein Grenzwert berechnet werden, was nicht immer so einfach gelingt, wie in dem gezeigten Beispiel. Daher wird die Richtungsableitung meist mithilfe des Gradienten der Funktion bestimmt. Es gilt nämlich ein sehr nützlicher Zusammenhang zwischen dem Gradienten der Funktion und den Richtungsableitungen.

Richtungsableitung und Gradient

Sei U \subset \mathbb{R}^n eine offene Menge und f:\ U\rightarrow\mathbb{R} eine stetig total differenzierbare Funktion. Sei außerdem x_0\in\ U ein Punkt aus U und v\in\mathbb{R}^n ein Vektor mit \parallel\ v\parallel\ =1. Dann gilt:

D_vf\left(x_0\right)=\ <grad(f)\left(x_0\right),\ v>

Dabei bezeichnet <\ .\ ,\ .\ > das gewöhnliche Skalarprodukt. Da der Gradient gerade die Transponierte der totalen Ableitung bzw. der Jacobi-Matrix Df\left(x_0\right) von f darstellt, kann diese Gleichung auch folgendermaßen geschrieben werden:

\ D_vf\left(x_0\right)=Df\left(x_0\right)\cdot \ v

Mit diesem Wissen lässt sich immer auf dieselbe Art und Weise vorgehen, um die Ableitung einer Funktion f an der Stelle x_0 in Richtung v zu berechnen. Dabei könnte es der Fall sein, dass der vorgegebene Richtungsvektor v noch nicht normiert ist, also noch nicht die Länge 1 besitzt. Um den richtigen Wert für die Ableitung zu erhalten, muss man diesen dann gegebenenfalls noch normieren. Die einzelnen Schritte zur Berechnung der Richtungsableitung sehen dann wie folgt aus:

I. Den Gradienten von f an der Stelle x_0 bestimmen:

grad(f)\left(x_0\right)

II. Den gegebenen Richtungsvektor v normieren:

v_n=\frac{v}{|v|}

III. Das Skalarprodukt des Gradienten und des normierten Vektors berechnen:

<grad(f)\left(x_0\right),\ v_n>

Die Berechnung der Richtungsableitung soll anhand eines Beispiels im Folgenden einmal dargelegt werden.

Beispiel: Richtungsableitung berechnen

Es soll die Ableitung der Funktion f\left(x,\ y\right)=x^2+3xy^2 an der Stelle x_0=\left(1,\ 1\right) in Richtung des Vektors v = \binom {4}{3} berechnet werden. Dazu werden die oben beschriebenen Schritte abgearbeitet:

I. Dem Gradienten von f an der Stelle \left(1,\ 1\right) bestimmen:

Der Gradient der Funktion f an der allgemeinen Stelle x_0 = \left(x, y \right) lautet:

grad\left(f\right)\left(x,y\right)= \binom {2x + 3y^3}{6xy}

Durch einsetzen der Stelle x_0 = \left(1, 1 \right) ergibt sich der gesuchte Gradient:

grad\left(f\right)\left(1,\ 1\right)= \binom {5}{6}

II. Den gegebenen Richtungsvektor v normieren:

v_n=\frac{v}{|v|}=\frac{v}{\sqrt{4^2+3^2}}=\frac{1}{5}v= \binom {4\backslash 5}{3\backslash 5}

III. Das Skalarprodukt des Gradienten und des normierten Vektors berechnen:

< \binom{5}{6},\binom {4\backslash 5}{3\backslash 5}> = 5 \cdot \frac{4}{5} + 6 \cdot \frac{3}{5} = 7 \frac{3}{5} = 7,6

Die gesuchte Richtungsableitung der Funktion besitzt also den Wert 7,6.


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