Der Laplace Operator spielt in verschiedenen Gleichungen eine zentrale Rolle. Schau dir unser Video an, um das Thema in kürzester Zeit zu verstehen.
Der Laplace Operator ist ein Differentialoperator. Wendet man ihn auf eine Funktion in kartesischen Koordinaten an, so gibt er die Summe der zweiten partiellen Ableitungen der Funktion.
Den Laplace Operator von kannst du folgendermaßen berechnen
.
Der Laplace Operator findet insbesondere in zwei wichtigen Gleichungen seine Anwendung: Der Laplace Gleichung und der Poisson Gleichung .
Notation: Der Laplace Operator kann auch mit dem Nabla Operator ausgedrückt werden: ; beziehungsweise mit der Divergenz und dem Gradienten
:
. Am Ende des Beitrags erklären wir dir diese Begriffe kurz.
Schauen wir uns ein konkretes Beispiel dazu an. Das folgende Skalarfeld soll gegeben sein
.
Für den Laplace Operator brauchen wir die zweiten partiellen Ableitungen nach jeder unabhängigen Variable. Dazu berechnen wir zunächst die ersten partiellen Ableitungen und erhalten
,
und
.
Daraus ergeben sich die zweiten partiellen Ableitungen
,
und
.
Diese zweiten Ableitungen müssen wir nur noch summieren. Wir bekommen als Ergebnis
.
In Zylinderkoordinaten
wird jeder Punkt durch das Tripel lokalisiert. Damit lautet der Laplace Operator
.
Lassen wir die Höhe konstant, so erhalten wir den Laplace Operator in Polarkoordinaten
.
Wir haben hier durch
ersetzt, da das die typische Kennzeichnung für den Abstand eines Punktes vom Ursprung in Polarkoordinaten ist.
Als Beispiel schauen wir uns folgendes Skalarfeld an
.
Als nächstes bestimmen wir die ersten partiellen Ableitungen nach den unabhängigen Variablen
,
und
.
Die erste Ableitung nach multiplizieren wir gemäß der Formel mit
und leiten das Ergebnis erneut nach
ab. Wir erhalten
.
Dieses Ergebnis teilen wir durch und bekommen den ersten Teil der Summe
.
Nun differenzieren wir noch einmal
und
.
Die zweite partielle Ableitung nach multiplizieren wir mit
und bekommen für den zweiten Teil der Summe
.
Insgesamt lautet das Ergebnis
.
In Kugelkoordinaten
wird jeder Punkt durch das Tripel lokalisiert. Damit lautet der Laplace Operator in Kugelkoordinaten
.
Es sei das folgende Skalarfeld gegeben
.
Wir bestimmen zunächst die ersten partiellen Ableitungen
,
und
.
Nochmal differenziert nach ergibt Null. Damit fallen sowohl der zweite als auch dritte Teil der Summe weg.
Für den ersten Teil der Summe multiplizieren wir gemäß der Formel die erste partielle Ableitung nach mit
und leiten das Ergebnis erneut nach
ab. Wir erhalten
.
Dieses Ergebnis teilen wir durch und bekommen
.
Damit ergibt der Laplace Operator angewendet auf
.
Haben wir ein Skalarfeld gegeben, das von
unabhängigen Variablen
abhängt, dann ist der Gradient von
am Punkt
folgendermaßen definiert
.
Einen ausführlichen Beitrag dazu, findest du hier .
Für die Divergenz schauen wir uns ein Vektorfeld in an. Lass uns das Vektorfeld mit
bezeichnen. Als Abbildung nimmt
ein Element aus
und bildet es auf ein Element in
ab. Die Divergenz von
, notiert als
, kannst du folgendermaßen berechnen
.
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