Wie erkenne ich, ob eine Gleichung eine partielle Differentialgleichung ist?

Eine Gleichung ist eine partielle Differentialgleichung, wenn die gesuchte Funktion von mindestens zwei unabhängigen Variablen abhängt und in der Gleichung partielle Ableitungen vorkommen. Typisch sind Ableitungen wie oder . Zum Beispiel ist eine PDE.

Was bedeutet die Ordnung einer partiellen Differentialgleichung?

Die Ordnung einer partiellen Differentialgleichung ist die höchste Ableitungsordnung, die in der Gleichung vorkommt. Enthält die Gleichung nur erste partielle Ableitungen, ist sie 1. Ordnung, enthält sie zweite Ableitungen wie , ist sie 2. Ordnung. Gemischte Ableitungen zählen ebenfalls zur entsprechenden Ordnung.

Welche Anfangsbedingungen brauche ich bei einer partiellen Differentialgleichung?

Anfangsbedingungen legen den Zustand der Lösung zu einem Startzeitpunkt fest, meist als Funktion über den Raum, zum Beispiel . Bei PDEs 2. Ordnung in der Zeit braucht man oft zusätzlich eine Anfangsgeschwindigkeit, etwa . Welche genau nötig sind, hängt von der Zeitableitungsordnung ab.

Welche Randbedingungen brauche ich bei einer partiellen Differentialgleichung?

Randbedingungen beschreiben, was am Rand des betrachteten Gebiets gilt, zum Beispiel an und . Häufig sind Dirichlet-Bedingungen (Wert vorgegeben: ), Neumann-Bedingungen (Ableitung/Fluss vorgegeben: ) oder Robin-Bedingungen (Kombination aus beidem). Zum Beispiel fixiert den Randwert.

Wie unterscheide ich Transportgleichung von Diffusionsgleichung?

Eine Transportgleichung erkennst du daran, dass sie eine gerichtete Verschiebung beschreibt und typischerweise nur erste räumliche Ableitungen enthält, etwa . Eine Diffusionsgleichung beschreibt Ausbreitung durch „Glättung“ und enthält zweite räumliche Ableitungen, zum Beispiel .

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Partielle DGL

Du möchtest wissen, was eine partielle Differentialgleichung ist? Dann bist du hier genau richtig! Im folgenden erklären wir dir diese besondere Form der Differentialgleichungen.

Inhaltsübersicht

Partielle Differentialgleichung Definition und Abgrenzung zu gewöhnlichen Differentialgleichungen

Wie du weißt, hängt bei gewöhnlichen Differentialgleichungen die unbekannte Funktion y nur von einer Variablen x ab, zum Beispiel von einem Ort. Jetzt kann es aber sein, dass dich ein Zustand y nicht nur für verschiedene Orte, sondern auch für unterschiedliche Zeitpunkte interessiert. Dafür brauchst du partielle Differentialgleichungen, in denen y eine Funktion mehrerer Variablen ist und auch nach mehreren Variablen partiell abgeleitet wird.

Partielle Differentialgleichung, Partielle DGL, Partielle DGL Beispiel — Partielle Differentialgleichung

Partielle Differentialgleichung Aufbau und Formel

Eine partielle Differentialgleichung für $y(x_1,\ x_2)$ , also für zwei Variablen, sieht dann so aus:

${F}}\left(x_1,\ x_2,{y}\left(x_1,x_2\right),\frac{\partial\y(x_1,y_2)}{\partial x_1},\frac{\partial\y(x_1,x_2)}{\partial x_2},\frac{\partial^2\y\left(x_1,x_2\right)}{\partial x_1\partial x_2},\ldots\right)={0}}$

Hier ist F eine Funktion von x₁, x₂, y und den partiellen Ableitungen nach x₁und x₂. Partielle Ableitungen zweiter Ordnung können zweite Ableitungen nach ein- und derselben Variable sein wie:

$\frac{\partial^2\mathbit{y}\left(x_1,x_2\right)}{\partial x_1^2}$

oder gemischte Ableitungen nach verschiedenen Variablen, so wie:

$\frac{\partial^2y\left(x_1,x_2\right)}{\partial x_1\partial x_2}$

Natürlich kann y auch eine Funktion von n Variablen x₁, x₂, …, x_n sein:

${y}}\left(x_1,\ x_2,\ldots,x_n\right)$

Dann sieht die DGL so aus:

${F}}\left(x_1,\ x_2,\ \mathbit{y},\frac{\partial\mathbit{y}}{\partial x_1},\frac{\partial\mathbit{y}}{\partial x_2},\ldots,\frac{\partial\mathbit{y}}{\partial x_n},\frac{\partial^2\mathbit{y}}{\partial x_1^2},\ \frac{\partial^2\mathbit{y}}{\partial x_1\partial x_2},\ldots\right)={0}}$

Aus Übersichtsgründen haben wir die Abhängigkeiten in Klammern weggelassen.

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Partielle DGL — häufigste Fragen

(ausklappen)

Wie erkenne ich, ob eine Gleichung eine partielle Differentialgleichung ist?

Eine Gleichung ist eine partielle Differentialgleichung, wenn die gesuchte Funktion von mindestens zwei unabhängigen Variablen abhängt und in der Gleichung partielle Ableitungen vorkommen. Typisch sind Ableitungen wie $\frac{\partial u}{\partial x}$ oder $\frac{\partial u}{\partial t}$ . Zum Beispiel ist $\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial u}{\partial x} = 0$ eine PDE.
Was bedeutet die Ordnung einer partiellen Differentialgleichung?

Die Ordnung einer partiellen Differentialgleichung ist die höchste Ableitungsordnung, die in der Gleichung vorkommt. Enthält die Gleichung nur erste partielle Ableitungen, ist sie 1. Ordnung, enthält sie zweite Ableitungen wie $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ , ist sie 2. Ordnung. Gemischte Ableitungen zählen ebenfalls zur entsprechenden Ordnung.
Welche Anfangsbedingungen brauche ich bei einer partiellen Differentialgleichung?

Anfangsbedingungen legen den Zustand der Lösung zu einem Startzeitpunkt fest, meist als Funktion über den Raum, zum Beispiel . Bei PDEs 2. Ordnung in der Zeit braucht man oft zusätzlich eine Anfangsgeschwindigkeit, etwa $\frac{\partial u}{\partial t}(x,0)=v_0(x)$ . Welche genau nötig sind, hängt von der Zeitableitungsordnung ab.
Welche Randbedingungen brauche ich bei einer partiellen Differentialgleichung?

Randbedingungen beschreiben, was am Rand des betrachteten Gebiets gilt, zum Beispiel an und . Häufig sind Dirichlet-Bedingungen (Wert vorgegeben: ), Neumann-Bedingungen (Ableitung/Fluss vorgegeben: $\frac{\partial u}{\partial x}(0,t)=b(t)$ ) oder Robin-Bedingungen (Kombination aus beidem). Zum Beispiel fixiert den Randwert.
Wie unterscheide ich Transportgleichung von Diffusionsgleichung?

Eine Transportgleichung erkennst du daran, dass sie eine gerichtete Verschiebung beschreibt und typischerweise nur erste räumliche Ableitungen enthält, etwa $\frac{\partial u}{\partial t}+v\frac{\partial u}{\partial x}=0$ . Eine Diffusionsgleichung beschreibt Ausbreitung durch „Glättung“ und enthält zweite räumliche Ableitungen, zum Beispiel $\frac{\partial u}{\partial t}=D\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ .

Partielle DGL Beispiel: eindimensionale Transportgleichung

Zu guter Letzt noch ein Beispiel: die eindimensionale Transportgleichung

$\partial_tc\left(x,t\right)+v\left(x,t\right)\partial_xc\left(x,t\right)=0$

Diese Gleichung beschreibt den Transport eines Stoffes mit Konzentration c(x, t) in einer inkompressiblen Flüssigkeit mit Strömungsgeschwindigkeit v(x, t). x gibt den Ort und t die Zeit an.

Du hast partielle Differentialgleichungen kennengelernt und das Beispiel der Transportgleichung gesehen.

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