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Impulssatz

Mit dem Impulssatz in der Strömungsmechanik kannst du einen Erhaltungssatz über ein strömendes Fluid aufstellen. Wie du diesen Impulssatz über ein abgeschlossenes Kontrollvolumen herleiten kannst, zeigen wir dir hier Schritt für Schritt. Wie du den Erhaltungssatz anwenden kannst und wie du damit sogar Oberflächenkräfte bestimmen kannst, zeigen wir dir in einem ausführlichen Beispiel.

Schau dir unser Video zum Impulssatz an! In diesem erklären wir dir den Impulssatz anschaulich und leicht verständlich mit Bild und Ton.

Inhaltsübersicht

Impulssatz einfach erklärt

Der Impulssatz der Strömungslehre ist die Erhaltungsgleichung des Impulses eines strömenden Fluids. Er beschreibt das Kräftegleichgewicht zwischen Fluid und Körper nach dem Prinzip actio=reactio und basiert damit auf dem zweiten newtonschen Axiom.

Impulssatz Herleitung

Die Ursache der Kraft eines Fluids auf Körper hat physikalische Ursprünge. Stellt man sich einen Gartenschlauch vor, der an einer Stelle gekrümmt ist, wird das Wasser in ihm umgelenkt. Durch die Umlenkung dieser kontinuierlichen Strömung wird eine konstante Kraft erzeugt. Die Größe der Kraft kann mit dem Impulssatz der Strömungslehre bestimmt werden.

Herleitung durch das zweite newtonsche Axiom

Der Ausgangspunkt für die Herleitung des Impulssatzes bildet das zweite newtonsche Axiom beziehungsweise Grundgesetz der Dynamik:

$F\ =\ \frac{\delta I}{\delta t}$

ist dabei der Impuls. Diese Formel sagt aus, dass die Änderung der Bewegungsgröße „Impuls pro Zeit“ einer Kraft entspricht. Anders ausgedrückt: Die Kraft führt zu einer Impulsänderung pro Zeit.

2. Newton'sches Grundegesetz der Dynmaik, 2. Newton'sches Axiom, Impulssatz — Herleitung Impulssatz

Die Formel für den Impuls einer Einzelmasse ist bereits aus dem Physikunterricht bekannt. Sie lautet:

$I\ =\ m\ \cdot\ v$

Der Impuls ist eine vektorielle Größe mit der Richtung der Geschwindigkeit, also das Produkt aus seiner Masse und der Geschwindigkeit . Für den Impuls bei Flüssigkeiten betrachtet man ein kleines Fluidteilchen mit dem Volumen . Da die Masse sich durch das Produkt aus Dichte und Volumen beschreiben lässt, kann Sie in der Formel durch den Ausdruck $\rho \cdot V$ ersetzt werden:

$I\ =\ \rho\cdot\ V\ \cdot\ v$

Der Impuls für Flüssigkeiten sei nun Ausgangspunkt der Herleitung des Impulssatzes in der Strömungslehre.

Impulssatz Strömung in einem Kontrollvolumen

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Gegeben sei eine Stromröhre, die sich zum Ende hin zunehmend weitet. Die orangefarbene Linie ist das Kontrollvolumen. Das Kontrollvolumen ist der Bereich, der für die Herleitung des Impulssatzes von Interesse ist und dementsprechend auch definiert sein muss. Im vorangegangenen Kapitel wurde festgelegt, dass die zeitliche Impulsänderung einer Kraft entspricht. Diese Kraft ergibt sich aus den Oberflächenkräften auf das betrachtete Kontrollvolumen des Fluides. Die Oberflächenkräfte wiederum lassen sich mit den Strömungsgrößen berechnen. Diese Stromgrößen können zusätzlich in die Grafik gezeichnet werden.

Normalvektoren, Impulssatz — Krafteinwirkung auf die Stromröhre

Links kann die Geschwindigkeit v_1 , die das Fluid beim Eintritt in das Kontrollvolumen hat, eingezeichnet werden. Außerdem sind die Fläche A_1 und der Druck p_1 eine wichtige Strömungsgröße. Simultan können beim Austritt die Größen v_2 , A_2 und p_1 vermerkt werden. Auch tangential entlang der Wand des Kontrollvolumens kann die Geschwindigkeit v_W eingetragen werden, darüber hinaus die Fläche A_w sowie der Druck p_w . Letztlich müssen noch die Normalenvektoren eingetragen werden. Sie stehen senkrecht zu den Ein- und Austrittsflächen, sowie senkrecht auf dem Geschwindigkeitsvektor v_W .

Impulssatz Berechnung der Oberflächenkräfte

Die Oberflächenkräfte sind alle Kräfte, die auf das Kontrollvolumen einwirken. Ein Druck erzeugt auf eine Fläche immer auch eine entsprechende Kraft, da $p = \frac{F}{A}$ ist. Im Beispiel des Kontrollvolumens lassen sich die Kräfte auf die einzelnen Flächen wie folgt schreiben.
Kraft auf die Oberfläche am Eintritt:

$F_{O1}=\ p_1\ \cdot\ n_1\ \cdot\ A_1$

Kraft auf die Oberfläche am Austritt:

$F_{O2}=\ p_2\ \cdot\ n_2\ \cdot\ A_2$

Kraft auf die Wand des Kontrollvolumens:

$F_{W\ \rightarrow\ Fl}$

Der Normalenvektor muss wegen der Korrektur der Vorzeichen mit einbezogen werden.
Zeigt in Bewegungsrichtung des Fluides, also vom Eintritt in Richtung Austritt, dann ist n=1 . Im umgekehrten Fall ist n=-1 .
Wie anfangs festgehalten, ist nach dem zweiten newtonschen Axiom die Kraft gleich der Impulsänderung pro Zeit.

Da sich die Kraft durch die Summe der Oberflächenkräfte beschreiben lässt, kann alternativ auch

$F = \sum F_O = \frac{\delta I}{\delta t}$

geschrieben werden. Die Summe der Oberflächenkräfte ergibt sich zu:

$\sum{F_O=\ -F_{O1}\ -\ F_{O2}\ +\ F_W\ =\ -\ p_1\ \cdot\ n_1\ \cdot\ A_1\ -\ p_2\ \cdot\ n_2\ \cdot\ A_2}\ +\ F_{W\ \rightarrow\ Fl}$

Damit:

$-\ p_1\ \cdot\ n_1\ \cdot\ A_1\ -\ p_2\ \cdot\ n_2\ \cdot\ A_2+\ \ F_{W\ \rightarrow\ Fl}=\ \frac{\delta I}{\delta t}$

Dabei haben F_O_1 und F_O_2 ein anderes Vorzeichen als $F_{W \rightarrow Fl}$ . Dies rührt daher, dass sie die Kraft vom Fluid auf die Wand und nicht die Kraft der Wand auf das Fluid darstellen.
Der Impuls bei Flüssigkeiten ist durch $I = \rho \cdot V \cdot v$ definiert.

Somit ist

$\delta I = \rho \cdot \delta V \cdot v$ . Mit $\delta V = v \cdot n \cdot A \cdot \Delta t$

ergibt sich für den Gesamtimpuls:

$\delta I\ =\ \rho\cdot\ v\ \cdot\ v\ \cdot\ n\ \cdot\ A\ \cdot\ \Delta t$

Die Summe der Einzelimpulse ist also:

$\delta I\ =\ \rho\ \cdot\ v_1\ \cdot\ v_1\ \cdot\ n_1\ \cdot\ A_1\ \cdot\ \Delta t + \rho \cdot\ v_2 \cdot\ v_2 \cdot\ n_2 \cdot\ A_2 \cdot\ \Delta t + \rho \cdot\ v_W \cdot\ v_W \cdot\ n_W \cdot\ A_W \cdot\ \Delta t$

Da n_W senkrecht auf v_W steht, ist das Produkt der beiden Null, womit der letzte Term der Gleichung wegfällt. Anschließend wird das $\Delta t$ ausgeklammert und $\delta I$ kann in die Gleichung $\sum F_O = \frac{\delta I}{\delta t}$ eingesetzt werden:

$\sum\of\begin\ F_O=\frac{ (\rho\ \cdot\ v_1\ \ \cdot\ v_1\ \ \cdot\ n_1\ \ \cdot\ A_1\ \ +\ \ \rho\ \cdot\ v_2\ \ \cdot\ v_2\ \ \cdot\ n_2\ \ \cdot\ A_2)\ \cdot\ \Delta t )}{\delta t}$

Da $\delta t$ und $\Delta t$ gleichzusetzen ist, kann gekürzt werden, wodurch die Gleichung lautet:

$\sum{F_O=\ \rho\ \cdot\ v_1\ \cdot\ v_1\ \cdot\ n_1\ \cdot\ A_1\ +\ \ \rho\ \cdot\ v_2\ \cdot\ v_2\ \cdot\ n_2\ \cdot\ A_2\ =\ -\ }p_1\ \cdot\ n_1\ \cdot\ A_1\ -\ p_2\ \cdot\ n_2\ \cdot\ A_2\ +\ F_{W\ \rightarrow\ Fl}$

Die Kraft des Fluides kann letztlich berechnet werden, indem die Gleichung nach

$F_{W \rightarrow Fl}$

umgestellt wird. Die Kraft des Fluids auf die Wand ergibt sich durch Multiplikation mit -1.

$F_{Fl \rightarrow W}\ =\ -F_{W \rightarrow Fl}$

zur Videoseite: Dynamik von Fluiden - Impulssatz

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