Digitaltechnik

Digitaler Schaltkreis
Boolesche Algebra vereinfachen

Du verstehst nicht, wie du boolesche Algebra vereinfachen kannst? Wir zeigen dir, wie du die Gleichungen ganz einfachen umformen kannst.

Boolesche Algebra vereinfachen Beispiel

Beginnen wir doch gleich mit einem Beispiel. Nehmen wir an, wir haben folgenden Schaltkreis vor uns liegen:

Boolesche Algebra vereinfachen
Boolesche Algebra vereinfachen

Schauen wir uns die Schaltung doch einmal genau an. Wir haben zwei Inputs A und B. Input A wird zunächst aufgeteilt und mithilfe eines NOT-Gatters invertiert. Anschließend folgt oben ein NAND-Gatter mit Input A und B. Darunter haben wir ein NOR-Gatter mit den Inputs B und nicht A. Das Output dieser beider Gatter stellt wiederum das Input für das Und-Gatter am Ende dar. Hast du auch alle Gatter gleich erkannt?

Darstellung in algebraischer Form

Nun versuchen wir die Schaltung in algebraischer Form darzustellen. Für das NAND-Gatter oben erhalten wir Nicht A und B, für das NOR-Gatter Nicht (Nicht A oder B). Das NAND-Gatter am Ende führt lediglich zu einer Addition beider Outputs. Das heißt unsere Funktion für die Schaltung ist:

f=\overline{AB}+\overline{\overline{A}+B}

Mithilfe der De Morganschen Gesetze wollen wir diese Gleichung nun vereinfachen.

1: \overline{A\ast B} = \overline{A} + \overline{B}

2: \overline{A+B} = \overline{A} \ast \overline{B}

Wir wenden zunächst das 1. Gesetz auf den ersten Teil der Gleichung an und das 2. Gesetz auf den zweiten Teil der Gleichung. Somit erhalten wir folgende Funktion:

Beispiel
Beispiel

Durch die boolschen Algebra Regeln wissen wir, dass Nicht (Nicht A) gleich A ist. Nun klammern wir \overline{B} aus. Eine Variable plus 1 ergibt in der booleschen Algebra immer 1, deshalb können wir den letzten Term streichen. Nun wenden wir wieder das 1. De Morgansche Gesetz an, diesmal allerdings anders herum. Wir erhalten folgenden algebraischen Ausdruck:

\overline{AB}

Dieser Ausdruck entspricht der Gleichung für die Funktion eines NAND-Gatters. Du kannst also das obige Schaltsystem einfach durch ein solches ersetzen und hast somit drei weitere Bauteile eingespart. Dies ist der Grund warum die De Morganschen Gesetze in der Digitaltechnik sehr wichtig sind.

Wir haben nun gelernt, wie wir die De Morganschen Gesetze anwenden können und dies mit unseren Kenntnissen über Logikgatter und die boolschen Algebra-Gesetze verknüpft.

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