Höhere Mathematik

Linearisierung

Inhaltsübersicht

Bei der Linearisierung einer Funktion f wird diese um eine Stelle x_0 durch eine affin lineare Funktion g genähert. Das Verfahren zur Auffindung dieser Näherungsfunktion g wird auch als lineare Approximation bezeichnet. Da f lokal um eine Stelle x_0 linearisiert wird, spricht man manchmal auch von lokaler Linearisierung bzw. lokaler linearer Approximation.

Lineare Approximation und Ableitung

Um eine gute Näherung zu erhalten, muss der Funktionswert von g an der Stelle x_0 auf jeden Fall dem Funktionswert von f an dieser Stelle entsprechen. Es muss also gelten:

g(x_0)=f(x_0)

Geradengleichung

Im Falle eindimensionaler reellwertiger Funktionen, die eine reelle Zahl wieder auf eine reelle Zahl abbilden, ist eine affin lineare Funktion g, die durch den Punkt (x_0,f(x_0)) läuft, von folgender Form:

g(x)=f(x_0)+m\cdot (x-x_0)

Der Graph von g ist eine Gerade, die durch den Punkt (x_0,f(x_0)) läuft und die Steigung m besitzt. Wenn wir die Linearisierung eines Funktionsgraphens von f graphisch darstellen, sieht das folgendermaßen aus:

Linearisierung einer Funktion Graph Linearisierung
Linearisierung einer Funktion

Dabei verläuft f (weiß) an der Stelle x_0 durch die Geraden g (blau) mit unterschiedlicher Steigung m.

Für die beste lineare Approximation gilt es nun diejenige Steigung m zu finden, für die der Graph von g um die Stelle x_0 möglichst gut zum Graphen von f passt. Mit anderen Worten: Die Graphen von f und g sollten in der Nähe von x_0 nicht weit auseinander liegen, d.h. die Differenz zwischen f und g sollte möglichst klein sein.

Restfunktion

Diese Differenz wird in Abhängigkeit von der Stelle x, an der sie betrachtet wird, als Restfunktion

r(x)=f(x)-g(x)

bezeichnet.

Hier siehst du die lineare Approximation des Graphen von f (weiß) um die Stelle x_0 durch eine Gerade g (gelb) mit eingezeichneter Restfunktion r (weiß):

Linearisierung Lineare Funktion Darstellung
Linearisierung Darstellung

Durch Einsetzen der Funktionsgleichung von g ergibt sich:

r(x)=f(x)-f(x_0)-m\cdot (x-x_0)

Da die lineare Approximation vor allem in der Nähe von x_0 gut sein soll, wird das Verhalten der Restfunktion r(x) für den Grenzfall x\rightarrow x_0 betrachtet:

\lim\limits_{x\to\ x_0}⁡ r(x)=\lim\limits_{x\to\ x_0} [f(x)-f(x_0)-m\cdot (x-x_0)]

Dieser Grenzwert ergibt allerdings unabhängig von der Steigung m für stetige Funktionen f immer den Wert 0. Für in x_0 stetige Funktionen gilt nämlich \lim\limits_{x\to\ x_0} f(x)-f(x_0)=0 und offensichtlich gilt außerdem \lim\limits_{x\to\ x_0} m\cdot (x-x_0)=0.

Auf diese Art lässt sich also nicht untersuchen, für welche Steigung m die affin lineare Funktion g besonders gut die Ausgangsfunktion f nähert.

Zur genaueren Untersuchung eignet sich hingegen der folgende Grenzwert:

\frac{\lim\limits_{x\to\ x_0} r(x)}{(x-x_0)}

Durch Einsetzen der Restfunktion r(x) ergibt sich folgender Ausdruck:

\frac{\lim\limits_{x\to\ x_0} r(x)}{x-x_0}=\frac{\lim\limits_{x\to\ x_0} (f(x)-f(x_0 )-m\cdot (x-x_0))}{x-x_0 }=\frac{\lim\limits_{x\to\ x_0} (f(x)-f(x_0))}{x-x_0}-m

Differenzierbarkeit

Ist die Funktion f an der Stelle x_0 differenzierbar, so existiert der Grenzwert \lim\limits_{x\to\x_0} \frac{(f(x)-f(x_0 )}{x-x_0}, der in diesem Ausdruck auftaucht. Dieser ist gerade der Differentialquotient bzw. die Ableitung f^' (x_0) von f an der Stelle x_0. Ist also f an der Stelle x_0 differenzierbar, so gilt:

\frac{\lim\limits_{x\to\x_0} r(x)}{x-x_0}=f' (x_0)-m

Dieser Ausdruck verschwindet genau dann, wenn die Steigung m der Linearisierung g gerade die Ableitung f'(x_0 ) von f an der Stelle x_0 ist. Man erhält also zwischen der Linearisierung
g(x)=f(x_0)+m\cdot (x-x_0) und der Differenzierbarkeit folgenden Zusammenhang:

Eine eindimensionale reellwertige Funktion f lässt sich genau dann um die Stelle x_0 linearisieren, wenn sie dort differenzierbar ist. Das ist der Fall, wenn es eine Konstante m gibt, sodass gilt:

\frac{\lim\limits_{x\to\x_0} r(x)}{x-x_0} =\frac{\lim\limits_{x\to\x_0} (f(x)-g(x)}{x-x_0}=\frac{\lim\limits_{x\to\x_0} (f(x)-f(x_0)-m\cdot (x-x_0 ))}{x-x_0}=0

Häufig zu sehen ist auch eine andere Schreibweise dieser Bedingung, welche man erhält, indem man x durch x_0+h ersetzt. Dadurch wird aus dem Grenzübergang x \rightarrow x_0 der Übergang h\rightarrow 0 und die gesamte Bedingung lautet:

\lim\limits_{h\to\ 0} \frac{r(x_0+h)}{h}=\lim\limits_{h\to\ 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)-m\cdot h}{h}=0

Ist f in x_0 differenzierbar, so ist die Konstante m gerade die Ableitung f' (x_0) von f an der Stelle x_0.

Tangente

Für eindimensionale reellwertige Funktionen ist der Graph der Linearisierung g die Tangente an den Graphen von f an der Stelle x_0. Die Funktionsgleichung von g ist somit die entsprechende Tangentengleichung und lautet:

g(x)=f(x_0)+f' (x_0)\cdot (x-x_0)

Tangentialebene

Wird eine reellwertige Funktion betrachtet, die von zwei Variablen x und y abhängt, so stellt der Graph der Linearisierung g die Tangentialebene an den dreidimensionalen Graphen von f dar. In diesem Fall lautet die Funktionsgleichung von g nämlich:

g(x,y)=f(x_0,y_0)+(\frac {\partial f}{\partial x} (x_0,y_0),\frac {\partial f}{\partial y} (x_0,y_0))\cdot (\begin{array}{rr}x-x_0\\y-y_0\end {array})

=f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x} (x_0,y_0)\cdot (x-x_0)+\frac {\partial f}{\partial y} (x_0,y_0 )\cdot (y-y_0)

Diese Gleichung stellt eine typische Ebenengleichung dar.

Durch Betrachtung der Funktionsgleichung der Linearisierung g wird ersichtlich, dass diese stets genau das Taylorpolynom bis zum linearen Glied darstellt.

Linearisierung einer DGL

Linearisierung kann auch im Bereich der Differentialgleichungen von Nutzen sein. Häufig ist es nämlich möglich eine DGL (Differentialgleichung) zu linearisieren, um die Auffindung ihrer Lösung dadurch zu vereinfachen. Die DGL wird dabei um ihre Ruhelage bzw. den Arbeitspunkt linearisiert.
Ein Beispiel hierfür ist die Linearisierung der Bewegungsgleichung eines Pendels:

\varphi (t)+\frac{g}{l}\cdot sin(\varphi (t))=0

Hier kann nämlich sin((\varphi )t) für kleine Winkel \varphi, also um die Stelle \varphi_0=0 durch die Funktion

sin(\varphi (t))\approx sin(\varphi_0 (t))+cos(\varphi_0 (t))\cdot (\varphi (t)-\varphi_0 (t))=\varphi(t)

genähert werden. Die DGL vereinfacht sich dann zu:

\varphi (t)+\frac{g}{l}⋅\varphi (t)=0

Beispiel – Linearisierung einer Funktion

Die Linearisierung einer Funktion f soll am Beispiel der Wurzelfunktion f(x)=\sqrt{x} illustriert werden. Diese soll um die Stelle x_0=9 linear approximiert werden. Dazu wird zunächst die Ableitung f' (x_0)=\frac{1}{\sqrt[2]{x_0}} =\frac{1}{6} bestimmt und anschließend dieser Wert sowie f(x_0)=3 und x_0=9 in die Gleichung

g(x)=f(x_0)+f'(x_0 )\cdot (x-x_0)

eingesetzt. Die Linearisierung bzw. die Tagentengleichung von f an der Stelle x_0 lautet also:

g(x)=3+\frac{1}{6}⋅(x-9)

Mit dieser Funktion g(x) wird die Wurzelfunktion f(x)=\sqrt{x} um die Stelle x_0=9 also am besten genähert.

Es gilt beispielsweise: \sqrt{10}\approx 3,1623 und g(10)\approx 3,1667. Die Lineare Approximation der Wurzelfunktion durch die Funktion g(x) ist also auch an der Stelle x=10 noch relativ gut.

Es soll im Folgenden noch die Differenzierbarkeit der Wurzelfunktion an der Stelle x_0=9 mithilfe der Linearisierung g(x) gezeigt werden.

Die Restfunktion r(x) lautet in diesem Beispiel:

r(x)=f(x)-g(x)=\sqrt{x}-3-\frac{1}{6}\cdot (x-9)

Der für die Differenzierbarkeit zu untersuchende Grenzwert lautet demnach:

\lim\limits_{x\to\ x_0} \frac {r(x)}{x-x_0} =\lim\limits_{x\to\ 9} \frac {\sqrt{x}-3-\frac {1}{6}\cdot (x-9)}{x-9} =\lim\limits_{x\to\ 9} \frac{\sqrt{x}-3}{x-9}-\frac{1}{6}

Durch Erweitern des linken Quotienten um den Faktor \sqrt{x}+3 vereinfacht sich dieser Ausdruck gemäß:

\lim\limits_{x\to\ 9} \frac{r(x)}{x-9}=\lim\limits_{x\to\ 9} \frac{(\sqrt{x}-3)\cdot (\sqrt{x}+3)}{(x-9)\cdot (\sqrt{x}+3)}-\frac{1}{6}=\lim\limits_{x\to\ 9}\frac{(x-9)}{(x-9)\cdot (\sqrt{x}+3)}-\frac{1}{6}=

=\lim\limits_{x\to\ 9} \frac{1}{\sqrt{x}+3}-\frac{1}{6}=0

So wurde also nochmal explizit überprüft, dass die Wurzelfunktion an der Stelle x_0=9 differenzierbar ist und die Ableitung f' (9)= \frac{1}{6} besitzt.


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