Woran erkenne ich, ob ein Richtungsfeld zu einer Differentialgleichung erster Ordnung passt oder ob ich dafür etwas anderes brauche?

Ein Richtungsfeld passt, wenn die Differentialgleichung in der Form (oder dazu umgestellt) vorliegt, also die Steigung nur von und abhängt. Bei Gleichungen mit (zweiter Ordnung) brauchst du meist ein Phasenportrait oder musst zuerst in ein System erster Ordnung umformen.

Wie lese ich aus einem Richtungsfeld ab, ob Lösungen nach oben oder nach unten gehen, ohne die Differentialgleichung auszurechnen?

Im Richtungsfeld zeigt jedes Linienelement die lokale Steigung: Steigt es nach rechts, ist und die Lösung geht nach oben; fällt es nach rechts, ist und die Lösung geht nach unten. Waagrechte Elemente bedeuten , dort bleibt die Lösung kurz auf gleicher Höhe.

Was bedeutet es im Richtungsfeld, wenn die Pfeile an manchen Stellen fast senkrecht sind?

Fast senkrechte Linienelemente bedeuten, dass die Steigung dort betragsmäßig sehr groß ist, also die Lösungskurve extrem steil verläuft. Oft ist das ein Hinweis auf eine Stelle, an der sehr groß wird oder die Differentialgleichung dort problematisch ist (zum Beispiel nicht definiert), sodass Lösungen in der Nähe „abrutschen“ können.

Wie kann ich aus einem Richtungsfeld abschätzen, ob eine Lösungskurve irgendwann explodiert oder gegen einen festen Wert läuft?

Gegen einen festen Wert läuft eine Lösung oft, wenn es eine horizontale Linie gibt, auf der die Linienelemente waagrecht sind (), und die Pfeile ober- und unterhalb in diese Linie „hinein“ kippen (stabile Gleichgewichtslösung). „Explodieren“ deutet sich an, wenn die Elemente entlang der Lösung immer steiler werden und kein einfangender Bereich erkennbar ist.

Wie kann ich ein Richtungsfeld mit dem Taschenrechner oder in GeoGebra zeichnen, wenn ich die Differentialgleichung gegeben habe?

In GeoGebra zeichnest du ein Richtungsfeld, indem du zuerst definierst und dann den Richtungsfeld-Befehl nutzt (je nach Version „Richtungsfeld“ oder „SlopeField“) mit Fenstergrenzen für und . Auf dem Taschenrechner suchst du die Funktion „Differentialgleichung/Richtungsfeld“, gibst ein, stellst Fenster und Punktdichte ein und lässt plotten.

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Richtungsfeld

Du möchtest wissen was das Richtungsfeld ist, wofür es verwendet wird und wie du es grafisch darstellst? Dann bist du hier genau richtig!

Inhaltsübersicht

Richtungsfeld Definition und Beispiel

Ein Richtungsfeld hilft dir, eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung grafisch darzustellen.

$y^\prime\left(x\right)=f(x,y(x))$

Richtungsfeld, Richtungsfeld zeichnen — Richtungsfeld

Die Differentialgleichung gibt in jedem Punkt die Steigung der Lösungskurve durch diesen Punkt an.

Richtungsfeld — häufigste Fragen

(ausklappen)

Woran erkenne ich, ob ein Richtungsfeld zu einer Differentialgleichung erster Ordnung passt oder ob ich dafür etwas anderes brauche?

Ein Richtungsfeld passt, wenn die Differentialgleichung in der Form (oder dazu umgestellt) vorliegt, also die Steigung nur von und abhängt. Bei Gleichungen mit (zweiter Ordnung) brauchst du meist ein Phasenportrait oder musst zuerst in ein System erster Ordnung umformen.
Wie lese ich aus einem Richtungsfeld ab, ob Lösungen nach oben oder nach unten gehen, ohne die Differentialgleichung auszurechnen?

Im Richtungsfeld zeigt jedes Linienelement die lokale Steigung: Steigt es nach rechts, ist und die Lösung geht nach oben; fällt es nach rechts, ist und die Lösung geht nach unten. Waagrechte Elemente bedeuten , dort bleibt die Lösung kurz auf gleicher Höhe.
Was bedeutet es im Richtungsfeld, wenn die Pfeile an manchen Stellen fast senkrecht sind?

Fast senkrechte Linienelemente bedeuten, dass die Steigung dort betragsmäßig sehr groß ist, also die Lösungskurve extrem steil verläuft. Oft ist das ein Hinweis auf eine Stelle, an der sehr groß wird oder die Differentialgleichung dort problematisch ist (zum Beispiel nicht definiert), sodass Lösungen in der Nähe „abrutschen“ können.
Wie kann ich aus einem Richtungsfeld abschätzen, ob eine Lösungskurve irgendwann explodiert oder gegen einen festen Wert läuft?

Gegen einen festen Wert läuft eine Lösung oft, wenn es eine horizontale Linie gibt, auf der die Linienelemente waagrecht sind (), und die Pfeile ober- und unterhalb in diese Linie „hinein“ kippen (stabile Gleichgewichtslösung). „Explodieren“ deutet sich an, wenn die Elemente entlang der Lösung immer steiler werden und kein einfangender Bereich erkennbar ist.
Wie kann ich ein Richtungsfeld mit dem Taschenrechner oder in GeoGebra zeichnen, wenn ich die Differentialgleichung gegeben habe?

In GeoGebra zeichnest du ein Richtungsfeld, indem du zuerst definierst und dann den Richtungsfeld-Befehl nutzt (je nach Version „Richtungsfeld“ oder „SlopeField“) mit Fenstergrenzen für und . Auf dem Taschenrechner suchst du die Funktion „Differentialgleichung/Richtungsfeld“, gibst ein, stellst Fenster und Punktdichte ein und lässt plotten.

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Richtungsfeld in 3 Schritten an einem Beispiel erklärt

Gegeben ist die DGL:

$y^\prime\left(x\right)=1+xy$

1. Schritt: Linienelemente eintragen

Zunächst trägst du an ausgewählten Punkten im x-y-Diagramm sogenannte Linienelemente, also kleine Vektoren ein, die die Steigung in diesem Punkt angeben. Zum Beispiel erhältst du an der Stelle x gleich Null, y gleich Null die Steigung Eins.

$x=0,y=0:y^\prime=1+0\ast0=1$

2. Schritt: Steigung im Koordinatensystem eintragen

Diese trägst du an der Position x gleich Null, y gleich Null in das x-y-Diagramm ein

$x=0,y=C:y^\prime=1+0\ast\ C=1$
$x=C,y=0:y^\prime=1+C\ast0=1$

Auch entlang der x und der y-Achse ist die Steigung konstant Eins. Du siehst, dass alle Pfeile entlang dieser zwei Achsen in dieselbe Richtung zeigen.

3. Schritt: Rest des Diagrammes ausfüllen

Den Rest des x-y-Diagramms füllst du entsprechend aus – zum Beispiel auch an der Position P (-1,5/3). Dort ergibt sich eine negative Steigung von -3,5.

$x=-1,5;y=3:y^\prime=1+\left(-1.5\right)\ast3=-3,5$