Wie stelle ich die Taylorreihe von Sinus um null Schritt für Schritt auf?

Die Taylorreihe von um stellst du auf, indem du Ableitungen bildest, sie bei auswertest und in einsetzt. So erhältst du nacheinander und .

Wie bekomme ich die Ableitungen von Sinus an der Stelle null für die Taylorentwicklung?

Die Ableitungen von an der Stelle bekommst du über das periodische Ableitungsmuster: . Setze dann ein: , , also , , , .

Warum hat die Taylorreihe von Sinus um null keine geraden Potenzen?

Die Taylorreihe von um hat keine geraden Potenzen, weil ungerade ist, also . Ein Polynom mit geraden Potenzen wäre gerade und würde dieses Vorzeichenverhalten zerstören. Deshalb sind alle geraden Ableitungen bei gleich und die zugehörigen Terme fallen weg.

Wie entsteht beim Taylorpolynom von Sinus der Term minus x hoch drei durch sechs?

Der Term entsteht im Taylorpolynom von , weil die dritte Ableitung bei gleich ist. Im Taylorterm steht dann . Konkret ist , daher kommt der Nenner .

Wie benutze ich das Landau-Symbol O von x hoch fünf bei der Sinus-Approximation?

Mit fasst du alle weggelassenen Terme zusammen, die mindestens die Ordnung haben. Praktisch heißt das: Für kleine ist der Fehler ungefähr so klein wie ein Vielfaches von . Beispiel: Bei ist , der Rest ist also sehr klein.

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Taylorreihe Sinus

Du weißt zwar, wie du theoretisch eine Taylorreihe berechnen kannst, die Taylorreihe Sinus bereitet die aber noch Probleme? In diesem Beitrag erklären wir dir Schritt für Schritt die Taylorreihe der Sinusfunktion.

Inhaltsübersicht

Taylorentwicklung Sinus: Ableitungen und Entwicklung des Taylor-Polynoms

Wir betrachten nun also die Sinusfunktion von x und einen Entwicklungspunkt von x_0=0 . Davon bilden wir nun die verschiedenen Taylorpolynome und die erste Ableitung.

Die Ableitung von Sinus x ist Cosinus x. Der Cosinus an der Stelle Null ist 1. Damit kannst du schon das Taylorpolynom T_2f aufstellen.

$T_2f\left(x\right)=f\left(x_0\right)+\frac{f^\prime\left(x_0\right)}{1!}\ast\left(x-x_0\right)=\sin{\left(0\right)}+\frac{\cos{\left(0\right)}}{1}\ast\left(x-x_0\right)$

$=0+1\ast\left(x-x_0\right)=0+1\ast\ (x-0)=x$

an der Stelle x_0 ist Sinus von Null und das ergibt wiederum Null. an der Stelle Null ist Cosinus von Null. Daraus resultiert als Ergebnis Eins. Für x_0 setzen wir auch in der Differenz Null ein. T_2f ist gleich . Schauen wir uns das doch mal graphisch an.

Taylorreihe Sinus: Grafik 1. Ableitung und Taylorpolynom 2. Grades — Taylorreihe Sinus: Grafik 1. Ableitung und Taylor-Polynom 2. Grades

Die blaue Kurve ist der Sinus und die orangefarbene das Taylorpolynom zweiten Grades. Du kannst erkennen, dass die orangene Kurve die Tangente an den Funktionsgraphen im Entwicklungspunkt ist.

Taylorreihe Sinus: Zweite und dritte Ableitung

Nun bilden wir die nächsten zwei Ableitungen und werten sie wieder an der Stelle Null aus.

$f^{\prime\prime}\left(x\right)=-\sin{\left(x\right)},\ f^{\prime\prime}\left(0\right)=0$

$f^{\prime\prime\prime}\left(x\right)=-\cos{\left(x\right)},\ f^{\prime\prime\prime}\left(0\right)=-1$

Die zweite Ableitung ist Minus der Sinus und ergibt an der Stelle Null, Null. Dieser Faktor gehört zum quadratischen Glied des Taylor-Polynoms, also hat das Taylor-Polynom keinen quadratischen Anteil. Auch das konstante Glied des Taylor-Polynoms war am Entwicklungspunkt Null, denn $\sin{(0)}=0$ . Konstanten und quadratische Terme sind gerade Funktionen, der Sinus ist jedoch eine ungerade Funktion. Daher kann auch das Taylor-Polynom des Sinus keinerlei gerade Terme enthalten. Wir wissen schon jetzt, dass die zweite, vierte, sechste und die weiteren Ableitungen ausgewertet an der Stelle Null alle wegfallen werden. Da somit T_2f T_3f entspricht, können wir direkt T_4f aufstellen, um eine bessere Approximation zu erhalten.

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Taylorreihe Sinus — häufigste Fragen

(ausklappen)

Wie stelle ich die Taylorreihe von Sinus um null Schritt für Schritt auf?

Die Taylorreihe von $\sin(x)$ um stellst du auf, indem du Ableitungen bildest, sie bei auswertest und in $T_m(x)=\sum_{k=0}^m \frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k$ einsetzt. So erhältst du nacheinander und $T_5(x)=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}$ .
Wie bekomme ich die Ableitungen von Sinus an der Stelle null für die Taylorentwicklung?

Die Ableitungen von $\sin(x)$ an der Stelle bekommst du über das periodische Ableitungsmuster: $\sin(x)\to \cos(x)\to -\sin(x)\to -\cos(x)\to \sin(x)$ . Setze dann ein: $\sin(0)=0$ , $\cos(0)=1$ , also , , , .
Warum hat die Taylorreihe von Sinus um null keine geraden Potenzen?

Die Taylorreihe von $\sin(x)$ um hat keine geraden Potenzen, weil $\sin(x)$ ungerade ist, also $\sin(-x)=-\sin(x)$ . Ein Polynom mit geraden Potenzen wäre gerade und würde dieses Vorzeichenverhalten zerstören. Deshalb sind alle geraden Ableitungen bei gleich und die zugehörigen Terme fallen weg.
Wie entsteht beim Taylorpolynom von Sinus der Term minus x hoch drei durch sechs?

Der Term $-\frac{x^3}{6}$ entsteht im Taylorpolynom von $\sin(x)$ , weil die dritte Ableitung bei gleich $f^{(3)}(0)=-1$ ist. Im Taylorterm steht dann $\frac{f^{(3)}(0)}{3!}x^3=\frac{-1}{6}x^3$ . Konkret ist , daher kommt der Nenner .
Wie benutze ich das Landau-Symbol O von x hoch fünf bei der Sinus-Approximation?

Mit $\sin(x)=x-\frac{x^3}{6}+O(x^5)$ fasst du alle weggelassenen Terme zusammen, die mindestens die Ordnung haben. Praktisch heißt das: Für kleine ist der Fehler ungefähr so klein wie ein Vielfaches von . Beispiel: Bei ist $x^5=10^{-5}$ , der Rest ist also sehr klein.

Taylorreihe Sinus: Taylor-Polynom vierten Grades

Es ergibt sich das hier:

Taylorpolynom vierten Grades der Sinusfunktion

Die ersten zwei Glieder kannst du getrost von vorher abschreiben. Die zweite Ableitung ist Null, wie wir festgestellt haben, sodass der quadratische Term wegfällt. Wir setzen -1 für die dritte Ableitung ein, teilen durch , also durch sechs, und erhalten T_4f als $x-\frac{x^3}{6}$ . Auch das plotten wir und wir sehen, dass sich schon eine bessere Approximation ergibt. Der gelbe Graph nähert sich dem Verlauf der blauen Sinus-Kurve an.

Taylorreihe Sinus — Grafik Taylor-Polynom vierten Grades

Als nächstes plotten wir T_6f . Versuch doch mal, das Polynom selbst aufzustellen. Kommst du auch auf

$T_6f\left(x\right)=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}$

Schau dir den lila Kurvenverlauf an. Die Annäherung ist nochmals genauer geworden. Gehen wir jetzt noch zwei Ordnungen höher, ist die Abweichung kaum mehr zu erkennen, wie du im Graph siehst. Die grüne und blaue Kurve sind kaum zu unterscheiden.