Analysis

Wurzelkriterium

Das Wurzelkriterium ist eine Methode, um die Konvergenz oder Divergenz von Reihen zu bestimmen. Wie genau, erfährst du in diesem Beitrag. Unser Video zum Wurzelkriterium zeigt dir das Wichtigste dazu in kurzer Zeit.
Inhaltsübersicht

Wurzelkriterium einfach erklärt  

Du hast eine Reihe der Form

\sum \limits_{n=0}^\infty \textcolor{red}{a_n}

gegeben und sollst nun bestimmen, ob diese konvergiert oder divergiert? Dazu berechnest du zunächst

\textcolor{blue}{\alpha} =   \lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{\left\lvert \textcolor{red}{a_n} \right\rvert} = \lim\limits_{n\to\infty}  \left\lvert \textcolor{red}{a_n} \right\rvert^{\frac{1}{n}}.

Dann gilt

\textcolor{blue}{\alpha} < 1 \longrightarrow Reihe konvergiert,

\textcolor{blue}{\alpha} > 1 \longrightarrow Reihe divergiert und

\textcolor{blue}{\alpha} = 1 \longrightarrow keine eindeutige Aussage möglich.

Die Kernidee hinter dem Wurzelkriterium ist ein Vergleich mit der geometrischen Reihe .

Wurzelkriterium
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Wurzelkriterium Fälle

Wurzelkriterium Schritt für Schritt  

Schauen wir uns an einem konkreten Beispiel an, wie du das Wurzelkriterium Schritt-für-Schritt anwenden kannst. Dazu betrachten wir die folgende Reihe

\sum \limits_{n=1}^\infty \frac{n^n}{4^{1 + 3n}}.

Wir haben also

\textcolor{red}{a_n} = \frac{n^n}{4^{1 + 3n}}.

Schritt 1: Zuerst nimmst du den Betrag von \textcolor{red}{a_n}

\left\lvert \textcolor{red}{a_n} \right\rvert = \left\lvert \frac{n^n}{4^{1 + 3n}} \right\rvert.

Schritt 2: Davon ziehst du dann die n-te Wurzel

\left\lvert \textcolor{red}{a_n} \right\rvert^{\frac{1}{n}} = \left\lvert \frac{n^n}{4^{1 + 3n}} \right\rvert^{\frac{1}{n}}.

Der Bruch 

\frac{n^n}{4^{1 + 3n}}

ist für alle n eine positive Zahl. Daher kannst du die Betragsstriche weglassen

\left\lvert \frac{n^n}{4^{1 + 3n}} \right\rvert^{\frac{1}{n}} = \left(\frac{n^n}{4^{1 + 3n}}\right)^{\frac{1}{n}} = \frac{n}{4^{\frac{1}{n} + 3}} = \frac{n}{4^3 \cdot 4^{\frac{1}{n}}}.

Schritt 3: Nun berechnest du den Grenzwert für n\to\infty

\textcolor{blue}{\alpha} = \lim\limits_{n\to\infty}  \left\lvert \textcolor{red}{a_n} \right\rvert^{\frac{1}{n}} = \lim\limits_{n\to\infty} \frac{n}{4^3 \cdot 4^{\frac{1}{n}}} = \frac{1}{4^3} \lim\limits_{n\to\infty} \frac{n}{4^{\frac{1}{n}}} = \infty.

Dabei nutzt du aus, dass gilt

\lim\limits_{n\to\infty} 4^{\frac{1}{n}} = 1.

Schritt 4: Somit hast du

\textcolor{blue}{\alpha}  > 1

und die Reihe

\sum \limits_{n=1}^\infty \frac{n^n}{4^{1 + 3n}}

divergiert folglich nach dem Wurzelkriterium.

Wurzelkriterium Beispiel  

Wenden wir das Wurzelkriterium auf ein weiteres Beispiel an. Nehmen wir an, dass du folgende Reihe gegeben hast

\sum \limits_{n=0}^\infty \left(\frac{3n + 2n^2 - 4n^3}{9n^3 + 12}\right)^n.

Schritt 1: Du bildest zuerst wieder den Betrag der Reihenglieder a_n

\left\lvert \left(\frac{3n + 2n^2 - 4n^3}{9n^3 + 12}\right)^n \right\rvert.

Schritt 2: Davon ziehst du dann die n-te Wurzel

\left\lvert \left(\frac{3n + 2n^2 - 4n^3}{9n^3 + 12}\right)^n \right\rvert^{\frac{1}{n}}.

Diesen Ausdruck kannst du als nächstes etwas vereinfachen

\left\lvert \left(\frac{3n + 2n^2 - 4n^3}{9n^3 + 12}\right) \right\rvert.

Schritt 3: Nun berechnest du den Grenzwert für n\to\infty

\textcolor{blue}{\alpha} = \lim\limits_{n\to\infty}  \left\lvert \left(\frac{3n + 2n^2 - 4n^3}{9n^3 + 12}\right) \right\rvert = \left\lvert\frac{-4}{9}\right\rvert = \frac{4}{9} < 1.

Schritt 4: Es gilt also

\textcolor{blue}{\alpha} < 1

und damit konvergiert die Reihe

\sum \limits_{n=0}^\infty \left(\frac{3n + 2n^2 - 4n^3}{9n^3 + 12}\right)^n.

Wurzelkriterium vs. Quotientenkriterium

Neben dem Wurzelkriterium als Methode zum Untersuchen des Konvergenzverhaltens von Reihen gibt es auch das Quotientenkriterium. Beide sind sich in der Tatsache ähnlich, dass ein bestimmter Grenzwert \alpha berechnet werden soll. Auch die Fälle

\alpha < 1, \alpha > 1 und \alpha = 1

werden auf ähnliche Weise unterschieden. Das hat unter anderem damit zu tun, dass beide Kriterien auf den Vergleich zur geometrischen Reihe beruhen.

Wenn das Quotientenkriterium eine Reihe als konvergent (\alpha < 1) oder divergent (\alpha > 1) einstuft, so auch das Wurzelkriterium. Nun könnte es aber sein, dass du durch das Wurzelkriterium keine eindeutige Aussage erhältst (also \alpha = 1). Dann wird dir das Quotientenkriterium nicht weiterhelfen können. 

Umgekehrt, gibt dir das Quotientenkriterium keine eindeutige Aussage, dann könnte dir das Wurzelkriterium dennoch weiterhelfen.

Wurzelkriterium Beweis

In diesem Abschnitt geben wir dir einen Beweis für die Fälle \alpha < 1 und \alpha > 1.

Beweis für \alpha < 1

Wir haben \alpha < 1 und wollen zeigen, dass dann die Reihe \sum \limits_{n=1}^\infty a_n konvergiert. Wenn \alpha < 1 ist, dann können wir ein \beta < 1 finden, sodass gilt \alpha < \beta < 1. Jetzt wissen wir, dass \alpha der Grenzwert

\alpha = \lim\limits_{n\to\infty}  \left\lvert a_n \right\rvert^{\frac{1}{n}}

ist. Da nun \alpha < \beta gilt, gibt es eine natürliche Zahl N, sodass \left\lvert a_n \right\rvert^{\frac{1}{n}} < \beta gilt für alle n \geq N. Diese Ungleichung können wir umformen

\left\lvert a_n \right\rvert < \beta^n für n \geq N.

Nun ist

\sum \limits_{n=0}^\infty \beta^n

eine geometrische Reihe und da \beta < 1 ist, konvergiert diese. Nach dem Majorantenkriterium konvergiert daher auch die Reihe

\sum \limits_{n=1}^\infty a_n.

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Wurzelkriterium Beweis Teil 1.

Beweis für \alpha > 1

Es sei \alpha > 1. Wir wollen zeigen, dass dann die Reihe \sum \limits_{n=1}^\infty a_n divergiert. Da \alpha der Grenzwert

\alpha = \lim\limits_{n\to\infty}  \left\lvert a_n \right\rvert^{\frac{1}{n}}

ist, gibt es eine natürliche Zahl N, sodass für alle n \geq N gilt \left\lvert a_n \right\rvert^{\frac{1}{n}} > 1 oder umgeformt \left\lvert a_n \right\rvert > 1^n = 1.

Das bedeutet aber, dass dann

\lim\limits_{n\to\infty} \left\lvert a_n \right\rvert \neq 0

gilt und somit auch

\lim\limits_{n\to\infty} a_n \neq 0.

Damit bildet die Folge der Reihenglieder keine Nullfolge und nach dem Nullfolgenkriterium divergiert daher die Reihe

\sum \limits_{n=1}^\infty a_n,

was zu zeigen war.

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Wurzelkriterium Beweis Teil 2.

Wurzelkriterium Beispielaufgabe

Du hast die folgende Reihe gegeben

\sum \limits_{n=5}^\infty \frac{(-15)^n}{n}.

Untersuche das Konvergenzverhalten dieser Reihe.

Lösung

Wir haben

\textcolor{red}{a_n} = \frac{(-15)^n}{n}.

Im ersten Schritt bilden wir davon den Betrag und ziehen die n-te Wurzel

\left\lvert \textcolor{red}{a_n} \right\rvert^{\frac{1}{n}} = \left\lvert \frac{(-15)^n}{n} \right\rvert^{\frac{1}{n}} = \left\lvert \frac{-15}{n^{\frac{1}{n}}} \right\rvert = \frac{15}{n^{\frac{1}{n}}}.

Nun berechnen wir den Grenzwert für n\to\infty

\textcolor{blue}{\alpha} = \lim\limits_{n\to\infty}  \left\lvert \textcolor{red}{a_n} \right\rvert^{\frac{1}{n}} = \lim\limits_{n\to\infty} \frac{15}{n^{\frac{1}{n}}} = 15 > 1.

Wir haben hier die Tatsache ausgenutzt, dass

\lim\limits_{n\to\infty} n^{\frac{1}{n}} = 1

gilt. Somit haben wir

\textcolor{blue}{\alpha}  > 1

und die Reihe

\sum \limits_{n=5}^\infty \frac{(-15)^n}{n}

divergiert.

Hinweis: Lass dich nicht dadurch irritieren, dass die Reihe erst bei n = 5 beginnt. Wenn du die Konvergenz von Reihen untersuchst, spielt es keine Rolle, was für ein Verhalten endlich viele Reihenglieder besitzen. Du würdest also das gleiche Ergebnis erhalten, wenn die Reihe stattdessen bei n = 1 beginnen würde. Der Fall n = 0 ist nicht möglich, da du ansonsten durch Null teilen würdest.

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