Funktionenfolgen: Punktweise Konvergenz

Konvergenz von Funktionenfolgen: Definition Funktionenfolge und punktweise konvergent

Wenn die Glieder  einer Folge von einem Parameter  abhängen, spricht man von einer Funktionenfolge.  ist beispielsweise eine Funktion von  und gleichzeitig eine Folge. Die einzelnen Folgenglieder erhält man, indem man für eine beliebige natürliche Zahl einsetzt, zum Beispiel  oder .

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Existiert für jedes  der Grenzwert:

dann ist die Funktionenfolge punktweise konvergent und heißt Grenzfunktion der Funktionenfolge.

Punktweise Konvergenz Beispiel

Dann schauen wir uns jetzt mal ein Beispiel zur punktweisen Konvergenz an und zwar die Funktionenfolge .

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Wird  auf der Menge der reellen Zahlen abgebildet, ergibt sich die Grenzfunktion zu

denn eine geometrische Folge, deren Basis im Betrag kleiner als 1 ist, ist eine Nullfolge.

Ändern wir nun den Definitionsbereich von  auf , bleibt die Grenzfunktion für alle x-Werte echt kleiner 1 dieselbe, nämlich Null. Für  jedoch ist der Grenzwert . Die Grenzfunktion ist in diesem Fall nicht stetig, obwohl alle Folgenglieder  stetig sind.

Für  gilt im Punkt :

Die Folge  hat keinen Grenzwert. Das bedeutet, dass die Funktionenfolge auf dem Intervall  nicht punktweise konvergent ist.

Gehen wir nun zurück zum Intervall . An diesem Beispiel kann man sehen, dass sich Folgen- und Funktionsgrenzwert im Allgemeinen nicht vertauschen lassen.

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Bilden wir zunächst die Grenzfunktion , indem wir  gegen Unendlich laufen lassen und lassen danach  gegen  gehen, ergibt sich Null. Umgekehrt, also wenn wir erst den Grenzwert für  gegen  bilden, also praktisch  auswerten und anschließend den Limes für  gegen Unendlich bestimmen, ergibt sich der Grenzwert .

Genauso wenig lassen sich Integration und Folgengrenzwert vertauschen oder Differentiation und Folgengrenzwert. Allerdings sind derartige Vertauschungen möglich, wenn die Konvergenz der Funktionenfolge strengeren Bedingungen genügt.

Wir konnten hoffentlich all deiner Verwirrung zum Thema Funktionenfolgen ein Ende setzen und Licht ins Dunkel bringen, wenn es zu punktweiser Konvergenz von Funktionenfolgen kommt.