Analysis

Laplace Operator

Der Laplace Operator spielt in verschiedenen Gleichungen eine zentrale Rolle. Schau dir unser Video an, um das Thema in kürzester Zeit zu verstehen.

Inhaltsübersicht

Laplace Operator einfach erklärt

Der Laplace Operator \Delta ist ein Differentialoperator. Wendet man ihn auf eine Funktion in kartesischen Koordinaten an, so gibt er die Summe der zweiten partiellen Ableitungen der Funktion.

Laplace Operator

Den Laplace Operator von f(x,y,z) kannst du folgendermaßen berechnen

\Delta f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}.

Der Laplace Operator findet insbesondere in zwei wichtigen Gleichungen seine Anwendung: Der Laplace Gleichung und der Poisson Gleichung

Notation: Der Laplace Operator kann auch mit dem Nabla Operator ausgedrückt werden: \Delta= \triangledown^2 f=(\triangledown \cdot \triangledown) f; beziehungsweise mit der Divergenz und dem Gradienten : \Delta f = div(grad(f)). Am Ende des Beitrags erklären wir dir diese Begriffe kurz.

Laplace Operator in kartesischen Koordinaten

In kartesischen Koordinaten lautet der Laplace Operator eines Skalarfelds f allgemein

\Delta f= \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial x_3^2} + \dots + \frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2} = \sum \limits_{i=1}^{n} \frac{\partial^2 f}{\partial x_i^2}.

Wir beschränken uns aber auf drei Dimensionen. Hier lautet der Laplace Operator

\Delta f= \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2},

wobei wir x_1 = x, x_2 = y und x_3 = z gesetzt haben.

Beispiel für kartesische Koordinaten

Schauen wir uns ein konkretes Beispiel dazu an. Das folgende Skalarfeld soll gegeben sein

f(x,y,z) = 15x + 4y^2 + 3y + 12z^2.

Für den Laplace Operator brauchen wir die zweiten partiellen Ableitungen nach jeder unabhängigen Variable. Dazu berechnen wir zunächst die ersten partiellen Ableitungen und erhalten

\frac{\partial f}{\partial x} = 15,

\frac{\partial f}{\partial y} = 3 + 8y und

\frac{\partial f}{\partial z} = 24z.

Daraus ergeben sich die zweiten partiellen Ableitungen

\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 0,

\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 8 und

\frac{\partial^2 f}{\partial z^2} = 24.

Diese zweiten Ableitungen müssen wir nur noch summieren. Wir bekommen als Ergebnis

\Delta f= \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2} = 0 + 8 + 24 = 32.

Laplace Operator Zylinderkoordinaten

In Zylinderkoordinaten wird jeder Punkt durch das Tripel (\rho, \varphi, z) lokalisiert. Damit lautet der Laplace Operator

\Delta f= \frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}\left(\rho\frac{\partial f}{\partial \rho}\right) + \frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}.

Lassen wir die Höhe z konstant, so erhalten wir den Laplace Operator in Polarkoordinaten

\Delta f= \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial f}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2}.

Wir haben hier \rho durch r ersetzt, da das die typische Kennzeichnung für den Abstand eines Punktes vom Ursprung in Polarkoordinaten ist.

Beispiel für Zylinderkoordinaten

Als Beispiel schauen wir uns folgendes Skalarfeld an

f(\rho, \varphi, z) = \rho^3 + 4\varphi^2 + 3\varphi + 3z.

Als nächstes bestimmen wir die ersten partiellen Ableitungen nach den unabhängigen Variablen

\frac{\partial f}{\partial \rho} = 3\rho^2,

\frac{\partial f}{\partial \varphi} = 8\varphi + 3 und

\frac{\partial f}{\partial z} = 3.

Die erste Ableitung nach \rho multiplizieren wir gemäß der Formel mit \rho und leiten das Ergebnis erneut nach \rho ab. Wir erhalten

\frac{\partial}{\partial \rho}\left(\rho\frac{\partial f}{\partial \rho}\right) = \frac{\partial}{\partial \rho}(\rho \cdot 3\rho^2) = 9 \rho^2.

Dieses Ergebnis teilen wir durch \rho und bekommen den ersten Teil der Summe

\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}\left(\rho\frac{\partial f}{\partial \rho}\right) = \frac{1}{\rho} \cdot 9 \rho^2 = 9 \rho.

Nun differenzieren wir noch einmal

\frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2} = 8 und

\frac{\partial^2 f}{\partial z^2} = 0.

Die zweite partielle Ableitung nach \varphi multiplizieren wir mit \frac{1}{\rho^2} und bekommen für den zweiten Teil der Summe

\frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2} = \frac{8}{\rho^2}.

Insgesamt lautet das Ergebnis

\Delta f = 9 \rho + \frac{8}{\rho^2} + 0.

Laplace Operator Kugelkoordinaten

In Kugelkoordinaten wird jeder Punkt durch das Tripel (r, \theta, \varphi) lokalisiert. Damit lautet der Laplace Operator in Kugelkoordinaten

\Delta f= \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial f}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2 \sin(\theta)}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin(\theta)\frac{\partial f}{\partial \theta} \right) + \frac{1}{r^2 \sin^2(\theta)}\frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2}.

Beispiel für Kugelkoordinaten

Es sei das folgende Skalarfeld gegeben

f(r, \theta, \varphi) = 3r + 6\varphi.

Wir bestimmen zunächst die ersten partiellen Ableitungen

\frac{\partial f}{\partial r} = 3,

\frac{\partial f}{\partial \theta} = 0 und

\frac{\partial f}{\partial \varphi} = 6.

Nochmal differenziert nach \varphi ergibt Null. Damit fallen sowohl der zweite als auch dritte Teil der Summe weg.

Für den ersten Teil der Summe multiplizieren wir gemäß der Formel die erste partielle Ableitung nach r mit r^2 und leiten das Ergebnis erneut nach r ab. Wir erhalten

\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial f}{\partial r}\right) = \frac{\partial}{\partial r}(r^2 \cdot 3) = 6r.

Dieses Ergebnis teilen wir durch r^2 und bekommen 

\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial f}{\partial r}\right) = \frac{1}{r^2} \cdot 6r = \frac{6}{r}.

Damit ergibt der Laplace Operator angewendet auf f

\Delta f = \frac{6}{r} + 0 + 0.

Gradient und Divergenz

Die formale Definition des Laplace Operators beinhaltet zwei Komponenten: Den Gradienten und die Divergenz. Beides sind Differentialoperatoren. 

Gradient

Haben wir ein Skalarfeld f gegeben, das von n unabhängigen Variablen x_1, x_2, \dots, x_n abhängt, dann ist der Gradient von f am Punkt p = (x_{1_0}, x_{2_0}, \dots, x_{n_0}) folgendermaßen definiert

grad(f)\left(p\right) = \left( \begin{array}{c}  \frac{\partial f}{\partial x_1}\left(p\right)\\\ \vdots\\\ \frac{\partial f}{\partial x_n}\left(p\right)\end{array}\right).

Einen ausführlichen Beitrag dazu, findest du hier

Divergenz

Für die Divergenz schauen wir uns ein Vektorfeld in \mathbb{R}^n an. Lass uns das Vektorfeld mit \vec{F} bezeichnen. Als Abbildung nimmt \vec{F} ein Element aus \mathbb{R}^n und bildet es auf ein Element in \mathbb{R}^n ab. Die Divergenz von \vec{F}, notiert als \triangledown \cdot \vec{F}, kannst du folgendermaßen berechnen

\triangledown \cdot \vec{F} = \frac{\partial F_1}{\partial x_1} + \frac{\partial F_2}{\partial x_2} + \dots + \frac{\partial F_n}{\partial x_n}.

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