Was ist eine Taylorreihe und wofuer braucht man sie in der Praxis?

Eine Taylorreihe ist eine Darstellung einer Funktion als Potenzreihe um einen Entwicklungspunkt . In der Praxis nutzt du sie, um komplizierte Funktionen nahe bei durch ein Polynom zu approximieren, weil sich Polynome leichter ableiten, integrieren und numerisch auswerten lassen.

Welche Ableitungen brauche ich, um eine Funktion um einen Entwicklungspunkt als Taylorpolynom darzustellen?

Für ein Taylorpolynom bis zur Ordnung um den Entwicklungspunkt brauchst du die Werte . Konkret: Für ein Polynom bis zur dritten Ordnung um benötigst du , , und .

Wie stelle ich ein Taylorpolynom zu einer bestimmten Ordnung auf, wenn der Entwicklungspunkt null ist?

Wenn der Entwicklungspunkt ist, heißt das Taylorpolynom auch Maclaurin-Polynom und lautet . Beispiel: Für bis Ordnung bekommst du .

Welche Rechenregeln gelten fuer Taylorreihen bei Summe und Produkt?

Für Taylorreihen um denselben Entwicklungspunkt gilt: und beim Produkt (formal als Produkt der Potenzreihen). Beispiel: Wenn und , dann ist das Produkt-Taylorpolynom .

Wie kann ich mit bekannten Taylorreihen die Taylorreihe von Tangens um null bestimmen, ohne Tangens mehrfach abzuleiten?

Die Taylorreihe von um bestimmst du über und setzt die bekannten Reihen für und ein. Dann entwickelst du als Reihe und multiplizierst aus. So erhältst du , zum Beispiel bei ungefähr .

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Taylorreihen

Du fragst dich, was Taylorreihen sind? Im folgenden Beitrag erklären wir dir Schritt für Schritt, was es mit den Taylorreihen auf sich hat und zeigen dir einige Beispiele dazu.

Inhaltsübersicht

Taylorentwicklung – Taylorreihe Herleitung und Taylor Formel

Eine Taylorreihe ist eine spezielle Potenzreihe. Du kannst jede beliebige Funktion in Form einer Taylorreihe, also als Taylorpolynom, darstellen. Das kann oft sehr praktisch sein, da das Rechnen mit Polynomen viel einfacher ist als mit komplizierten Funktionen.

Taylorreihe entwickeln – Taylorpolynom entwickeln

Kommen wir nun aber dazu, wie du eine Taylorreihe entwickeln kannst. Die Funktion f(x) , die du darstellen möchtest, muss beliebig oft im Entwicklungspunkt x_0 differenzierbar sein.

$f^\prime\left(x_0\right),\ f^{\prime\prime}\left(x_0\right),\ f^{\prime\prime\prime}\left(x_0\right),\ f^{(4)}\left(x_0\right)\ ,\ \ldots$

Gehen wir jetzt wieder von einer Potenzreihe aus, die du bereits kennst. Die Koeffizienten a_n sind die n-te Ableitung ausgewertet am Entwicklungspunkt $\frac{x_0}{n!}$ . Die Koeffizienten multipliziert mit $\left(x-x_0\right)^n$ werden summiert und ergeben die Taylorreihe.

Wenn du nun endlich viele Summanden berücksichtigen willst, kannst du das Taylorpolynom aufstellen.

$T_mf\left(x\right):=\sum_{n=0}^{m-1} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$

Beachte, dass $T_mf\left(x\right)$ ein Polynom m-1-ter Ordnung ist. Also ist die größte vorkommende Potenz m-1 . $T_2f\left(x\right)$ ist zum Beispiel die Tangente an den Graphen von im Entwicklungspunkt x_0 . $T_3f\left(x\right)$ ist eine Parabel mit einem quadratischen Term als höchster Potenz.

$T_mf\left(x\right)$ ist eine gute Approximation für eine beliebige Funktion f(x) , sofern $x\approx\ x_0$ . Als Faustregel kannst du dir merken, dass die Taylor Approximation umso besser ist, je näher bei x_0 liegt und je größer die Ordnung ist.

Jetzt sollte dir klar sein, was Taylorreihen sind und dass sie sich eignen, um beliebige Funktionen zu approximieren.

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Taylorreihen Beispiele

Da du nun weißt, wie du theoretisch eine Taylorreihe entwickeln kannst, wollen wir uns das Ganze nun noch an mehreren Beispielen anschauen.

Taylor Entwicklung: Taylorreihe Beispiel

Im Folgenden betrachten wir zunächst das Beispiel der Funktion $\frac{1}{1-x}$ . Wir können Taylorreihen berechnen, um zu verstehen, wo der Grenzwert der geometrischen Reihe herkommt. Die geometrische Reihe ist die Reihe von x^n und ihr Grenzwert ist $\frac{1}{1-x}$ .

$G=\sum_{n=0}^{\infty}x^n=1+x+x^2+x^3+\ldots$

$G=\sum_{n=0}^{\infty}x^n=1+x+x^2+x^3+\ldots=\frac{1}{1-x}$

Also bestimmen wir die Taylorreihe der Funktion $f\left(x\right)=\frac{1}{1-x}$ . Wir erinnern uns an die Definition der Taylor-Reihe:

$T_mf\left(x\right):=\sum_{n=0}^{m-1} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$

Nun wählen wir den Entwicklungspunkt x_0=0 und bilden die ersten drei Ableitungen in die wir für x_0 einsetzen. Wenn du dir die ersten drei Ableitungen einmal genauer anschaust, erkennst du ein Muster und kannst damit alle n-ten Ableitungen aufstellen.

Mit diesen Ableitungen kannst du ohne Probleme die Koeffizienten a_n bestimmen, indem du sie durch teilst:

$a_n :=\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}=\frac{n!}{(1-x_0)^{(n+1)}n!}$

$a_n:=\frac{n!}{(1-x_0)^{(n+1)}n!}=\frac{1}{1}=1$

kürzt sich raus. Die Koeffizienten ergeben sich zu 1 und die Taylorreihe ist:

Nach Einsetzen von 1 für die Koeffizienten und 0 für den Entwicklungspunkt x_0 resultiert die Summe von x^n . Das ist genau die geometrische Reihe.

Hiermit hast du bewiesen, dass der Grenzwert der geometrischen Reihe $\sum_{n=1}^{\infty}x^n=\frac{1}{1-x}$ ist.

Rechenregeln Taylor Reihe

Kommen wir jetzt zu ein paar Rechenregeln, die für Taylorreihen gelten:

$T\left(f+g\right)=Tf+Tg$

1. Die Taylorreihe der Summe von f und g ist die Summe der Taylorreihen von f und g.

$T\left(f\ast\ g\right)=Tf\ast\ Tg$

2.Die Taylorreihe des Produkts von f und g ist das Produkt der Taylorreihen von f und g.

$T\left(f^\prime\right)=\left(Tf\right)^\prime$

3.Die Taylorreihe der Ableitung von f, also von f‘, ist die Ableitung der Taylorreihe von f.

$T\left(\int f\right)=\int\left(Tf\right)$

4.Die Taylorreihe des Integrals von f ist das Integral der Taylorreihe an f.

Diese Regeln können an vielen Stellen hilfreich sein. Betrachten wir wieder unser Beispiel von oben. Integriert man nun die geometrische Reihe kommt man auf dieses Ergebnis:

$-\ln{\left(1-t\right)}=\ t+\frac{1}{2}t^2+\frac{1}{3}t^3+\ldots$

Darauf können wir nun die oben aufgeführte Rechenregel zu Integralen von Taylorreihen anwenden:

$T\int_{0}^{t}f\left(x\right)dx=\int_{0}^{t}Tf\left(x\right)dx$

Die Integralgrenzen entsprechen denen der ursprünglichen Aufgabenstellung. Null ist die Untergrenze und ein beliebiges t die Obergrenze. Wir wenden dann die Integralregel an. Jetzt setzen wir die Taylorreihe von $\frac{1}{1-x}$ ein, die wir am Anfang des Beitrags berechnet haben. Die Integration von Polynomen kennst du ja. Das Integral von 1 ist , das von ist $\frac{1}{2}x^2$ und so weiter.

Jetzt setzt du noch die Grenzen ein und erhältst genau das Taylorpolynom, das wir erwartet haben:

$-\ln{\left(1-t\right)}=\ t+\frac{1}{2}t^2+\frac{1}{3}t^3+\ldots$

Taylorreihen — häufigste Fragen

(ausklappen)

Was ist eine Taylorreihe und wofuer braucht man sie in der Praxis?

Eine Taylorreihe ist eine Darstellung einer Funktion als Potenzreihe um einen Entwicklungspunkt . In der Praxis nutzt du sie, um komplizierte Funktionen nahe bei durch ein Polynom zu approximieren, weil sich Polynome leichter ableiten, integrieren und numerisch auswerten lassen.
Welche Ableitungen brauche ich, um eine Funktion um einen Entwicklungspunkt als Taylorpolynom darzustellen?

Für ein Taylorpolynom bis zur Ordnung um den Entwicklungspunkt brauchst du die Werte $f(x_0), f'(x_0), \ldots, f^{(m)}(x_0)$ . Konkret: Für ein Polynom bis zur dritten Ordnung um benötigst du , , und $f^{(3)}(1)$ .
Wie stelle ich ein Taylorpolynom zu einer bestimmten Ordnung auf, wenn der Entwicklungspunkt null ist?

Wenn der Entwicklungspunkt ist, heißt das Taylorpolynom auch Maclaurin-Polynom und lautet $T_mf(x)=\sum_{n=0}^{m}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$ . Beispiel: Für bis Ordnung bekommst du $1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}$ .
Welche Rechenregeln gelten fuer Taylorreihen bei Summe und Produkt?

Für Taylorreihen um denselben Entwicklungspunkt gilt: und beim Produkt $T(fg)=Tf \cdot Tg$ (formal als Produkt der Potenzreihen). Beispiel: Wenn und , dann ist das Produkt-Taylorpolynom .
Wie kann ich mit bekannten Taylorreihen die Taylorreihe von Tangens um null bestimmen, ohne Tangens mehrfach abzuleiten?

Die Taylorreihe von $\tan(x)$ um bestimmst du über $\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$ und setzt die bekannten Reihen für $\sin(x)$ und $\cos(x)$ ein. Dann entwickelst du $\frac{1}{\cos(x)}$ als Reihe und multiplizierst aus. So erhältst du $\tan(x)=x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+O(x^7)$ , zum Beispiel bei ungefähr .

Wichtige Taylorreihen

Als Nächstes zeigen wir dir ein paar wichtige Taylorreihen und wie du diese nutzen kannst:

Das Beispiel zur Taylorreihe des Sinus kannst du dir ebenfalls in einem Video ansehen. Der Cosinus ist analog und besteht nur aus geraden Funktionen. Die Taylorreihe der e-Funktion ist die Summe über $\frac{x^n}{n!}$ . Auch $\frac{1}{1-x}$ haben wir uns am Anfang des Beitrags ausführlich angeschaut. Beachte, dass hier der Definitionsbereich auf -1, 1 eingeschränkt ist.