Die punktweise Konvergenz von Funktionenfolgen bereitet dir noch Schwierigkeiten? Im Folgenden zeigen wir dir Schritt für Schritt die Vorgehensweise bei der punktweisen Konvergenz.
Wenn die Glieder einer Folge von einem Parameter
abhängen, spricht man von einer Funktionenfolge.
ist beispielsweise eine Funktion von
und gleichzeitig eine Folge. Die einzelnen Folgenglieder erhält man, indem man für
eine beliebige natürliche Zahl einsetzt, zum Beispiel
oder
.
Existiert für jedes der Grenzwert:
dann ist die Funktionenfolge punktweise konvergent und heißt Grenzfunktion der Funktionenfolge.
Dann schauen wir uns jetzt mal ein Beispiel zur punktweisen Konvergenz an und zwar die Funktionenfolge .
Wird auf der Menge der reellen Zahlen abgebildet, ergibt sich die Grenzfunktion zu
denn eine geometrische Folge, deren Basis im Betrag kleiner als 1 ist, ist eine Nullfolge.
Ändern wir nun den Definitionsbereich von auf
, bleibt die Grenzfunktion für alle x-Werte echt kleiner 1 dieselbe, nämlich Null. Für
jedoch ist der Grenzwert
. Die Grenzfunktion ist in diesem Fall nicht stetig, obwohl alle Folgenglieder
stetig sind.
Für gilt im Punkt
:
Die Folge hat keinen Grenzwert. Das bedeutet, dass die Funktionenfolge auf dem Intervall
nicht punktweise konvergent ist.
Gehen wir nun zurück zum Intervall . An diesem Beispiel kann man sehen, dass sich Folgen- und Funktionsgrenzwert im Allgemeinen nicht vertauschen lassen.
Bilden wir zunächst die Grenzfunktion , indem wir
gegen Unendlich laufen lassen und lassen danach
gegen
gehen, ergibt sich Null. Umgekehrt, also wenn wir erst den Grenzwert für
gegen
bilden, also praktisch
auswerten und anschließend den Limes für
gegen Unendlich bestimmen, ergibt sich der Grenzwert
.
Genauso wenig lassen sich Integration und Folgengrenzwert vertauschen oder Differentiation und Folgengrenzwert. Allerdings sind derartige Vertauschungen möglich, wenn die Konvergenz der Funktionenfolge strengeren Bedingungen genügt.
Wir konnten hoffentlich all deiner Verwirrung zum Thema Funktionenfolgen ein Ende setzen und Licht ins Dunkel bringen, wenn es zu punktweiser Konvergenz von Funktionenfolgen kommt.
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