Die punktweise Konvergenz von Funktionenfolgen bereitet dir noch Schwierigkeiten? Im Folgenden zeigen wir dir Schritt für Schritt die Vorgehensweise bei der punktweisen Konvergenz.
Konvergenz von Funktionenfolgen: Definition Funktionenfolge und punktweise konvergent
Wenn die Glieder 
einer Folge von einem Parameter 
abhängen, spricht man von einer Funktionenfolge. 
ist beispielsweise eine Funktion von und gleichzeitig eine Folge. Die einzelnen Folgenglieder erhält man, indem man für 
eine beliebige natürliche Zahl einsetzt, zum Beispiel 
oder 
.
Existiert für jedes 
der Grenzwert:
dann ist die Funktionenfolge punktweise konvergent und 
heißt Grenzfunktion der Funktionenfolge.
Punktweise Konvergenz Beispiel
Dann schauen wir uns jetzt mal ein Beispiel zur punktweisen Konvergenz an und zwar die Funktionenfolge 
.
Wird ![x\in\left[0;\ 0,9\right]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e8dd36e1bbb7fd1528ce7c52a278ea13_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
auf der Menge der reellen Zahlen abgebildet, ergibt sich die Grenzfunktion zu
denn eine geometrische Folge, deren Basis im Betrag kleiner als 1 ist, ist eine Nullfolge.
Ändern wir nun den Definitionsbereich von auf ![\left[0,\ 1\right]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3fd7471648967536369c38794e587422_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
, bleibt die Grenzfunktion für alle x-Werte echt kleiner 1 dieselbe, nämlich Null. Für 
jedoch ist der Grenzwert 
. Die Grenzfunktion ist in diesem Fall nicht stetig, obwohl alle Folgenglieder stetig sind.
Für ![x\in\left[-1;\ 1\right]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-fe207fde2df144e9c6cd1d9bd505eea9_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
gilt im Punkt 
:
Die Folge 
hat keinen Grenzwert. Das bedeutet, dass die Funktionenfolge auf dem Intervall nicht punktweise konvergent ist.
Gehen wir nun zurück zum Intervall ![\left[0;1\right]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c982e577577fdc95457eac15fa005413_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
. An diesem Beispiel kann man sehen, dass sich Folgen- und Funktionsgrenzwert im Allgemeinen nicht vertauschen lassen.
Bilden wir zunächst die Grenzfunktion , indem wir gegen Unendlich laufen lassen und lassen danach gegen gehen, ergibt sich Null. Umgekehrt, also wenn wir erst den Grenzwert für gegen bilden, also praktisch 
auswerten und anschließend den Limes für gegen Unendlich bestimmen, ergibt sich der Grenzwert .
Genauso wenig lassen sich Integration und Folgengrenzwert vertauschen oder Differentiation und Folgengrenzwert. Allerdings sind derartige Vertauschungen möglich, wenn die Konvergenz der Funktionenfolge strengeren Bedingungen genügt.
Wir konnten hoffentlich all deiner Verwirrung zum Thema Funktionenfolgen ein Ende setzen und Licht ins Dunkel bringen, wenn es zu punktweiser Konvergenz von Funktionenfolgen kommt.
