Mechanik: Statik

Knotenpunktverfahren / Knotenschnittverfahren

Du bist dir noch unsicher, was es mit dem Knotenpunktverfahren auf sich hat und wie das Knotenschnittverfahren funktioniert? Dann können wir dich jetzt beruhigen, denn im nachfolgenden Beitrag erfährst du alles rund um das Knotenpunktverfahren.

Das Knotenpunktverfahren anhand eines anschaulichen Beispiels erklärt

Zu Beginn frischen wir noch einmal die Grundlagen auf: Beim Knotenpunktverfahren müssen wir jeden einzelnen Knoten freischneiden und das Kräftegleichgewicht bilden. Am besten fängt man dabei beim Knoten mit den wenigsten unbekannten Stabkräften an.

Knotenpunktverfahren – Beispiel

Dann können wir jetzt mit dem Knotenpunktverfahren loslegen. Als Beispiel nehmen wir ein Fachwerk, das auf drei Festlagern gebaut ist. Wir kennen die Winkel α=30 Grad, β= 60 Grad und ε=45 Grad. An unserem Fachwerk greifen jetzt die Kräfte F1=30N unter dem Winkel γ= 45 Grad und F2=50N unter dem Winkel δ= 60 Grad an.

Knotenpunktverfahren, Knotenschnittverfahren
Knotenpunktverfahren – Beispiel

Um eine bessere Übersicht im Knotenpunktverfahren zu behalten, nummerieren wir alle Stäbe und Knoten: Die Stäbe von oben nach unten von eins bis sechs, den oberen Knoten als I, den unteren rechten als II und den linken als III. Hier lohnt es sich wieder die Werte erst dann in die Ergebnisgleichung des Knotenschnittverfahrens einzusetzen, wenn alle bekannt sind.

Winkelbestimmung im Knotenpunktverfahren

Jetzt müssen wir noch die restlichen Winkel für das Knotenpunktverfahren bestimmen. Der Winkel zwischen Stab eins und drei entsteht, indem man ein imaginäres Dreieck mit einem rechten Winkel und β spannt. Es ergibt sich, dass der Winkel zwischen Stab eins und drei 90 minus β ist. Weiterhin brauchen wir noch den Winkel zwischen Stab zwei und der Horizontalen. Den bestimmen wir ähnlich: Wir stellen uns wieder ein Dreieck mit α und einem rechten Winkel vor und finden heraus, dass der Stab zwei um 90 minus α geneigt ist.

Knotenpunktverfahren – Knoten freischneiden und Kräftegleichgewicht bilden

Im nächsten Schritt des Knotenschnittferfahrens schneiden wir jeden einzelnen Knoten frei und bilden ein Kräftegleichgewicht in x- und y-Richtung. Wir beginnen bei Knoten I:

Knotenpunktverfahren, Knotenschnittverfahren
Knoten I freischneiden und Kräftegleichgewicht bilden

Als nächstes bei Knotenschnittverfahren schneiden wir den Knoten II frei und stellen wiederrum das Kräftegleichgewicht in x- und y-Richtung auf:

Knotenpunktverfahren, Knotenschnittverfahren
Knoten II freischneiden und Kräftegleichgewicht bilden

Zum Schluss schneiden wir den dritten Knoten frei und bilden das Kräftegleichgewicht:

Knotenpunktverfahren, Knotenschnittverfahren
Knoten III freischneiden und Kräftegleichgewicht bilden

Knotenpunktverfahren – Knoten berechnen

Nachdem wir nun die Gleichungen aufgestellt haben, fangen wir an, diese nach unseren Unbekannten umzustellen. Als erstes nehmen wir den Knoten mit den wenigsten unbekannten Größen. In unserem Fall ist das der Knoten I: Als erstes stellen wir unsere Gleichung in x-Richtung nach S1 um und erhalten:

S_1={\frac{1}{sin(\beta)}(F}_1\sin{\left(\gamma\right)}-S_2sin(\alpha))

S1 setzen wir nun in die Gleichung für die y-Richtung ein. Somit wird der erhaltene Term für S1 in der Gleichung für die y-Richtung mit cos(β) multipliziert:

0={-F}_1\cos{\left(\gamma\right)}-{\frac{cos(\beta)}{sin(\beta)}(F}_1\sin{\left(\gamma\right)}-S_2sin(\alpha))-S_2cos(\alpha)

Als nächstes sortieren wir die Gleichung nach F1 und S2 und erhalten:

F_1\left(\cos{\left(\gamma\right)}+\frac{\sin{\left(\gamma\right)}}{\tan{\left(\beta\right)}}\right)=S_2\left(\frac{\sin{\left(\alpha\right)}}{\tan{\left(\beta\right)}}-\cos{\left(\alpha\right)}\right)

 

Jetzt müssen wir nur noch durch die Klammer hinter S2 teilen. Um uns Schreibarbeit zu ersparen, multiplizieren wir den Term mit der Klammer hoch minus 1.

S_2=F_1\left(\cos{\left(\gamma\right)}+\frac{\sin{\left(\gamma\right)}}{\tan{\left(\beta\right)}}\right)\times\left(\frac{\sin{\left(\alpha\right)}}{\tan{\left(\beta\right)}}-\cos{\left(\alpha\right)}\right)^{-1}=-57,96\ N

Wenn wir das wieder in unsere Gleichung für S1 einsetzen, erhalten wir einen Wert für S1 gleich 57,96 N und haben so mit dem Knotenpunktverfahren den ersten Knoten berechnet.

Ab jetzt kennen wir schon einige Unbekannte und das Knotenpunktverfahren wird deutlich einfacher. Es ist also Land in Sicht!

Betrachten wir jetzt den zweiten Knoten, sehen wir, dass wir nach S3 und S4 umstellen können und erhalten für S3 minus 28,98N und für S4 minus 50,19N.

Knotenpunktverfahren, Knotenschnittverfahren
Knoten II berechnen

Als letzten Schritt des Knotenschnittverfahrens können wir uns dem dritten Knoten widmen. Bei diesem sehen die Gleichungen zwar am komplexesten aus, sind aber durch die Ergebnisse, die wir durch das Knotenpunktverfahren vorher bestimmt haben, einfach zu lösen. Als erstes stellen wir die Gleichung in x-Richtung nach S6 um und erhalten:

S_6=\frac{1}{\sin{\left(\varepsilon\right)}}(-F_2\cos{\left(\delta\right)}{+S}_1cos90°-β+S5sin(ε)+S3)

Das setzen wir danach in die Gleichung für die y-Richtung ein und erhalten für S5 gleich 53,79 N.

S_5=\frac{1}{2\cos{\left(\varepsilon\right)}}S1sin90°-β-cos90°-βtanε+F2sinδ+cosδtanε-S3tanε=53,79 N

Das können wir wieder in die Gleichung für S6 einsetzen. Die letzte Unbekannte Stabkraft S6 ist dann gleich 48,44N.

Du siehst: Jetzt liegt dir das Knotenpunktverfahren schon deutlich mehr und in Zukunft sollte dir das Berechnen der Knoten mit dem Knotenschnittverfahren keine Schwierigkeiten mehr bereiten.

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