Woran erkennt man, ob eine Differentialgleichung trennbar ist?

Eine Differentialgleichung ist trennbar, wenn du sie durch Umformen so schreiben kannst, dass auf einer Seite nur -abhängige Faktoren und auf der anderen Seite nur -abhängige Faktoren stehen. Zum Beispiel ist trennbar, aber nicht.

Wie bringt man eine Differentialgleichung in die Form y‘ = f(x) mal g(y)?

In die Form bringst du eine Differentialgleichung, indem du zuerst freistellst und danach so umformst, dass ein Faktor nur von abhängt und der andere nur von . Beispiel: Aus wird .

Muss man beim Teilen durch g(y) konstante Lösungen mit g(y) = 0 separat beachten?

Konstante Lösungen mit musst du separat beachten, weil du beim Teilen durch voraussetzt, dass ist und sonst Lösungen verlieren kannst. Du prüfst deshalb zusätzlich, ob ein konstanter Wert die Gleichung erfüllt, z. B. bei die Lösung .

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Trennung der Variablen

Du möchtest wissen, wie die Methode der Trennung der Variablen funktioniert? Im Folgenden zeigen wir dir, was trennbare Differentialgleichungen sind und wie du sie mithilfe der Trennung der Variablen lösen kannst.

Lösung von homogenen Differentialgleichungen

Die Methode der Trennung der Variablen wird auch häufig als Trennung der Veränderlichen, Separation der Variablen oder Separationsmethode bezeichnet. Du kannst dieses Verfahren anwenden, wenn du eine homogene gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung in folgender Form schreiben kannst:

$y^\prime=f\left(x\right)g(y)$

Die DGL heißt dann trennbar oder separierbar. f(x) fasst alle von abhängigen Anteile zusammen und g(x) enthält alle von abhängigen Anteile. $y^\prime$ ist die Ableitung von nach , die du auch so darstellen kannst:

Im nächsten Schritt sortierst du. Der Term links vom Gleichheitszeichen ist nur noch direkt von abhängig, rechts kommt nur noch vor.

$\frac{dy}{g\left(y\right)}=f\left(x\right)dx$

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Trennung der Variablen — häufigste Fragen

(ausklappen)

Woran erkennt man, ob eine Differentialgleichung trennbar ist?

Eine Differentialgleichung ist trennbar, wenn du sie durch Umformen so schreiben kannst, dass auf einer Seite nur -abhängige Faktoren und auf der anderen Seite nur -abhängige Faktoren stehen. Zum Beispiel ist trennbar, aber nicht.
Wie bringt man eine Differentialgleichung in die Form y‘ = f(x) mal g(y)?

In die Form $y' = f(x)\cdot g(y)$ bringst du eine Differentialgleichung, indem du zuerst freistellst und danach so umformst, dass ein Faktor nur von abhängt und der andere nur von . Beispiel: Aus $(1+y)\,y' = 2x$ wird $y' = \frac{2x}{1+y}$ .
Muss man beim Teilen durch g(y) konstante Lösungen mit g(y) = 0 separat beachten?

Konstante Lösungen mit musst du separat beachten, weil du beim Teilen durch voraussetzt, dass $g(y)\neq 0$ ist und sonst Lösungen verlieren kannst. Du prüfst deshalb zusätzlich, ob ein konstanter Wert die Gleichung erfüllt, z. B. bei die Lösung .