Mechanik: Statik

Knotenpunktverfahren

Inhaltsübersicht

Du bist dir noch unsicher, was es mit dem Knotenpunktverfahren auf sich hat und wie es funktioniert? Dann können wir dich jetzt beruhigen, denn im nachfolgenden Beitrag erfährst du alles rund um das Verfahren anhand eines Beispiels.

Knotenpunktverfahren einfach erklärt

Das Knotenpunktverfahren ist auch unter den Begriffen Rundschnitt oder Knotenschnittverfahren bekannt. Es wird hauptsächlich auf Fachwerke angewandt. Die Idee ist dabei einzelne Knoten freizuschneiden, um die Kräfte, die an diesem angreifen, zu bestimmen. Dabei muss sich jeder Knoten in einem kraftmäßigem Gleichgewicht befinden. Am besten fängt man dabei beim Knoten mit den wenigsten unbekannten Stabkräften an. In dem Video, welches wir dir hier verlinkt haben, erklären wir dir die Grundlagen zu der Bauweise von idealisierten Fachwerken. Zusätzlich erfährst du in diesem Videobeitrag alles rund um das Kräfte– beziehungsweise Momentengleichgewicht.

Knotenpunktverfahren Beispiel

Dann können wir jetzt mit dem Knotenpunktverfahren loslegen. Als Beispiel nehmen wir ein Fachwerk, welches auf drei Festlagern gebaut ist. Zu den einzelnen Lagern erfährst du in diesem Video mehr. Wir kennen die Winkel \alpha = 30^\circ, \beta = 60^\circ und \epsilon = 45^\circ. An unserem Fachwerk greifen jetzt die Kräfte F_1 = 30N unter dem Winkel \gamma = 45^\circ und F_2 = 50N unter dem Winkel \delta = 60^\circ an.

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Knotenpunktverfahren – Beispiel

Um eine bessere Übersicht im Knotenpunktverfahren zu behalten, nummerieren wir alle Stäbe und Knoten: Die Stäbe von oben nach unten von eins bis sechs, den oberen Knoten als I, den unteren rechten als II und den linken als III. Hier lohnt es sich wieder die Werte erst in die Ergebnisgleichung des Knotenschnittverfahrens einzusetzen, wenn alle bekannt sind.

Winkelbestimmung

Jetzt müssen wir noch die restlichen Winkel für das Knotenpunktverfahren bestimmen. Der Winkel zwischen Stab eins und drei entsteht, indem man ein imaginäres Dreieck mit einem rechten Winkel und \beta spannt. Außerdem ergibt sich, dass der Winkel zwischen Stab eins und drei 90 - \beta ist. Weiterhin brauchen wir noch den Winkel zwischen Stab zwei und der Horizontalen. Den bestimmen wir ähnlich: Wir stellen uns wieder ein Dreieck mit \alpha und einem rechten Winkel vor und finden heraus, dass der Stab zwei um 90 - \alpha geneigt ist.

Knoten freischneiden und Kräftegleichgewicht

Im nächsten Schritt des Knotenschnittferfahrens schneiden wir jeden einzelnen Knoten frei und bilden ein Kräftegleichgewicht in x- und y-Richtung. Wir beginnen bei Knoten I:

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Knoten I freischneiden und Kräftegleichgewicht bilden

Als nächstes bei Knotenschnittverfahren schneiden wir den Knoten II frei und stellen wiederrum das Kräftegleichgewicht in x- und y-Richtung auf:

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Knoten II freischneiden und Kräftegleichgewicht bilden

Zum Schluss schneiden wir den dritten Knoten frei und bilden das Kräftegleichgewicht:

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Knoten III freischneiden und Kräftegleichgewicht bilden

Knoten berechnen

Nachdem wir nun die Gleichungen aufgestellt haben, fangen wir an, diese nach unseren Unbekannten umzustellen. Als erstes nehmen wir den Knoten mit den wenigsten unbekannten Größen. In unserem Fall ist das der Knoten I: Hier  stellen wir unsere Gleichung in x-Richtung nach S_1 um und erhalten:

S_1={\frac{1}{sin(\beta)}(F}_1\sin{\left(\gamma\right)}-S_2sin(\alpha))

S_1 setzen wir nun in die Gleichung für die y-Richtung ein. Damit wird der erhaltene Term für S_1 in der Gleichung für die y-Richtung mit cos(\beta) multipliziert:

0={-F}_1\cos{\left(\gamma\right)}-{\frac{cos(\beta)}{sin(\beta)}(F}_1\sin{\left(\gamma\right)}-S_2sin(\alpha))-S_2cos(\alpha)

Als nächstes sortieren wir die Gleichung nach F_1 und S_2 und erhalten:

F_1\left(\cos{\left(\gamma\right)}+\frac{\sin{\left(\gamma\right)}}{\tan{\left(\beta\right)}}\right)=S_2\left(\frac{\sin{\left(\alpha\right)}}{\tan{\left(\beta\right)}}-\cos{\left(\alpha\right)}\right)

 

Jetzt müssen wir nur noch durch die Klammer hinter S_2 teilen. Um uns Schreibarbeit zu ersparen, multiplizieren wir den Term mit der Klammer hoch -1.

S_2=F_1\left(\cos{\left(\gamma\right)}+\frac{\sin{\left(\gamma\right)}}{\tan{\left(\beta\right)}}\right)\times\left(\frac{\sin{\left(\alpha\right)}}{\tan{\left(\beta\right)}}-\cos{\left(\alpha\right)}\right)^{-1}=-57,96\ N

Wenn wir das wieder in unsere Gleichung für S_1 einsetzen, erhalten wir für S_1 = 57,96N und haben so mit dem Knotenpunktverfahren den ersten Knoten berechnet.

Ab jetzt kennen wir schon einige Unbekannte und das Knotenpunktverfahren wird deutlich einfacher.

Betrachten wir jetzt den zweiten Knoten, sehen wir, dass wir nach S_3 und S_4 umstellen können und erhalten S_3 = -28,98N und für S_4 = -50,19N.

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Knoten II berechnen

Als letzten Schritt des Knotenschnittverfahrens können wir uns dem dritten Knoten widmen. Bei diesem sehen die Gleichungen zwar am komplexesten aus, sind aber durch die Ergebnisse, die wir durch das Knotenpunktverfahren vorher bestimmt haben, einfach zu lösen. Als erstes stellen wir die Gleichung in x-Richtung nach S_6 um und erhalten:

S_6=\frac{1}{\sin{\left(\varepsilon\right)}}(-F_2\cos{\left(\delta\right)}{+S}_1cos90°-β+S5sin(ε)+S3)

Das setzen wir danach in die Gleichung für die y-Richtung ein und erhalten S_5 = 53,79N.

S_5=\frac{1}{2\cos{\left(\varepsilon\right)}}S1sin90°-β-cos90°-βtanε+F2sinδ+cosδtanε-S3tanε=53,79 N

Das können wir wieder in die Gleichung für \mathbf{S_6} einsetzen. Die letzte Unbekannte Stabkraft S_6 ist dann gleich 48,44N. Damit sind alle Unbekannten berechnet und das Knotenschnittverfahren ist beendet.


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