Was sagt die Standardabweichung aus?

Die Standardabweichung beschreibt, wie stark Werte im Durchschnitt vom Mittelwert abweichen. Sie hat dieselbe Einheit wie die Daten, bei Noten also Notenpunkte. Eine kleine Standardabweichung bedeutet, dass die meisten Noten nah am Durchschnitt liegen, eine große zeigt stark gemischte Noten.

Wann gilt eine Standardabweichung als klein oder groß?

Eine Standardabweichung gilt als klein oder groß nur im Vergleich dazu, wie stark die Werte grundsätzlich auseinanderliegen können. Liegt die Standardabweichung nahe bei 0, sind die Werte fast gleich. Ist die Standardabweichung im Verhältnis zur Spannweite der Werte groß, sind die Werte weit verteilt.

Bezieht sich die Standardabweichung auf den Mittelwert oder den Median?

Die Standardabweichung bezieht sich auf den Mittelwert, weil die Abweichungen als Abstand jedes Werts vom Mittelwert berechnet werden. Der Median spielt in dieser Rechnung keine Rolle. Deshalb ändert sich die Standardabweichung auch, wenn sich der Mittelwert der Daten ändert.

Ist die Standardabweichung gleich Sigma?

σ (gesprochen: Sigma) ist das Formelzeichen für die Standardabweichung der Grundgesamtheit. Mit Sigma ist also meist nur der Buchstabe gemeint, nicht eine andere Größe. Nicht verwechseln: Σ (großes Sigma) ist das Summenzeichen, mit dem man mehrere Terme addiert.

Video

Hier geht's zum Video „Standardabweichung Excel“

Standardabweichung

Wichtige Inhalte in diesem Video

Standardabweichung — einfach erklärt

(00:14)

Standardabweichung berechnen

(00:46)

Ergebnis der Standardabweichung

(02:35)

Du möchtest verstehen, was die Standardabweichung ist und wie du sie berechnest? Hier im Beitrag und im Video erklären wir dir alles Wichtige dazu!

Abiturvorbereitung

Klasse 11

Klasse 12

Klasse 13

Inhaltsübersicht

Standardabweichung — einfach erklärt

im Videozur Stelle im Video springen

(00:14)

Die Standardabweichung ist ein Maß dafür, wie sehr Werte von ihrem eigenen Durchschnittswert abweichen. Den Durchschnittswert nennst du auch Mittelwert.

Beispiel:

Sechs Schüler haben die Noten aus einer Mathe-Klausur bekommen. Die Verteilung der Noten sieht so aus:

Note x_i	1	2	3	4	5
Anzahl	1	2	2	1	0

Um die Standardabweichung zu berechnen, brauchst du zuerst den Mittelwert $\textcolor{red}{\mu}$ aller Noten:

$\textcolor{red}{\mu}= {\frac{(\textcolor{olive}{1} \cdot \textcolor{blue}{1}) + (\textcolor{olive}{2} \cdot \textcolor{blue}{2}) + (\textcolor{olive}{3} \cdot \textcolor{blue}{2}) + (\textcolor{olive}{4} \cdot \textcolor{blue}{1}) + (\textcolor{olive}{5} \cdot \textcolor{blue}{0})}{6}} = \frac{1+4 + 6 + 4}{6} = \frac{15}{6} = \textcolor{red}{2,5}$

Als Nächstes musst du die Häufigkeit p_i von jeder Note berechnen:

$p_1=\frac{\textcolor{blue}{1}}{6}\quad\quad p_2=\frac{\textcolor{blue}{2}}{6}\quad\quad p_3=\frac{\textcolor{blue}{2}}{6}\quad\quad p_4=\frac{\textcolor{blue}{1}}{6}\quad\quad p_5=\frac{\textcolor{blue}{0}}{6}$

Nun kannst du die Standardabweichung $\sigma$ mit der Formel berechnen:

$\begin{align*} \sigma &=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}{(\textcolor{olive}{x_i}-\textcolor{red}{\mu})}^2\cdot p_i} \\ &\\ &=\sqrt{(\textcolor{olive}{1} - \textcolor{red}{2,5})^2 \cdot \frac {\textcolor{blue}{1}}{6} + (\textcolor{olive}{2} - \textcolor{red}{2,5})^2 \cdot \frac {\textcolor{blue}{2}}{6} +(\textcolor{olive}{3} - \textcolor{red}{2,5})^2 \cdot \frac {\textcolor{blue}{2}}{6} +(\textcolor{olive}{4} - \textcolor{red}{2,5})^2 \cdot \frac {\textcolor{blue}{1}}{6} + (\textcolor{olive}{5} - \textcolor{red}{2,5})^2 \cdot \frac {\textcolor{blue}{0}}{6}} \\ &\\ &= \sqrt{0,9166}\\ &\\ &\approx 0,96 \end{align*}$

Eine Standardabweichung von etwa 0,96 bedeutet in diesem Fall, dass die Noten der Schüler relativ nah am Mittelwert liegen.

Standardabweichung Formel

Für die Berechnung brauchst du die Formel der Standardabweichung. Die Formel sieht so aus:

Formel der Standardabweichung — Grundgesamtheit

${\sigma}=\sqrt{\text{VAR}}= \sqrt{\sum_{i=1}^{n}{(x_i-\mu)}^2\cdot p_i }=$

$= \sqrt{{(x_1-\mu)}^2\cdot p_1 + {(x_2-\mu)}^2\cdot p_2 +...+ {(x_n-\mu)}^2\cdot p_n}}$

$\sigma$ ist das Abkürzung für die Standardabweichung (der Grundgesamtheit)
$\mu$ ist der Mittelwert, bzw. Erwartungswert
ist das einzelne Ergebnis des Zufallsexperiments
${(x_i - \mu)}^2$ ist die quadratische Abweichung
$\sum_{i=1}^{n}$ beschreibt, dass eine Summe der quadrierten Abweichungen vom Mittelwert berechnet wird
ist der Gewichtungsfaktor

Die Standardabweichung ist also die Wurzel der Varianz.

Studyflix vernetzt: Hier ein Video aus einem anderen Bereich

Standardabweichung berechnen

im Videozur Stelle im Video springen

(00:46)

Die Standard abweichung kannst du mit der Formel in vier Schritten berechnen:

Den Mittelwert berechnen
Die Wahrscheinlichkeiten berechnen
Die Werte in die Formel einsetzen
Die Formel ausrechnen

Das gehen wir jetzt Schritt für Schritt durch.

Schritt 1: Den Mittelwert berechnen

Um den Mittelwert $\mu$ zu berechnen, addierst du zuerst alle deine Werte. Dann teilst du die Summe durch die Anzahl der Werte.

Für das Beispiel der fünf Schüler brauchst du den Mittelwert aller Noten.

Note	1	2	3	4	5
Anzahl	0	2	2	1	0

Es gibt zweimal die Note 2, zweimal die 3 und einmal die 4. Insgesamt gibt es fünf Noten. Also berechnest du den Mittelwert so:

$\textcolor{red}{\mu} = {\frac{(\textcolor{olive}{1} \cdot \textcolor{blue}{0}) + (\textcolor{olive}{2} \cdot \textcolor{blue}{2}) + (\textcolor{olive}{3} \cdot \textcolor{blue}{2}) + (\textcolor{olive}{4} \cdot \textcolor{blue}{1}) + (\textcolor{olive}{5} \cdot \textcolor{blue}{0})}{5}} = \frac{4 + 6 + 4}{5} = \frac{14}{5} = \textcolor{red}{2,8}$

Schritt 2: Die Wahrscheinlichkeiten berechnen

Der nächste Schritt ist die Berechnung der relativen Häufigkeit p_i für jede Note. Das zeigt dir, wie jeder Wert im Vergleich zur Gesamtanzahl der Werte gewichtet wird.

Im Beispiel sieht das so aus:

Für Note 1: $p_1 = \frac{\textcolor{blue}0}{5}$
Für Note 2: $p_2 = \frac{\textcolor{blue}2}{5}$
Für Note 3: $p_3 = \frac{\textcolor{blue}2}{5}$
Für Note 4: $p_4 = \frac{\textcolor{blue}1}{5}$
Für Note 5: $p_5 = \frac{\textcolor{blue}0}{5}$

Expertenwissen

Wenn alle Ereignisse gleich wahrscheinlich sind, kannst du statt mit p_izu multiplizieren auch durch die Gesammtzahl n teilen.

$\frac{(x_i - \mu)^2}{n}$

Schritt 3: Setze alle Werte in die Formel ein

Nun setzt du alle Werte in die Formel für die Standardabweichung ein.

$\begin{align*} \sigma &=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}{(\textcolor{olive}{x_i}-\textcolor{red}{\mu})}^2\cdot p_i} \\ &\\ &=\sqrt{(\textcolor{olive}{1} - \textcolor{red}{2,8})^2 \cdot \frac {\textcolor{blue}{0}}{5} + (\textcolor{olive}{2} - \textcolor{red}{2,8})^2 \cdot \frac {\textcolor{blue}{2}}{5} +(\textcolor{olive}{3} - \textcolor{red}{2,8})^2 \cdot \frac {\textcolor{blue}{2}}{5} +(\textcolor{olive}{4} - \textcolor{red}{2,8})^2 \cdot \frac {\textcolor{blue}{1}}{5} + (\textcolor{olive}{5} - \textcolor{red}{2,8})^2 \cdot \frac {\textcolor{blue}{0}}{5}} \end{align*}$

Wichtig: Die Formel der Standardabweichung kannst du auf zwei Weisen aufschreiben: Eine Möglichkeit ist es, wie wir es machen: Du multiplizierst die quadrierten Differenzen mit ihrem jeweiligen Gewichtungsfaktor p_i, wie $\frac{2}{5}$ oder $\frac{1}{5}$ .

Die zweite Variante ist es, die quadrierten Differenzen zuerst mit der Anzahl der Noten zu multiplizieren. Anschließend teilst du durch die Gesamtzahl aller Noten.

Schritt 4: Die Formel ausrechnen

Als Letztes musst du die Formel ausrechnen. Dazu berechnest du als Erstes die Differenzen und quadrierst sie.

$\begin{align*} \sigma&=\sqrt{(\textcolor{olive}{1} - \textcolor{red}{2,8})^2 \cdot \frac {\textcolor{blue}{0}}{5} + (\textcolor{olive}{2} - \textcolor{red}{2,8})^2 \cdot \frac {\textcolor{blue}{2}}{5} +(\textcolor{olive}{3} - \textcolor{red}{2,8})^2 \cdot \frac {\textcolor{blue}{2}}{5} +(\textcolor{olive}{4} - \textcolor{red}{2,8})^2 \cdot \frac {\textcolor{blue}{1}}{5} + (\textcolor{olive}{5} - \textcolor{red}{2,8})^2 \cdot \frac {\textcolor{blue}{0}}{5}}\\ &=\sqrt{(-1,8)^2 \cdot \frac {\textcolor{blue}{0}}{5} + (-0,8)^2 \cdot \frac {\textcolor{blue}{2}}{5} +(0,2)^2 \cdot \frac {\textcolor{blue}{2}}{5} +(1,2)^2 \cdot \frac {\textcolor{blue}{1}}{5} + (2,2)^2 \cdot \frac {\textcolor{blue}{0}}{5}}\\ &=\sqrt{3,24 \cdot \frac {\textcolor{blue}{0}}{5} + 0,64 \cdot \frac {\textcolor{blue}{2}}{5} +0,04 \cdot \frac {\textcolor{blue}{2}}{5} +1,44 \cdot \frac {\textcolor{blue}{1}}{5} +4,84 \cdot \frac {\textcolor{blue}{0}}{5}}\\ \end{align*}$

Dann multiplizierst du jeweils die relativen Häufigkeiten.

$\begin{align*} \sigma&=\sqrt{0+ 0,256 +0,016 + 0,288 +0}\\ \end{align*}$

Zum Schluss addierst du alles und ziehst die Wurzel.

$\begin{align*} \sigma&=\sqrt{0,56}\approx 0,75 \end{align*}$

Ergebnis der Standardabweichung

im Videozur Stelle im Video springen

(02:35)

Doch was sagt das Ergebnis jetzt aus? Hier sind einige Schlüsselpunkte zur Interpretation:

Niedrige Standardabweichung: Wenn die Standardabweichung klein ist, bedeutet das, dass die meisten Datenpunkte nah am Mittelwert liegen. Bei unserem Noten-Beispiel: Je kleiner die Standardabweichung, desto ähnlicher sind die Noten.
Hohe Standardabweichung: Eine hohe Standardabweichung zeigt an, dass die Daten weit um den Mittelwert verstreut sind. Das bedeutet, es gibt eine große Variabilität und die Werte können sehr unterschiedlich sein. Es gibt zum Beispiel viele Einser und viele Fünfer.
Null: Wenn die Standardabweichung null ist, haben alle Datenpunkte den gleichen Wert — sie sind also identisch. Zum Beispiel haben alle Schüler die Note 3.

Formel der Standardabweichung — Stichprobe

Für die Berechnung einer Stichprobe lautet die Formel der Standardabweichung:

$s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2}$

ist das Kürzel für die Standardabweichung der Stichprobe
ist die Anzahl der Beobachtungen in der Stichprobe
steht für die Anpassung der Freiheitsgrade in der Formel, um eine genauere Schätzung der Populationsstreuung zu gewährleisten, indem es eine Überbewertung der Stichprobenvarianz verhindert

Standardabweichung Excel

Jetzt weißt du, was die Standardabweichung ist und wie du sie berechnest. Möchtest du auch lernen, wie du die Standardabweichung ganz einfach mit Excel berechnen kannst? Hier zeigen wir dir Schritt für Schritt zeigt, wie das geht.

Standardabweichung — häufigste Fragen

(ausklappen)

Was sagt die Standardabweichung aus?

Die Standardabweichung beschreibt, wie stark Werte im Durchschnitt vom Mittelwert abweichen. Sie hat dieselbe Einheit wie die Daten, bei Noten also Notenpunkte. Eine kleine Standardabweichung bedeutet, dass die meisten Noten nah am Durchschnitt liegen, eine große zeigt stark gemischte Noten.
Wann gilt eine Standardabweichung als klein oder groß?

Eine Standardabweichung gilt als klein oder groß nur im Vergleich dazu, wie stark die Werte grundsätzlich auseinanderliegen können. Liegt die Standardabweichung nahe bei 0, sind die Werte fast gleich. Ist die Standardabweichung im Verhältnis zur Spannweite der Werte groß, sind die Werte weit verteilt.
Bezieht sich die Standardabweichung auf den Mittelwert oder den Median?

Die Standardabweichung bezieht sich auf den Mittelwert, weil die Abweichungen als Abstand jedes Werts vom Mittelwert berechnet werden. Der Median spielt in dieser Rechnung keine Rolle. Deshalb ändert sich die Standardabweichung auch, wenn sich der Mittelwert der Daten ändert.
Ist die Standardabweichung gleich Sigma?

σ (gesprochen: Sigma) ist das Formelzeichen für die Standardabweichung der Grundgesamtheit. Mit Sigma ist also meist nur der Buchstabe gemeint, nicht eine andere Größe. Nicht verwechseln: Σ (großes Sigma) ist das Summenzeichen, mit dem man mehrere Terme addiert.

Streuungsmaße verstehen

Die Standardabweichung ist ein wichtiges Streuungsmaß in der Statistik und beschreibt, wie weit Werte um einen Mittelwert verteilt sind. Wer sich mit Streuungsmaßen beschäftigt, vergleicht Datensätze und schaut, wie ähnlich oder wie unterschiedlich ihre Werte sind. So wird klar, was eine kleine oder große Streuung über eine Verteilung aussagt. Im Statistikbereich findest du passende Videos zu diesem und verwandten Themen.

zur Videoseite: Standardabweichung