Digitaltechnik

Logikgatter
XOR-Gatter

Du möchtest wissen, was ein XOR-Gatter ist? Im Folgenden zeigen wir dir, die Wahrheitstabelle, den booleschen Ausdruck und wie du es durch andere Gatter darstellen kannst.

Kombinationen und Schaltsymbol

Wie beispielsweise auch das NAND- und das NOR-Gatter ist das XOR-Gatter eine Kombination aus den drei grundlegenden Logikfunktionen UND, ODER und NICHT.

XOR-Gatter
Schaltsymbol

Das XOR-Gatter wird auch als Exklusiv-Oder-Gatter und als Antivalenz Gatter bezeichnet. Im deutschsprachigen Raum sind für die Funktion folgende Symbole üblich.

Wahrheitstabelle und boolesche Ausdruck

Betrachte wir nun die zugehörige Wahrheitstabelle für unser Logikgatter.

XOR-Gatter Wahrheitstabelle
Wahrheitstabelle

Bei einem XOR-Gatter ist der Output nur 1, wenn eine ungerade Anzahl des Inputs auch 1 ist. Ist die Anzahl der Highs gerade, ist der Output 0. In der Booleschen Algebra wird die Funktion wie folgt dargestellt:

X=A\ \underline{\bigvee}\ B\ \underline{\bigvee}\ C
X=A\oplus B\ \oplus C

 

XOR-Gatter aus NAND

Wir können alle Gatter auch mit diesen beiden Funktionen darstellen. Das Schaltbild für eine äquivalente Schaltung für das XOR-Gatter, bestehend aus NAND-Gattern sieht beispielsweise so aus:

XOR-Gatter
Umwandlung

Hierbei werden drei NAND-Gatter zu einem XOR-Gatter zusammengeschlossen. Ob die beiden Gatter tatsächlich miteinander übereinstimmen, kannst du mithilfe einer Wahrheitstabelle prüfen. Wie du sehen kannst, hast du zunächst vier Inputs A, \overline {A}, B und \overline {B}. Nicht A und Nicht B entsprechen in der Wahrheitstabelle jeweils dem Gegenwert von A und B. Also aus 1 wird 0 und umgekehrt. Nun folgen zwei NAND-Gatter, eines mit dem Input (Nicht A) und B und eines mit dem Input A und (Nicht B).

XOR-Gatter Wahrheitstabelle
Wahrheitstabelle Beispiel

Für den Output X_1 des oberen NAND-Gatters musst du nun zuerst den Input miteinander malnehmen dann das Ergebnis umdrehen. Es ergibt sich nun: 1011. Algebraisch kannst du das auch so ausdrücken:

X_1=\overline{\overline{A}}B

Versuche nun Output X_2 selbst aufzustellen. Kommst du auch auf folgendes Ergebnis? Die beiden Ergebnisse X_1 und X_2 dienen nun als Input für das letzte NAND-Gatter. Hier gehst du analog zum letzten Schritt vor. Wir nehmen die Inputs miteinander mal und drehen den Output um.

Wenn du das Ergebnis mit der Wahrheitstabelle für ein XOR-Gatter mit zwei Inputs vergleichst, wirst du sehen, dass der Output übereinstimmt. Alternativ kannst du die vier Inputs auch durch ein weiteres NAND-Gatter ersetzen.

Grundsätzlich kann man alle Gatter mit beliebiger Inputzahl durch NAND-Gatter darstellen, dies wird mit steigender Inputanzahl jedoch immer komplexer.

Du kennst nun das XOR-Gatter und kannst es auch durch NAND-Gatter darstellen. Außerdem haben wir unser Wissen über Wahrheitstabellen an einem Beispiel praktisch angewandt!

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