Was bedeuten Stützvektor und Richtungsvektoren in der Parameterform?

In der Parameterform ist der Stützvektor der Ortsvektor eines Punktes auf der Ebene. Die Richtungsvektoren und spannen die Ebene auf, weil alle Ebenenpunkte als Linearkombination mit und entstehen.

Wie stelle ich eine Ebene in Parameterform aus drei Punkten auf?

Eine Ebene aus drei Punkten entsteht, indem ein Punkt als Stützvektor gewählt wird und die beiden Richtungsvektoren als Verbindungsvektoren zu den anderen Punkten berechnet werden. Zum Beispiel bei A, B, C: , und , dann .

Warum müssen die beiden Richtungsvektoren linear unabhängig sein?

Die beiden Richtungsvektoren müssen linear unabhängig sein, damit sie wirklich eine Ebene aufspannen. Sind sie Vielfache voneinander, zeigen sie in dieselbe Richtung und es entsteht nur eine Gerade statt einer Ebene. Konkret: Wenn gilt, liefert keine zweite unabhängige Richtung.

Wie mache ich aus der Parameterform eine Normalenform?

Aus der Parameterform erhält man die Normalenform, indem zuerst ein Normalenvektor berechnet wird, der senkrecht zu beiden Richtungsvektoren ist. Das geht mit dem Kreuzprodukt . Danach wird der Stützvektor aus der Parameterform übernommen und in eingesetzt.

Wie wandle ich die Normalenform in die Koordinatenform um?

Die Normalenform wird in die Koordinatenform umgewandelt, indem das Skalarprodukt ausmultipliziert wird und anschließend alle konstanten Terme auf die rechte Seite gebracht werden. So entsteht , wobei die Koordinaten des Normalenvektors sind und gilt.

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Ebenengleichung

Wichtige Inhalte in diesem Video

Ebenengleichung einfach erklärt

(00:15)

Ebenengleichung umformen

(01:37)

Du willst wissen, was eine Ebenengleichung ist und wie du die verschiedenen Formen ineinander umwandelst? Hier und im Video erfährst du alles, was du dazu wissen musst!

Inhaltsübersicht

Ebenengleichung einfach erklärt

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(00:15)

Eine Ebenengleichung ist die Darstellung einer flachen Ebene in einem dreidimensionalen Koordinatensystem. Allgemein wird eine Ebene in der Parameterform abgebildet:

$E: \vec{x} = \textcolor{orange}{\vec{a}} + r \cdot \textcolor{blue}{\vec{u}} + s \cdot \textcolor{blue}{\vec{v}}$

Du kannst eine Ebene aber auch mit der Normalenform darstellen:

$E\colon \textcolor{red}{\vec{n}} \cdot (\vec{x} - \textcolor{orange}{\vec{p}})= 0$

Multiplizierst du die Normalenform aus, dann erhältst du die Koordinatenform:

$E: \textcolor{red}{a}x_1+ \textcolor{red}{b}x_2+ \textcolor{red}{c}x_3= d$

Wie du eine Parameterform aufstellst und wie du die drei Formen der Ebenengleichung ineinander umwandeln kannst, erfährst du in den folgenden Kapiteln.

Definition einer Ebene

Eine Ebene kann durch drei Punkte oder einen Punkt und zwei linear unabhängige Richtungsvektoren eindeutig bestimmt werden. Dadurch kann eine Ebene mit unterschiedlichen Ebenengleichungen analytisch beschrieben werden.

Parameterform

Die Parameterform ist eine allgemeine Darstellungsform einer Ebene. Du brauchst dafür einen Stützvektor $\textcolor{orange}{\vec{a}}$ und zwei Richtungsvektoren $\textcolor{blue}{\vec{u}}$ und $\textcolor{blue}{\vec{v}}$ . Du erkennst einen Richtungsvektor immer daran, dass eine Variable wie s, t oder r davor steht. Ein Beispiel könnte so aussehen:

$E: \vec{x} = \textcolor{orange}{\left(\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right)} + r \cdot \textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c} -1 \\ -3 \\ 1 \end{array}\right)} + s \cdot \textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 0,5 \end{array}\right)}$

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Merke: Die Richtungsvektoren einer Ebene dürfen kein Vielfaches voneinander sein. Das solltest du überprüfen, sonst erhältst du die Gleichung einer Geraden.

Expertenwissen zur Parameterform

Du kannst die Gleichung auch umstellen zu $\vec{x}$ – $\textcolor{orange}{\vec{a}}$ = $r \cdot \vec{b} - \textcolor{orange}{\vec{a}}$ + $s \cdot \vec{c} - \textcolor{orange}{\vec{a}}$ . So lässt sich $\vec{x}$ – $\textcolor{orange}{\vec{a}}$ als Linearkombination der Vektoren $\textcolor{blue}{\vec{u}}$ : = $\vec{b}$ – $\textcolor{orange}{\vec{a}}$ und $\textcolor{blue}{\vec{v}}$ : = $\vec{c}$ − $\textcolor{orange}{\vec{a}}$ eindeutig darstellen.

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Normalenform

Eine Ebenengleichung kannst du auch in der Normalenform angeben. Dafür brauchst du den Normalenvektor $\textcolor{red}{\vec{n}}$ und einen Stützvektor $\textcolor{orange}{\vec{p}}$ :

$E\colon \textcolor{red}{\left(\begin{array}{c} 3 \\ -4 \\ 1 \end{array}\right)} \cdot \left( \textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right)} - \textcolor{orange}{\left(\begin{array}{c} 0 \\ -0,5 \\ 0 \end{array}\right)} \right) = 0$

Merke: Ein Normalenvektor verläuft immer senkrecht zu beiden Richtungsvektoren der Ebene.

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Möchtest du den Normalenvektor berechnen, dann kannst du das Kreuzprodukt aus den beiden Richtungsvektoren $\vec{u}$ x $\vec{v}$ bestimmen oder aus der Koordinatenform ablesen. Die Koordinaten des Normalenvektors findest du dabei als Zahlen vor x₁, x₂ und x₃.

Expertenwissen: Hessesche Normalenform

Normierst du den Normalenvektor zu $\vec{n_0}$ , dann kannst du die Ebenengleichung in der Hesseschen Normalenform angeben: $E: \vec{n_0} \cdot (\vec{x} - \vec{a}) = 0$ . Den normierten Normalenvektor bestimmst du so:

$\vec{n_0} = \frac{\vec{n}}{\left| \vec{n} \right|}$

Koordinatenform

Multiplizierst du die Normalenform aus, bekommst du die Koordinatenform :

$E: \textcolor{red}{3}x_1 \textcolor{red}{- 4}x_2 + \textcolor{red}{1}x_3 = 2$

Merke: Die Zahlen vor x₁, x₂ und x₃ sind die Koordinaten des Normalenvektors. Die Zahl hinter dem Gleichheitszeichen entsteht durch die Multiplikation des Normalenvektors mit dem Stützvektor.

$d = \textcolor{red}{\vec{n}} \cdot \textcolor{orange}{\vec{p}} = \textcolor{red}{\left(\begin{array}{c} 3 \\ -4 \\ 1 \end{array}\right)} \cdot \textcolor{orange}{\left(\begin{array}{c} 0 \\ -0,5 \\ 0 \end{array}\right)} \right) = 2$

Expertenwissen zur Normalenform und Koordinatenform

Durch die Koordinatenform und die Normalenform werden alle Punkte des Raumes beschrieben, die dieselbe Normalprojektion des zugehörigen Ortsvektors in Richtung des Normalenvektors besitzen. Alle beschriebenen Punkte bilden eine Ebene, auf der der Normalenvektor senkrecht steht.

Ebenengleichung aufstellen

Du kannst eine Ebenengleichung in Parameterform auf vier unterschiedliche Arten aufstellen: mit drei Punkten, einer Geradengleichung und einem Punkt, zwei parallelen Geraden und zwei sich schneidenden Geraden. Die Vorgehensweise wird dir in den folgenden Kapiteln erklärt.

Ebenengleichung aufstellen — 3 Punkte

Du hast die drei Punkte A(0|3|1), B(-1|0|2) und C(-1|4|1,5) gegeben. Mit ihnen kannst du in nur drei Schritten eine Ebenengleichung in Parameterform aufstellen:

Ortsvektor als Stützvektor bestimmen: Wähle einen beliebigen Ortsvektor eines Punktes, zum Beispiel OA, aus. Dieser ist der Stützvektor der Ebene.

$\textcolor{orange}{\vec{a}} = \vec{OA} = \textcolor{orange}{\left(\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right)}$
Richtungsvektoren berechnen: Berechne dann zwei Richtungsvektoren, zum Beispiel AB und AC.

$\textcolor{blue}{\vec{u}} = \vec{AB} = \left(\begin{array}{c} -1 - 0 \\ 0 - 3 \\ 2 - 1 \end{array}\right) = \textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c} -1 \\ -3 \\ 1 \end{array}\right)}$ $\textcolor{blue}{\vec{v}} = \vec{AC} = \left(\begin{array}{c} -1 - 0 \\ 4 - 3 \\ 1,5 - 1 \end{array}\right) = \textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 0,5 \end{array}\right)}$
Ebenengleichung zusammenstellen: Füge als letztes die ganzen Bestandteile zu einer Gleichung zusammen.

$E: \vec{x} = \textcolor{orange}{\left(\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right)} + r \cdot \textcolor{blue}{ \left(\begin{array}{c} -1 \\ -3 \\ 1 \end{array}\right)} + s \cdot \textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 0,5 \end{array}\right)}$

Ebenengleichung aufstellen — Gerade und Punkt außerhalb

Du kannst eine Parameterform auch mithilfe einer Gerade und einem Punkt, der nicht auf der Geraden liegt, bestimmen:

$g: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 2 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} 5 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right)$ und P(2|2|1)

Stützvektor und Richtungsvektor der Geraden übernehmen: Schreibe den Stützvektor und den Richtungsvektor der Geradengleichung in Parameterform in die Ebenengleichung.

$E: \vec{x} = \textcolor{orange}{\left(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 2 \end{array}\right)} + r \cdot \textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c} 5 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right)} + s \cdot \vec{v}$
Zweiten Richtungsvektor berechnen: Berechne aus dem Stützvektor und dem Punkt P einen zweiten Richtungsvektor $\textcolor{blue}{\vec{v}}$ , der die Ebene aufspannt.

$\textcolor{blue}{\vec{v}} = \vec{a} - \vec{OP} = \left(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 2 \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right) = \textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)}$
Ebenengleichung zusammenstellen: Füge jetzt den zweiten Richtungsvektor in die Ebenengleichung ein.

$E: \vec{x} = \textcolor{orange}{\left(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 2 \end{array}\right)} + r \cdot \textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c} 5 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right)} + s \cdot \textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)}$

Ebenengleichung aufstellen — zwei parallele Geraden

Auch aus zwei parallelen Geraden kannst du eine Ebenengleichung in Parameterform aufstellen:

$g: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 2 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} 3 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right)$ und $h: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 3 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} -6 \\ 2 \\ -4 \end{array}\right)$

Stützvektor und Richtungsvektor einer Geraden übernehmen: Such dir zum Beispiel die Gerade g aus und übertrage ihren Stützvektor und Richtungsvektor in die Ebenengleichung:

$E: \vec{x} = \textcolor{orange}{\left(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 2 \end{array}\right)} + r \cdot \textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c} 3 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right)} + s \cdot \vec{v}$
Zweiten Richtungsvektor aus den beiden Stützvektoren der Geraden berechnen: Berechne aus den Stützvektoren von g und h einen Verbindungsvektor.

$\textcolor{blue}{\vec{v}} = \vec{a} - \vec{b} = \left(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 2 \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 3 \end{array}\right)$

$\textcolor{blue}{\vec{v}} = \textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ -1 \end{array}\right)}$
Ebenengleichung zusammensetzen: Füge den Stützvektor in die Ebenengleichung ein:

$E: \vec{x} = \textcolor{orange}{\left(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 2 \end{array}\right)} + r \cdot \textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c} 3 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right)} + s \cdot \textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ -1 \end{array}\right)}$

Ebenengleichung aufstellen — zwei sich schneidende Geraden

Die letzte Möglichkeit eine Ebenengleichung in Parameterform aufzustellen, sind zwei sich schneidende Geraden:

$g: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} -3 \\ -4 \\ 1 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right)$ und $h: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right)$

Stützvektor und Richtungsvektor einer Geraden übernehmen: Auch hier kannst du eine Geradengleichung, zum Beispiel wie die von g, in die Ebenengleichung übertragen.

$E: \vec{x} = \textcolor{orange}{\left(\begin{array}{c} -3 \\ -4 \\ 1 \end{array}\right)} + r \cdot \textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right)} + s \cdot \vec{v}$
Richtungsvektor der anderen Gerade g als zweiten Richtungsvektor der Ebene nehmen: In diesem Fall brauchst du keinen neuen Vektor berechnen, sondern kannst den Richtungsvektor der zweiten Gerade h einsetzen.

$E: \vec{x} = \textcolor{orange}{\left(\begin{array}{c} -3 \\ -4 \\ 1 \end{array}\right)} + r \cdot \textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right)} + s \cdot \textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c} -1 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right)}$

Ebenengleichung umformen

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(01:37)

Die drei Ebenengleichungen kannst du ineinander umwandeln. Manchmal ist es praktischer mit einer bestimmten Form weiterzurechnen oder die Aufgabenstellung schreibt es dir vor.

Parameterform in Normalenform

Normalenvektor mit dem Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren berechnen:

$\textcolor{red}{\vec{n}} = \vec{u} \times \vec{v} = \textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c} -1 \\ -3 \\ 1 \end{array}\right)} \times \textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 0,5 \end{array}\right)} = \textcolor{red}{\left(\begin{array}{c} -2,5 \\ -0,5 \\ -4 \end{array}\right)}$
Stützvektor aus Parameterform übernehmen: $\textcolor{orange}{\vec{p}} = \textcolor{orange}{\left(\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right)}$
Vektoren in Normalenform einsetzen:

$E\colon \textcolor{red}{\left(\begin{array}{c} -2,5 \\ -0,5 \\ -4 \end{array}\right)} \cdot \left( \textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right)} - \textcolor{orange}{\left(\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right)} \right) = 0$

Normalenform in Parameterform

Stützvektor übernehmen: $\textcolor{orange}{\vec{a}} = \textcolor{orange}{\left(\begin{array}{c} 0 \\ -0,5 \\ 0 \end{array}\right)} \right)$
Suche zwei Richtungsvektoren, die senkrecht zum Normalenvektor stehen:

$\textcolor{blue}{\vec{u}} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ - n_3 \\ n_2 \end{array}\right) = \textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ -4 \end{array}\right)}$ und $\textcolor{blue}{\vec{v}} = \left(\begin{array}{c} n_2 \\ - n_1 \\ 0 \end{array}\right) = \textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c} -4 \\ -3 \\ 0 \end{array}\right)}$
Vektoren in die Parameterform einsetzen:

$E: \vec{x} = \textcolor{orange}{\left(\begin{array}{c} 0 \\ -0,5 \\ 0 \end{array}\right)} \right) + r \cdot \textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ -4 \end{array}\right)} + s \cdot \textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c} -4 \\ -3 \\ 0 \end{array}\right)}$

Normalenform in Koordinatenform

Normalenform ausmultiplizieren:
E: 3 · x₁ – 4 · x₂ + 1 · x₃ + 3 · 0 – 4 · 0,5 + 1 · 0 = 0
E: 3x₁ – 4x₂ + x₃ – 2 = 0
Zahlen ohne x Variable auf die andere Seite des Gleichheitszeichens bringen:
E: 3x₁ – 4x₂ + x₃ = 2

Koordinatenform in Normalenform

E: 3x₁ – 4x₂ + x₃ = 2

Normalenvektor ablesen:

$\textcolor{red}{\vec{n}} = \textcolor{red}{\left(\begin{array}{c} 3 \\ -4 \\ 1 \end{array}\right)}$
Stützvektor finden: Dafür wählst du zwei x-Variablen frei aus, zum Beispiel x₂ = x₃ = 0. Die setzt du in die Koordinatenform ein und löst nach x₁ auf.

3x₁ = 2 | : 3

x₁ = $\frac{2}{3}$

$\textcolor{orange}{\vec{p}} = \textcolor{orange}{\left(\begin{array}{c} \frac{2}{3} \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)} \right)$
Vektoren in Normalenform einsetzen:

$E\colon \textcolor{red}{\left(\begin{array}{c} 3 \\ -4 \\ 1 \end{array}\right)} \cdot \left( \textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right)} - \textcolor{orange}{\left(\begin{array}{c} \frac{2}{3} \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)} \right) = 0$

Übrigens: Du kannst auch die Parameterform in Koordinatenform oder andersherum die Koordinatenform in Parameterform umwandeln.

Ebenengleichung — häufigste Fragen

(ausklappen)

Was bedeuten Stützvektor und Richtungsvektoren in der Parameterform?

In der Parameterform $E:\vec{x}=\vec{a}+r\cdot\vec{u}+s\cdot\vec{v}$ ist der Stützvektor $\vec{a}$ der Ortsvektor eines Punktes auf der Ebene. Die Richtungsvektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ spannen die Ebene auf, weil alle Ebenenpunkte als Linearkombination mit und entstehen.
Wie stelle ich eine Ebene in Parameterform aus drei Punkten auf?

Eine Ebene aus drei Punkten entsteht, indem ein Punkt als Stützvektor gewählt wird und die beiden Richtungsvektoren als Verbindungsvektoren zu den anderen Punkten berechnet werden. Zum Beispiel bei A, B, C: $\vec{a}=\vec{OA}$ , $\vec{u}=\vec{AB}$ und $\vec{v}=\vec{AC}$ , dann $E:\vec{x}=\vec{a}+r\vec{u}+s\vec{v}$ .
Warum müssen die beiden Richtungsvektoren linear unabhängig sein?

Die beiden Richtungsvektoren müssen linear unabhängig sein, damit sie wirklich eine Ebene aufspannen. Sind sie Vielfache voneinander, zeigen sie in dieselbe Richtung und es entsteht nur eine Gerade statt einer Ebene. Konkret: Wenn $\vec{v}=k\cdot\vec{u}$ gilt, liefert $r\vec{u}+s\vec{v}$ keine zweite unabhängige Richtung.
Wie mache ich aus der Parameterform eine Normalenform?

Aus der Parameterform erhält man die Normalenform, indem zuerst ein Normalenvektor $\vec{n}$ berechnet wird, der senkrecht zu beiden Richtungsvektoren ist. Das geht mit dem Kreuzprodukt $\vec{n}=\vec{u}\times\vec{v}$ . Danach wird der Stützvektor aus der Parameterform übernommen und in $E:\vec{n}\cdot(\vec{x}-\vec{p})=0$ eingesetzt.
Wie wandle ich die Normalenform in die Koordinatenform um?

Die Normalenform wird in die Koordinatenform umgewandelt, indem das Skalarprodukt ausmultipliziert wird und anschließend alle konstanten Terme auf die rechte Seite gebracht werden. So entsteht , wobei die Koordinaten des Normalenvektors sind und $d=\vec{n}\cdot\vec{p}$ gilt.

Parameterform in Koordinatenform

Super! Du weißt jetzt, was eine Ebenengleichung ist und welche Formen es gibt. Willst du dir nochmal genauer anschauen, wie du die Parameterform in Koordinatenform umwandelst? Dann klick in unser Video rein!